Математика облигаций
.pdf
Решение. В таблице 1.3 приведены цены трех облигаций с купонными ставками 5% и 10% и 20% для различных сроков погашения, а на рис. 1.5 приведен графики цен этих облигаций.
|
|
|
Таблица 1.3. |
|
i(2)=10% |
|
||
m |
с=5% |
с=10% |
с=20% |
m |
с=5% |
|
с=10% |
с=20% |
1 |
98,18 |
100,00 |
101,82 |
11 |
87,01 |
|
100,00 |
112,99 |
2 |
96,53 |
100,00 |
103,47 |
12 |
86,37 |
|
100,00 |
113,63 |
3 |
95,03 |
100,00 |
104,97 |
13 |
85,79 |
|
100,00 |
114,21 |
4 |
93,66 |
100,00 |
106,34 |
14 |
85,27 |
|
100,00 |
114,73 |
5 |
92,42 |
100,00 |
107,58 |
15 |
84,79 |
|
100,00 |
115,21 |
6 |
91,29 |
100,00 |
108,71 |
16 |
84,35 |
|
100,00 |
115,65 |
7 |
90,26 |
100,00 |
109,74 |
17 |
83,96 |
|
100,00 |
116,04 |
8 |
89,33 |
100,00 |
110,67 |
18 |
83,60 |
|
100,00 |
116,40 |
9 |
88,48 |
100,00 |
111,52 |
19 |
83,27 |
|
100,00 |
116,73 |
10 |
87,71 |
100,00 |
112,29 |
20 |
82,97 |
|
100,00 |
117,03 |
Предельное значение стоимости для облигации с купонной ставкой c1 = 5% равно lim m P(m) = C1/i = 5/0,1= 50,
для облигации с купонной ставкой c2 = 10%
lim m P(m) = C2/i = 10/0,1= 100,
а для облигации с купонной ставкой c3= 20%
lim m P(m) = C3/i = 20/0,1= 200,
200 |
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
175 |
|
|
|
|
150 |
|
|
|
|
125 |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
25 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
-25 0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
|
с = 5% |
с = 10% |
с = 20% |
|
|
Рис. 1.5 |
█ |
|
|
1.3. Цена облигации для моментов внутри купонных периодов. Выше мы анализировали поведение цены облигации лишь относительно целых m, подразумевая при этом, что цена вычисляется в момент очередной купонной выплаты (на купонную дату). Однако можно рассматривать срок до погашения как непрерывный аргумент функции P(T), придавая ему любые неотрицательные действительные значения. С финансовой точки зрения такая процедура является обоснованной, ибо нас, вообще говоря, может интересовать стоимость облигации на любой момент её “жизни”, включая случай, когда до погашения осталось нецелое количество купонных периодов. Схематически эту ситуацию можно изобразить на рис. 1.6:
11
M+1
|
|
|
|
|
|
|
|
M=M0-k |
|
|
0 |
1 |
… |
k-1 |
|
t |
|
k |
|
… |
M0 |
|
|
w |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
T =M0-t |
|
|
момент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
момент |
эмиссии |
момент предыдущей |
|
текущий |
|
|
момент следующей |
|
|||
|
|
|
|
погашения |
||||||
|
купонной выплаты |
|
момент |
|
|
купонной выплаты |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис 1.6
Здесь М0 – начальный срок до погашения облигации, а t-текущий момент (момент оценивания) лежащий в k–ом купонном периоде [k-1,k]. Тогда T = М0 – t - текущий (оставшийся) срок до погашения, М=[T]=M0–k - число целых оставшихся купонных периодов на конец текущего периода и, значит M+1 оставшихся до погашения купонных платежей. Обозначим через
w = {T}= T – M = k – t
дробную часть срока до погашения T, а через
=1–w = t – k+1
-срок, прошедший от начала текущего периода до момента оценивания. Тогда
t = k – 1+ = k – w и T = M +w.
Дробная часть w изменяется в промежутке (0, 1) и интерпретируется как длина временного интервала от текущего момента до момента следующей выплаты по купону, выраженная в долях купонного периода.
Стоимость определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
P C |
h |
|
1 |
|
|
|
C |
|
C |
|
C F |
|
|
|
P(T ) |
k |
= |
|
C |
|
|
h |
... |
h |
|
|
h |
. |
(1.4) |
|
|
(1 i )w |
|
(1 i )w |
h |
|
(1 i )1 |
|
(1 i )M -1 |
|
(1 |
i )M |
|
|||
|
h |
|
|
h |
|
|
|
h |
|
h |
|
|
h |
|
|
Стоимость Pk – есть стоимость на момент следующей (относительно момента оценивания) купонной выплаты. Она вычисляется по формулам (1.2) - (1.2’). В числителе Pk + Ch выражения (1.4) учитывается и предстоящая выплата ближайшего купона, который, как отмечалось выше, не учитывается в стоимости Pk. Этот метод используется в основном при оценивании облигации внутри последнего купонного периода.
Этот способ эквивалентен общей схеме дисконтирования произвольного потока платежей в схеме сложных процентов.
|
|
|
|
Ch |
|
|
|
|
|
Ch |
|
|
|
|
Ch |
|
|
Ch F |
|
|||||
P(T ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(1 i |
)w |
|
(1 i )1 w |
(1 i |
)M 1 w |
(1 i |
)M w |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
1 |
|
C |
|
|
|
Ch |
... |
|
Ch |
|
|
|
|
Ch F |
|
|
|
||||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
M -1 |
|
|
|
M |
|
|
||||||||||
|
(1 ih ) |
w |
|
1 ih |
|
(1 ih ) |
|
|
(1 ih ) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Сначала все будущие платежи дисконтируются к моменту первой купонной выплаты (не включая саму эту выплату), что дает значение Pk, затем полученная стоимость и первая выплата дисконтируются к моменту оценки.
Другой, эквивалентный, способ состоит в дисконтировании будущих платежей на предыдущую купонную дату, с последующим приведением ее к моменту оценивания. Поскольку w = 1- , то
P(T ) |
Ch |
|
|
Ch |
... |
Ch |
|
Ch F |
|
|||
(1 i |
)w |
(1 i |
)1 w |
(1 i |
)M 1 w |
(1 i |
)M w |
|||||
|
h |
|
|
h |
|
|
h |
|
|
h |
|
|
12
|
Ch |
|
|
|
Ch |
|
... |
|
Ch |
|
|
|
Ch F |
|
||
(1 i )1- |
(1 i )2 |
|
(1 i )M |
(1 i )M 1 |
||||||||||||
|
h |
|
|
|
h |
|
|
|
h |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
Ch |
|
|
|
Ch |
|
|
|
Ch F |
|
|
|||
|
(1 i) |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
(1 ih ) |
M |
|
(1 ih ) |
M 1 |
||||||||||
|
|
|
(1 ih ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выражение в квадратных скобках есть, очевидно, выражение для цены
облигации на предыдущую купонную дату. Таким образом, в этом случае |
||||
P(T) =Pt = Pk-1(1+ ih) = Fc |
1 1/(1 i )M 1 |
(1 i ) / i |
F /(1 i )M 1 |
, (1.5) |
h |
h |
h h |
h |
|
где Pk-1 –цена на начало текущего купонного периода. Заметим, что во всех приведенных выше формулах купонный платеж Сh – платеж за купонный период, а
ставка ih - ставка за купонный период!
Из равенств (1.4)-(1.5) следует, что полная цена есть возрастающая функция купонной ставки и убывающая выпуклая вниз функция рыночной ставки.
Пример 1.9. Найти цену облигации с номиналом 1000руб, купонной ставкой 10% и сроком погашения 1,3 года, относительно номинальной ставки 12% годовых, если купоны а) годовые, б) полугодовые. Использовать схему простых и сложных процентов.
Решение. а) Поток платежей облигации в годовой шкале имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
1100 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
____ ___ |
|
___ w___ |
1 |
|
|
|
2 |
||||
|
|
0,7 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
T = 1,3 m=M = k = 1 |
w = 0,3 |
|
=0,7 |
|||||||
Тогда цена облигации в схеме простых процентов |
|
|
||||||||||
|
|
P |
|
1 |
|
|
|
1100 |
|
|
1044,54, |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|||
|
|
|
0,3 0,12 |
1 0,12 |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
а в схеме сложных процентов при дисконтировании к моменту оценивания получаем
P |
|
1 |
|
|
1100 |
|
|
1045,97. |
|
|
|
100 |
|
|
|
||||
1 |
0,12 0,3 |
1 0,12 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
Этот же результат получается при использовании второго способа (при дисконтировании к моменту предыдущей купонной выплаты)
|
|
100 |
|
|
1100 |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
(1 0,12)0,7 |
1045,97 |
|
|
|
|
2 |
|||||
|
1 |
0,12 |
|
(1 0,12) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
б) Поток платежей облигации в полугодовой шкале имеет вид:
|
50 |
|
50 |
50 |
1050 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
T = 2,6 |
M=2 |
k =2 w = 0,6 |
|
= 0,4 |
|
Тогда цена облигации в схеме простых процентов
|
1 |
|
|
|
|
50 |
|
|
1050 |
|
|
P |
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
995,82, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 0,6 0,06 |
|
|
|
1 0,06 |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 0,06 |
|
|
||||
а в схеме сложных процентов, по первому методу
13
|
1 |
|
|
|
50 |
|
|
1050 |
|
|
P |
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
996,22, |
0,6 |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
1 0,06 |
|
|
|
|||
|
1 0,06 |
|
|
|
|
1 0,06 |
|
|
||
и по второму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
50 |
|
|
|
1050 |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 0,06)0,4 |
996,22. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
0,06 |
|
(1 0,06) |
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,06 |
|
|
|
|||||
Пример 1.10. Рассмотрим снова три облигации из примера 1.8. Построить таблицу и график зависимости стоимости от срока погашения для этих облигаций при рыночной ставке 10% годовых. Использовать схему сложных процентов.
Решение. В таблице 1.4 представлены цены облигаций с купонными ставками 5% и 10% и 20% внутри двух первых купонных периодов. На рис. 1.7 представлены графики цен этих облигаций на диапазоне от 0 до 20 лет. ■
Таблица 1.4.
m |
с=5% |
с=10% |
с=20% |
m |
с=5% |
с=10% |
с=20% |
0,1 |
104,00 |
108,96 |
118,86 |
1,1 |
99,50 |
108,96 |
127,87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
103,02 |
107,92 |
117,73 |
1,2 |
98,56 |
107,92 |
126,65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
102,04 |
106,90 |
116,62 |
1,3 |
97,62 |
106,90 |
125,45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
101,07 |
105,89 |
115,51 |
1,4 |
96,70 |
105,89 |
124,26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
100,11 |
104,88 |
114,42 |
1,5 |
95,78 |
104,88 |
123,08 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
99,16 |
103,89 |
113,33 |
1,6 |
94,87 |
103,89 |
121,92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 |
98,22 |
102,90 |
112,26 |
1,7 |
93,97 |
102,90 |
120,76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
97,29 |
101,92 |
111,19 |
1,8 |
93,08 |
101,92 |
119,61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9 |
96,37 |
100,96 |
110,14 |
1,9 |
92,20 |
100,96 |
118,48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
95,45 |
100,00 |
109,09 |
2,0 |
91,32 |
100,00 |
117,36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зависимость цены от срока до погашения |
|
||
250 |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
150 |
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
|
5% |
10% |
20% |
номинал |
|
■ |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.7 |
|
|
|
Приведенные примеры иллюстрируют общий характер зависимости стоимости облигации от срока до погашения. Функция P(T) является кусочно-непрерывной. Стоимость облигации, с ростом срока погашения, сначала снижается, поскольку точка оценивания смещается влево при постоянной структуре потока, но при прохождении целого значения к потоку добавляется очередной купон, который увеличивает стоимость на величину купонного платежа, а затем снова идет снижение стоимости за счет смещения влево точки оценивания ит.д. Очевидно, что
14
нижняя "огибающая" графика стоимости в целых точках совпадает с целочисленной функцией P(m). Но при прохождении целого значения к потоку добавляется очередной купон, который увеличивает стоимость на величину купонного платежа, а затем снова идет снижение стоимости за счет смещения влево точки оценивания ит.д. Очевидно, что нижняя "огибающая" графика стоимости в целых точках совпадает с целочисленной функцией P(m).
Очевидно, что изменение стоимости облигации как функции момента времени t, который меняется от момента эмиссии t0 до момента погашения tпог будет симметрично-противоположным, поскольку T = tпог - t.
|
P |
Зависмость цены от времени |
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160 |
|
|
|
|
|
140 |
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
40 |
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
|
5% |
10% |
20% |
|
номинал |
|
|
|
Рис. 1.8 |
|
|
1. 4. Накопленный купон, чистая и полная цена облигации.
Когда инвестор покупает облигацию между купонными выплатами, то он должен компенсировать продавцу облигации купонный процент, накопленный со дня последней купонной выплаты. Эта сумма называется накопленным процентом (купоном) и обозначается AI или AC. Накопленный купон представляет собой пропорциональную долю купонного платежа соответсвующей доле t купонного периода, прошедшего с момента последнего купонного платежа:
ACt = Ch· t.
Стоимость облигации, полученная дисконтированием потока платежей на текущий момент t (см. ф-лы 1.2-1.2’) называется полной или грязной ценой облигации.
Разность полной цены и накопленного купона называется чистой (котировочной) ценой облигации. Ее мы будем обозначать Pt(c) :
= Pt - ACt.
В отличие от полной цены (которая скачком меняется в моменты купонных выплат) чистая цена непрерывная функция. возрастающая облигаций, торгующихся с дисконтом и убывающая для премиальных.
Пример 1.11. Найти накопленный купон полную чистую цену для облигации из примера 1.9 в схеме простых и сложных процентов.
Решение. а) В примере 1.9 для годовой шкалы мы нашли
С=100 = 0,7, w = 0,3
поэтому накопленный купон будет равен (и для простых и сложных процентов)
AC = C = 1000,7 = 70 (руб.)
Рполн = P = 1045,97, тогда чистая цена будет равна
P (чист) = 1045,97-70= 975,97 (руб.)
б) Для полугодовой шкалы мы нашли
15
|
|
|
|
|
|
С1/2=50; |
|
=0,4; |
|
w = 0,6; |
|
|
|
|
|
поэтому накопленный купон будет равен |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
(полн) |
AC = Ch = 5004 = 20 (руб.) |
|
|
|
|
|||||
Полная цена равна Р |
|
= P = 996,22, тогда чистая цена будет равна |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
(чист) |
= 996,22-20= 976,22 (руб.) |
|
■ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.12. Построить график полной и чистой цены 10-летней облигации с |
|||||||||||||||
15% годовыми купонами, относительно номинальной рыночной ставки i=10% и |
|||||||||||||||
20%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. На рис. 1.9 а) и б) изображен график полной и чистой цены |
|||||||||||||||
облигации для двух значений рыночной ставки |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
P |
Полная и чистая цена |
|
|
|
P |
Полная и чистая цена |
|
|
||||||
160 |
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
140 |
|
|
|
|
|
|
|
|
110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
2 |
4 |
|
6 |
8 |
10 |
0 |
|
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
|
грязная цена |
|
чистая цена |
номинал |
|
грязная цена |
|
чистая цена |
|
номинал |
|||||
|
|
а) i=10% |
|
|
|
|
|
|
|
а) i=20% |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.9. а), б) |
|
|
|
|
|
||
1.5. Практические методы оценивания облигаций.
Поток платежей в календарной шкале. Выше мы работали в годовой шкале. На практике ряд параметров сделок с облигацией задается в календарной шкале. Так для облигации указывается дата погашения и дата эмиссии. Кроме того, важными параметрами являются дата сделки и дата оценивания. В некоторых случаях начисление (купонных) процентов начинается не с даты эмиссии, а с некоторой более поздней или ранней даты и т.д. Использование календарной шкалы в расчете облигационных сделок имеет свою специфику, связанную с применением временных правил. Эта специфика заключается в частности в правилах вычисления параметров , w используемых в формулах (1.3)-(1.5).
На практике оценивание облигаций начинается с построения потока платежей по облигации непосредственно в календарной шкале (см. рис.1.10).
|
|
C1 |
C2 |
…. |
Cn-1 |
Cn |
|
|
|
|
|
|
|
д-1 |
д0 |
д1 |
д2 |
… |
дn - 1 |
дn |
|
1-ый |
|
купонные….периоды |
дата погашения |
||
|
|
|
||||
|
купонный период |
|
||||
|
|
|
|
|
||
Рис. 1.10
Построение потока начинается с даты погашения дn, которая определяет последовательность купонных дат: дn, дn-1, …, д1, отстоящих друг от друга точно на 12/v месяцев, где v - частота купонных выплат в году. Это правило обычно
16
модифицируется, если дата погашения – последний день месяца. В этом случае остальные купонные даты также будут последними днями соответствующих месяцев.
Например, если дата погашения (последняя купонная дата) облигации с полугодовыми купонами 15.09.05, то предыдущая дата будет 15.03.05, предшествующая ей 15.09.04 и т.д. Если же дата погашения облигации с полугодовыми купонами 30.06.04, то предыдущая купонная дата 31.01.04, предшествующая последней 30.06.03 ит.д.
Купонные даты – это даты купонных платежей. К ним добавляют еще две даты д0 – нулевую и д-1- «мнимую» купонные даты. С этими датами никакие платежи не связаны, но они играют важную роль в оценивании облигаций. Пара смежных купонных дат дk-1, дk определяет k-ый купонный период (дk-1, дk], k = 0,1,…, n. Так дn-1, дn определяет последний купонный период (дn-1, дn], пара д0, д1 - первый (стандартный) купонный период (д0, д1], пара д-1, д0 - мнимый купонный период (д-1, д0]. Если дата эмиссии дэ совпадает с нулевой купонной датой, то облигация называется стандартной, в противном случае облигация называется нестандартной. Обычно несовпадение этих дат вызвано тем, что нулевая купонная дата попадает на выходной или праздничный день.
Для вычисления накопленного процента определяется число дней между датой последней купонной выплаты и датой покупки облигации (расчетной датой). На облигационных рынках различных стран существуют различные соглашения об определении числа дней. Эти соглашения называются соглашениями о числе дней
(days_count_conventions) или временными правилами.
Введем следующие обозначения. Обозначим через д = (d, m, y) или коротко
текущую дату или дату оценки облигации.
Имеется много различных схем вычисления накопленного купона. В целом их можно описать следующим образом. Пусть также д- = (d-,m-,y-) дата выплаты предыдущего, а д+ = (d+,m+,y+) - следующего купона относительно текущей даты. Период [д-, д+) называется текущим купонным периодом. Этот период однозначно определяет текущий годовой купонный период, который определяется двумя смежными годовыми купонными датами, такими, что дата оценивания лежит между ними. Годовыми купонными датами называются даты одноименные с датой погашения (т.е. имеющие тот же номер дня и месяца, что и дата погашения). В целом все правила можно разбить на два класса: основанные на годовых и на фактических купонных периодах.
Правила основанные на годовых купонных периодах:
Правила основанные на годовых купонных периодах описываются следующим образом: накопленный процент равен:
AI = C (D /Y),
где AI – накопленный процент,
D – число дней между датами д1 и д,
Y – число дней в году в текущем годовом купонном периоде, С – размер годового купона.
Существуют различные способы (временные правила) вычисления числа дней
(D) между двумя датами и числа дней в текущем годовом купонном периоде (Y).
Для вычисления срока между датами может быть использовано одно из перечисленных ниже правил:
Правило АСТ/365 (Используется в Великобритании, Японии)
Предполагается, что в году 365 дней, т.е. Y = 365. Срок между датами D задается как точное (фактическое) число дней между двумя датами.
17
Пример 1.13. Найти накопленный процент, если 15.04.01 – дата выплаты предыдущего купона, 25.07.02 – дата оценки облигации Правило АСТ/365. Купонный платеж равен 100руб.
Решение. Число дней между 15.04.01 и 25.07.02
Итого |
D = 259 + 207 = 466 дней. |
|||
Накопленный процент |
|
|
|
|
|
AI = С(D/Y ) = |
466 100 |
= 127,67 (руб.). █ |
|
|
365 |
|
||
|
|
|
|
|
Банковское правило АСТ/360 (Используется в США, Франции)
Предполагается, что в году 360 дней, т.е. Y = 360. Срок между датами D задается как фактическое число дней между двумя датами.
Пример 1.14. Найти накопленный процент, если 15.04.01 – дата выплаты предыдущего купона, 25.07.02 – дата оценки облигации Правило АСТ/360. Купонный платеж равен 100руб.
Решение.
Этот срок между датами можно разбить на срок с 15.04.01 до 01.01.02 и с
1.01.02 по 25.07.02.
Число дней с 15.04.01 до 25.07.02 D = 259 + 207 = 466 дней.
Накопленный купон
AI = (D С) / Y = |
466 100 |
= 129,44 (руб.). |
█ |
|
360 |
|
|||
|
|
|
|
|
Правило 30/360 (Используется Федеральными агентствами и корпорациями США)
Предполагается, что в году 360 дней, т.е. Y = 360. Срок между датами D вычисляется по правилу
((y2 – y1) 360) + ((m2 – m1) 30) + (d2 – d1).
Пример 1.15. Найти накопленный процент, если 15.04.01 – дата выплаты предыдущего купона, 25.07.02 – дата оценки облигации. Правило 30/360. Купонный платеж 100руб.
Решение. Срок в днях D между датами вычисляется по правилу
D= ((y2 – y1) 360) + ((m2 – m1) 30) + (d2 – d1) =
=(02-01) 360) + ((07 – 04) 30) + (25 – 15) = 460 дней.
Накопленный процент |
|
|
|
|
AI = (D С) / Y = 460 100/360 |
460 100 |
= 127,7 руб. |
█ |
|
360 |
|
|||
|
|
|
|
|
Правило 30Е/360 (Используется в Германии, Голландии)
Предполагается, что в году 360 дней, т.е. Y = 360. Рассмотрим начальную d1.m1.y1 и конечную d2.m2.y2 даты. Срок между датами D вычисляется по правилу:
Если d1 равно 31, то изменить его на 30. Если d2 равно 31, то изменить его на 30.
Тогда число дней между датами и равно:
((y2 – y1) 360) + ((m2 – m1) 30) + (d2 – d1)
Пример 1.16. Найти накопленный процент, если 31.03.01 – дата выплаты предыдущего купона, 25.07.02 – дата оценки облигации Правило 30/360. Купонный платеж равен 100руб..
Решение. Так как d1 равно 31, то меняем его на 30. Срок между датами D вычисляется по правилу
D = (y2 – y1) 360) + ((m2 – m1) 30) + (d2 – d1) =
= (02-01) 360) + ((07 – 03) 30) + (30 – 25)= 485 дней.
Накопленный процент (купон)
18
AI = (D С) / Y = 485 100/360 = 134,7(руб.). |
█ |
Правила основанные на фактических купонных периодах:
Правило АСТ/АСТ (Казначейство США, Франция, Австралия)
В этом правиле предполагается, что срок между датами D задается как действительное число дней между двумя датами, а Y – это число дней в текущем купонном периоде. Здесь, как и выше мы под текущим купонным периодом понимаем купонный период, содержащий дату оценивания, сделки или эмиссии облигации. Ниже мы будем пользоваться исключительно этим правилом вычисления накопленного купона.
Пример 1.17. Найти накопленный процент, если 31.03.01 – дата выплаты предыдущего купона, 25.07.02 – дата оценки облигации. Правило AСT/AСT. Купонная выплата 100 руб.. Год не високосный.
Решение. По умолчанию, купонный период – год. Значит Y равно числу дней в невисокосном году, т.е. Y = 365.
D = 451 день.
Накопленный процент (купон)
AI = (D С) / Y = 451 100/365 = 123,5 (руб.). █
1.6. Полная (грязная) и чистая цены облигации в календарной шкале.
Полная цена облигации P равна текущей стоимости будущего потока платежей
облигации |
на момент |
оценки. |
Для |
этого сначала по формуле (1.2) |
находят |
стоимость |
облигации |
P1 на |
дату |
выплаты предыдущего купона, |
а затем |
накопленную стоимость к моменту оценки облигации, т.е. |
|
||||
|
|
|
Рд = Р-∙(1 + i) , |
(1.6) |
|
где:
Рд - полная цена облигации на дату ее оценки, Р- - цена облигации на дату выплаты предыдущего купона,
i – рыночная эффективная годовая процентная ставка в схемах основанных на годовых купонных периодах и ставка (ih) за период в схемах основанных на фактических купонных периодах.
- срок в годах или в периодах от предыдущей купонной даты до даты оценки. Капитализация по формуле (1.3) использует обычно правило АСТ/365, поэтому получаем формулу
D
Pд Р (1 i) 365
где – D точное число дней между предыдущей купонной даты и датой оценки.
|
Чистая цена облигации = полная цена облигации – накопленный процент, |
|
т.е. |
|
|
|
P(с) = P - AС, |
(1.7) |
где |
P0 - чистая цена облигации, P - полная цена облигации, |
AС - накопленный |
купон. |
|
|
Замечание. Как было указано выше, при определении накопленного купона используются различные временные правила, тогда как капитализация обычно осуществляется по правилу АСТ/365 или АСТ/АСТ.
Пример 1.18. На 25.08.00 найти чистую и полную цену облигации с датой погашения 15.03.02, номиналом 1000 руб. и годовыми купонами по ставке 8%, если рыночная процентная ставка равна 10% годовых. Правило - АСТ/360.
Решение. Порядковый номер даты 15.03.00 равен 74, а порядковый номер даты 25.08.00 - 237, значит точный срок между датами 15.03.00 и 25.08.00 равен 237
– 74 = 163 дня. Продолжительность текущего купонного периода [15.03.00; 15.03.01) равна 365 дней. Накопленный купон равен
AI = (D С) / Y = 163 80/365 = 35,73.
19
Полная цена P облигации равна капитализации цены P1 облигации (на дату выплаты предыдущего купона, т.е. на 15.03.00) на дату оценки облигации (т.е. на
25.08.00)
|
D |
163 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P Р (1 i) 365 |
= Р (1 i) 365 |
= 1,0435P1, |
|||
1 |
|
1 |
|
|
|
где i = 10% = 0,1 - рыночная процентная ставка. Согласно формуле (1.2) находим цену облигации на 15.03.00
P |
|
C |
|
C F |
|
80 |
|
80 1000 |
= 965,29 (руб.). |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
(1 |
i) |
|
(1 i)2 |
(1 0,1) |
|
(1 0,1)2 |
||
|
|
|
|||||||
Отсюда находим полную
P = 1,0435P1 =1,044 965,29 = 1007,26 (руб.).
и чистую
P0 = P - AI = 1007,26-35,73 = 971,54(руб.).
цены облигации. █
Задачи 1.
1.Купонная ставка облигации равна 20%, а номинал облигации равен 5000 руб. Найти размер купонных выплат по этой облигации. Купонный период – квартал.
2.Купонная ставка облигации равна 15%, размер купонных выплат по облигации равен 150 руб.. Найти номинал облигации. Купонный период – полгода.
3.Определить номинал облигации, если курс облигации 90, а рыночная цена облигации 1500 руб..
4.Номинальная стоимость облигации - 200 млн. руб. Куплено 10 облигаций по курсу
90.Определите стоимость покупки.
5.Номинальная стоимость облигации - 200 тыс. руб. Продажная цена - 185 тыс. руб. Определите курс облигаций.
6.Найти поток платежей облигации, купонная ставка которой равна 20%, а номинал равен 3000. Срок облигации 3 года. Купонный период – полугодие.
7.Найти поток платежей облигации, купонная ставка которой равна 16%, а размер купонных выплат равен 80 руб.. Срок до погашения облигации 4 года. Купонный период – квартал.
8.Определить внутреннюю цену облигации, заданной параметрами: m = 5, c = 7%, F = 1000 руб., h = 1 относительно ставки i = 10%. Как изменится цена если купоны выплачиваются 2 раза в год?
9.Купонная ставка облигации равна 15%, а размер купонных годовых выплат равен
150руб.. Срок до погашения облигации 4 года. Рыночная процентная ставка 20%. Найти внутреннюю стоимость облигации. Как изменится цена если срок погашения станет 5 лет?
10.Найти накопленный процент, если 25.07.01 – дата выплаты предыдущего купона, 10.05.02 – дата оценки облигации. Правило АСТ/365. Купонная годовая выплата
300руб..
11.Найти накопленный процент, если 10.08.01 – дата выплаты предыдущего купона, 10.12.01 – дата оценки облигации. Правило 30/360. Купонная годовая выплата 500 руб.
12.На 8.05.00 найти чистую и полную цену облигации с датой погашения 20.07.02, номиналом 1000 руб. и годовыми купонами по ставке 10%, если рыночная процентная ставка равна 15% годовых. Правило АСТ/ACT.
20