Математика облигаций

Поток платежей портфеля и его оценка.

Анализ портфеля, как и анализ отдельной облигации, начинается с построения потока платежей. Если z = (z1, z2,..., zn) – вектор позиций портфеля, то поток платежей CF( ), порождаемый портфелем , есть линейная комбинация потоков платежей CF(Bk) облигаций:

На практике временные структуры потоков платежей произвольны, однако в рамках данного курса для упрощения изложения мы будем считать их

синхронизированными, т.е. имеющими одну общую шкалу моментов купонных выплат и номиналов.

В гл.1 мы сформулировали общий принцип оценивания активов, в частности облигаций, состоящий в том, что стоимость актива на равновесном рынке равна приведенной (дисконтированной) к моменту оценивания стоимости отдельных платежей потока.

Если

CF( ) = {(1, С1), (2, С2), …, (N, СN )}

поток платежей портфеля, то его текущая стоимость относительно ставки i будет

В силу линейности оператора текущей стоимости, отсюда немедленно следует, что

PV (CF (π),i) z1PV (B1,i) z2 PV (B2 ,i) ... zn PV (Bn ,i) , (4.5)

а поскольку, текущая цена потока платежей облигации равна её стоимости: PV(Bk,i)=Pk, то приведенная стоимость потока платежей портфеля будет равна стоимости (цене) портфеля:

PV(CF( ),i)=P( ).

Таким образом, стоимость портфеля можно находить двумя способами: либо, построив его поток платежей, найти его текущую стоимость, либо найти стоимость портфеля непосредственно по формуле (4.1), как линейную комбинацию стоимости облигаций.

Пример 4.3. Пусть А и B трехлетняя и пятилетняя облигации с одинаковыми номиналами 100 руб. , с годовыми купонами и купонными ставками 10% и 20% годовых соответственно. Допустим, что рыночная ставка равна 15% годовых. Найти поток платежей и стоимость портфеля =10А+20В, состоящего из 10 облигаций А и

Стоимость портфеля равна

P = 10PA + 20PB = 10 88,58 + 20 116,76 = 3221,05 (руб.).

Стоимость портфеля можно было бы найти дисконтированием потока платежей портфеля по рыночной ставке:

31

4.2. Доходность к погашению портфеля облигаций.

Цель инвестора работающего на рынке облигаций состоит в обеспечении максимальной доходности (при заданном уровне риска) формируемого портфеля. Если инвестор держит все облигации портфеля до их погашения, то на равновесном рынке одной из характеристик эффективности инвестирования служит доходность к погашению (дкп) портфеля облигаций. Эта характеристика определяется аналогично доходности к погашению облигации, рассмотренной в гл.2. Доходность к погашению портфеля эта ставка, дисконтирование по которой потока платежей портфеля дает его начальную стоимость, иными словами это корень y уравнения

Здесь, естественно, стоимость портфеля определяется стоимостью составляющих его облигаций в соответствии с формулой (4.1).

Определение дкп портфеля трудная задача и не всегда имеющая определенное решение, по крайне мере, в портфеле с короткими позициями (с заемными облигациями).

Но если цены облигаций известны, то инвестор может всегда может рассчитать среднюю доходность своего портфеля. Средневзвешенная доходность к погашению портфеля y равна взвешенной (относительно весов облигаций) сумме доходностей к погашению облигаций, составляющих портфель:

где yi - доходность к погашению облигации Bi.

Пример 4.4. Рассмотрим однолетнюю A и двухлетнюю B облигации с одинаковыми номиналами по 100 руб., годовыми купонами по ставкам 10% и 5% соответственно. Пусть эти облигации котируются по ценам PА = 90 руб. и PВ = 70 руб. соответственно. Найти дкп и средневзвешенную дкп портфеля = 2A + B.

Решение. Стоимость портфеля равна

Р = 290 + 70 = 250 руб.

Веса облигаций в портфеле равны

wA = 2∙90/250=0,72 и wB = 70/250=0,28.

Поток платежей по облигации А:

CFA = {(1; 110)}.

Поток платежей по облигации В:

CFB = {(1; 5); (2; 105)}.

Тогда поток платежей портфеля имеет вид

CF = 2CFA + CFB = {(1, 225); (2, 105)}.

Найдем доходность к погашению y портфеля из уравнения

Это уравнение сводится к квадратному уравнению

250(1 y) 225(1 y) 105 0

Первый корень не имеет в данном случае никакого смысла, поскольку инвестор вкладывает 250 руб. получает взамен положительный поток платежей 226 руб. и 105 руб., в сумме превышающей его вложения, так что единственным подходящим решением является положительный корень y2= 23,90%. Следовательно, дкп портфеля y = 23,90%.

Для нахождения средневзвешенной дкп портфеля найдем дкп облигации A и B. Решая уравнение

32

110 = 90,00

1 yA

находим yA = 22,22%. Аналогично решая квадратное уравнение

находим yB = 26,10%. Тогда средневзвешенная дкп портфеля равна yπ = 0,72 22,22% + 0,28 26,10% = 23,31%,

что весьма близко к точному дкп y = 23,90%. ■

Пример 4.5. Найти дкп и средневзвешенную дкп портфеля = 2A – B из облигаций примера 4.10. при условии, что цена облигации B равна: а) 70 руб., б) 80 руб., в) 60 руб.

Решение. а) В этом случае стоимость портфеля равна

Р = 2 90 - 70 = 110 руб.

Веса облигаций в портфеле равны

wA = 2∙90/110=1,636 и wB = -70/110= 0,636.

Тогда поток платежей портфеля имеет вид

CF = 2CFA - CFB = {(1, 215); (2, -105)}.

Найдем доходность к погашению y портфеля из уравнения

Это уравнение сводится к квадратному уравнению

110(1 y) 215(1 y) 105 0

Подходящим корнем здесь будет второй, т.к. инвестор, вкладывая 110 руб. получает взамен поток платежей 215 руб. и -105 руб., в сумме дающих 110 руб. Следовательно

y = 0%.

Средневзвешенная доходность в этом случае будет равна

yπ = 1,636 22,22% - 0,636 26,10% = 19,76%,

что не имеет ничего общего с полученной дкп портфеля.

б) В этом случае стоимость портфеля равна

Р = 2 90 - 80 = 100 руб.

Веса облигаций в портфеле равны

wA = 2∙90/100=1,8 и wB = -80/100= -0,8.

Поток платежей тот же что и в случае а)

CF = 2CFA - CFB = {(1, 215); (2, -105)}.

Найдем доходность к погашению y портфеля из уравнения

Это уравнение сводится к квадратному уравнению

100(1 y)2 215(1 y) 105 0 ,

получает взамен поток платежей 215 руб. и -105 руб., в сумме дающих 110 руб. Поэтому приходится принять в качестве дкп второе значение, т.е. y =40%.

33

Для нахождения средневзвешенной доходности, необходимо найти новое дкп второй облигации. Решая уравнение

получим yB = 17,73%. Тогда средневзвешенная дкп портфеля будет равна yπ = 1,8 22,22% - 0,8 17,73% = 25,81%,

что существенно отличается от 40% дкп портфеля.

В этом примере существенным является факт, что повышение цены второй облигации всего на 14,29% (или эквивалентное снижение дкп второй облигации примерно на 10%) повлекло увеличение дкп с 0% до 40%!

в) В этом случае стоимость портфеля равна

Р = 2 90 - 60 = 120 руб.

Веса облигаций в портфеле равны

wA = 2∙90/120=1,5 и wB = -60/120= -0,5.

Поток платежей тот же что и в первых двух случаях

CF = 2CFA - CFB = {(1, 215); (2, -105)}.

Найдем доходность к погашению y портфеля из уравнения

Это уравнение сводится к квадратному уравнению

120(1 y)2 215(1 y) 105 0 ,

Поскольку дискриминант это уравнения равен 2152- 4 120 105 = -4175<0 То это уравнение не имеет действительных корней.

Для нахождения средневзвешенной доходности, необходимо найти новое дкп второй облигации. Решая уравнение

получим yB = 36,52%. Тогда средневзвешенная дкп портфеля будет равна yπ = 1,5 22,22% - 0,5 36,52% = 15,08%,

что вряд ли имеет смысл, поскольку взамен вложения 120 руб. инвестор получает платежи 215 руб. и -105 руб., в сумме дающие 110 руб, т.е. просто не окупающие инвестиционные расходы. ■

Приведенные примеры показывают, что с дкп и средневзвешенной дкп портфеля нужно пользоваться осторожно, проверяя каждый раз осмысленность полученных результатов.

Парадоксальные результаты вроде тех, что были получены в предыдущем примере, возникают лишь в случае, когда дкп различных облигаций различны. Если на рынке имеется всего одна равновесная ставка для всех сроков погашения, то, как легко показать, дкп всех портфелей будет равно этой ставке. Такую структуру процентных ставок называют плоской. Не плоская структура процентных ставок будет детально рассмотрена в следующей главе. Здесь мы ограничимся, в основном, случаем плоской структуры ставок.

4.3 Реализованная доходность портфеля.

Доходность к погашению портфеля, как и дкп облигации не является адекватной мерой инвестиционной эффективности портфеля даже если все облигации в портфеле держатся до их погашения. Дкп портфеля будет адекватной мерой только в случае плоской и постоянной структуры процентных ставок. Поскольку ставки меняются со временем (даже если структура остается плоской), то для адекватной

34

характеристики инвестиционной эффективности портфеля необходимо учитывать все источники дохода. Как и у облигации их три:

1)купонный доход по облигациям, составляющим портфель,

2)реинвестиционный доход (от купонов и погашения номиналов)

3)ценовой доход (от проданных облигаций).

Пусть

= z1B1 + z2B2+..., znBn.

портфель из облигаций B1,B2,…, Bn с вектором позиций z = (z1, z2,..., zn). Пусть также P10, P20 ,…, Pn0 начальные цены этих облигаций в момент t0 формирования портфеля. Тогда начальная стоимость портфеля равна

ее цену будем считать равной номиналу). Тогда конечная стоимость портфеля будет равна

где

I(c)(π) - купонный доход портфеля

I(r)(π) - реинвестиционный доход (от купонов и погашения номиналов)

I(p)(π)= P1(π) - P0(π) – ценовой доход портфеля.

Заметим, что все эти виды дохода, получаются простым суммированием (сальдированием) соответствующих видов доходов от облигаций входящих в портфель:

где

TI(Bk) = I(c)(Bk)+ I(r)(Bk)+ I(p)(Bk).

Деля полный доход на начальный инвестированный капитал W0 =P0(π) мы получим реализованную доходность портфеля за период T:

rT(π) = TI(π)/P0(π). (4.20)

Учитывая (4.10) и определение веса облигации в портфеле получим важнейшую формулу в теории управления облигационным портфелем:

Эта формула утверждает, что реализованная доходность портфеля облигаций за инвестиционный период есть средневзвешенная (по начальным весам) реализованная доходность облигаций за этот период.

Наконец нормируя полученную доходность (приводя к годовому базису) получаем выражение для годовой реализованной доходности

Пример 4.6. Рассмотрим две облигации с годовыми купонами, одинаковым номиналом 1000 руб. Первая облигация (B1) имеет срок погашения 2 года и купонную ставку 10% годовых; вторая (B2) срок погашения шесть лет и купонную ставку 20% годовых. Найти реализованную доходность портфеля = 5B1 +2B2, с

35

инвестиционным горизонтом 4 года, если начальный уровень рыночной ставки 10%, конечный - 15%, а ставка реинвестирования равна 12% годовых.

Решение. Потоки платежей по этим облигациям изображены на временных диаграммах ниже:

Найдем сначала начальные стоимости облигаций и портфеля:

Тогда

P0() = 5∙1000 + 2∙ 1435,53 = 7871,06(руб.)

Начальные веса облигаций будут равны

w1 = 5∙1000 /7871,06 = 0,6352; w2=2∙1435,53/7871,06 = 0,3648,

Стоимости облигаций в конце периода равны:

Купонный доход по первой облигации составит

I(c)(B1) = 2∙100= 200 (руб.)

Реинвестирование купонов первой облигации к концу периода даст

100(1+0,12)3+100(1+0,12)2 = 265,93 (руб.),

Реинвестирование номинала первой облигации к концу периода даст

1000(1+0,12)2 = 1254,44 (руб.)

Следовательно, доход от реинвестирования купонов и номинала будет

I(r)(B1) = (265,93200) + (1254,44 -1000) = 320,33 (руб.),

а ценовой доход:

I(p)(B1)=1000 - 1000 = 0 (руб.)

Полный доход по первой облигации составит

TI(B1) = 200+ 320,33+0 = 520,33 (руб.)

а реализованная доходность за период [0,4]

r4(B1) =520,33/1000=0,52033=52,03%;

Для второй облигации купонный доход составит

I(c)(B1) = 4∙200= 800 (руб.)

Реинвестирование купонов второй облигации к концу периода даст

200(1+0,12)3+200(1+0,12)2+200(1+0,12)1 + 200 = 955,87 (руб.)

Следовательно, доход от реинвестирования купонов будет

I(r)(B2) = 955,87 - 800 = 155,87 (руб.)

а ценовой доход:

I(p)(B2) = 1081,29 -1435,53 = - 354,24 (руб.)

Полный доход по второй облигации составит

TI(B2)= 800 + 155,87 - 354,24 = 601,63 (руб.)

а реализованная доходность за период [0,4]

r4(B2) = 601,63/1435,53 = 0,41909 = 41,91%.

Полный доход портфеля будет равен

TI(π) = 5∙520,33 + 2∙601,63 = 3804,91(руб.)

Реализованная доходность портфеля за период [0,4] будет равна r4(π) =3804,91/7871,06 = 0,4834 = 48,34%,

36

а реализованная годовая доходность

y(π) =(1+0,4834)1/4-1= 10,36% годовых.

Легко проверить, что средневзвешенная доходность облигаций за период [0,4] равна

0,6352∙0,52033+ 0,3648∙0,41909 = 0,4834=48,34%,

т.е. совпадает с реализованной доходностью портфеля, в точном соответствии с формулой (4.11). ■

Второй подход к вычислению реализованной доходности портфеля заключается в работе непосредственно с потоком платежей портфеля. При этом подходе поток платежей CF(π) портфеля конечным моментом tk инвестиционного периода разбивается на две части: начальную

CFT (π) {(t j ,C j ) : t j tk },

содержащую все платежи потока до конца инвестиционного периода включительно и конечную

CFT (π) {(t j ,C j ) : t j tk },

содержащую все остальные платежи потока. В модели с тремя ставками: начальной - i0, конечной ik, – и ставкой реинвестирования ri начальный капитал W0 (начальная стоимость портфеля) равен текущей стоимости потока CF(π) относительно начального момента t0:

Полный капитал Wk портфеля, накопленный к моменту tk - концу инвестиционного периода, равен сумме приведенных к этому моменту стоимостей начальной части (со ставкой капитализации равной ставке реинвестирования ri) и конечной части (со ставкой дисконтирования равной конечной ставке ik):

Тогда коэффициент роста за инвестиционный период [t0,tk] будет равен

aT Wk , W 0

а реализованная годовая (эффективная) доходность

Приведенная к концу инвестиционного периода стоимость начальной части портфеля равна

PV4 (CF4 (π)) 900(1 0,12)3 5900(1 0,12)2 400(1 0,12) 400 9513,40( руб.)

Приведенная к концу инвестиционного периода стоимость конечной части портфеля равна

37

Полный капитал портфеля в конце инвестиционного периода равен:

W4 = 9513,40 + 2162,57= 11675,97 (руб.).

Тогда коэффициент роста за инвестиционный период [0, 4] будет равен

11675,97

a4 7871,06 1,4834,

а реализованная годовая (эффективная) доходность

yr 1,48341 / 4 1 0,1036 10,36% . ■

Рассмотрим один важный частный случай модели определения реализованной доходности портфеля с тремя ставками, когда ставка реинвестирования и конечная ставка совпадают. Такую модель мы будем называть «моделью двух ставок». Содержательно эта модель интерпретируется как однократное (сразу после формирования портфеля) изменение начальной ставки и ее постоянство на время существования портфеля.

Из равенства (4.14) следует, что при ri=ik конечный капитал Wk портфеля определяется выражением

Таким образом для того чтобы найти капитал портфеля в конце инвестиционного периода, нужно найти стоимость портфеля в начальный момент по новой (конечной) ставке ik и привести ее к моменту tk (концу периода) по конечной ставке. Отсюда следует, что реализованная доходность в этом случае будет равна

где a0(i0,ik)=W0(i0)/W0(ik) – мгновенный (в момент t0) коэффициент роста, обусловленный мгновенным изменением ставки с начальной i0 на конечную ik, а aT(ri) = (1+ri)T – интервальный коэффициент роста, обусловленный последующим действием ставки ri=ik на всем инвестиционном периоде. Выражение для нормированной (годовой) ставки доходности принимает вид

При больших сроках инвестирования доминирующую роль играет ставка реинвестирования играет определяющую роль поскольку

= 7488,72 (руб.).

Конечная стоимость портфеля будет

W4 = W0(12%)(1+0,12)4= 11783,65(руб.).

Коэффициент роста за инвестиционный период [0, 4] будет равен

11783,65

a4 7871,06 1,4971,

а реализованная годовая (эффективная) доходность

38

yr 1,49711 / 4 1 0,1061 10,61% . ■

4.4. Дюрация портфеля.

Пусть B1, B2,…, Bn облигации обращающиеся на рынке,

CF( ) = {(1,С1),(2, С2),…,(M, СM)}

Модифицированной дюрацией портфеля называется величина

MD( ) = D( )/(1+ у )

Средневзвешенной дюрацией Маколея портфеля называется величина

где Dk - дюрация Маколея облигации Вk.

Пример 4.9. Найти средневзвешенную и дкп-дюрацию портфеля= 2A + 3B, где А облигация с параметрами: FА = 1000 руб., mА = 3 года, cА = 6%, PА = 900 руб., а В облигация с параметрами: FА = 1000 руб., mВ = 2 года, cВ = 12%.

и PB = 1100 руб.

Решение. Для нахождения доходности к погашению (yA) облигации A составляем уравнение:

Решая его, находим yA = 10,02% годовых. Аналогично составляем уравнение для дкп yВ облигации В:

Решая уравнение, находим yB = 6,50% годовых. Стоимость портфеля равна

Р = 2 РА + 3 РВ = 2 900 + 31100 = 5100 (руб.).

Веса облигаций в портфеле равны:

w1 = 2 900/5100 = 0,3529 и w2 = 3 1100/5100 = 0,6471.

Поток платежей по облигации А:

CFA = {(1, 60); (2, 60); (3, 1060)}.

Поток платежей по облигации В:

CFB = {(1, 120); (2, 1120)}.

Тогда поток платежей портфеля имеет вид

CF = 2CFA + 3CFB = {(1, 480); (2, 3480); (3, 2120)}.

Начальная цена портфеля облигаций P0() = 5100 руб. Найдем доходность к погашению (y ) портфеля облигаций из уравнения

Решая это уравнение, находим доходность к погашению y = 8,10% годовых. Дкп-дюрация портфеля равна

39

Учитывая что PА = 900 руб. и yA = 10,02% годовых, дюрация облигации А равна

Аналогично учитывая РВ = 1100 руб. и уВ = 6,50% годовых найдем дюрацию облигации В:

Поскольку wА = 0,3529 и wВ = 0,6471, то средневзвешенная дюрация портфеля равна

D( ) = 0,3629 2,82 + 0,64711,90 = 2,22 лет. ■

Заметим, что поскольку дюрация портфеля определена всегда, то средневзвешенная дюрация портфеля также всегда определена, чего нельзя сказать о дкп-дюрации портфеля, поскольку, как было показано выше, дкп портфеля существует не всегда. Однако в случае плоской структуры процентных ставок дкп портфеля совпадает с дкп всех облигаций и дкп-дюрация совпадает со

где Ckt – платеж в момент t по облигации Bk, Pk =P0(Bk) – ее начальная цена, а i=yk рыночная процентная ставка, совпадающая с дкп всех облигаций. Умножая дюрации этих облигаций на соответствующие веса w1, w2,...,wn , складывая и учитывая что wk/Pk= zk/P() получим

Здесь, поток

с =( С1, С2 ,…, Сn) = z1с1 + z2с2 + ...+ znсn.

есть поток платежей по портфелю.

Выше мы ограничились примерами вычисления дюрации лишь на моменты купонных выплат. Для моментов внутри купонных периодов, как было показано в гл. 3 для дюрации портфеля (как и для дюрации любого потока платежей) справедлива теорема о смещении

D(π,tk h) D(π,tk ) h .

Естественно, что очередная выплата платежа по портфелю как и в случае отдельной облигации приводит к скачку дюрации портфеля.

4.5. Управление процентным риском и иммунизация.

Выше было показано, что стоимость облигаций и портфелей, составленных из них, меняется при изменении процентной ставки. Так стоимость облигаций падает с ростом ставок и растет с их уменьшением. С другой стороны рост ставок, приводящий к уменьшению стоимости, ведет к росту инвестиционного (процентного) дохода от реинвестирования купонов и выручки от погашения и

40