Варианты контрольных работ вариант 1

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 1)

Контрольная работа № 1

1. Даны матрицы

и

Найти ранг матрицы

2. По формулам Крамера решить систему:

3. Решить систему линейных уравнений:

Найти какое-нибудь базисное решение.

4. Найти длину вектора , если= (–1; 4; –2); = (2; 3;–1).

5. Даны четыре вектора

=(2;4; – 6); =(1;3;5);=(0; – 3;7);=(3;2;52)

в некотором базисе. Показать, что векторы ,,образуют базис, и найти координаты векторав этом базисе.

6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицейА= .

7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x_1, x₂)=2x₁²+5x₂²+4x₁x₂

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат);

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x_1, x₂, x₃)=2x₁²– 3x₃²– 4x₁x₂+4x₁x₃–8x₂x₃.

Контрольная работа №2

1. Даны уравнения двух сторон прямоугольника ,и уравнение его диагонали. Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника. Сделать чертеж.

2. Убедившись, что точка лежит на гиперболе, определить длины отрезковMF₁ и MF₂, где F₁ и F₂ ‒ фокусы эллипса.

3. Центр окружности лежит на прямой . Составить уравнение этой окружности, если она проходит через точки пересечения двух окружностей,.

4. Найти расстояние от плоскости до начала координат

5. Найти угол между плоскостью и линией пересечения плоскостейи.

Вариант 2 (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 2) Контрольная работа № 1

1. Даны матрицы

и

Найти ранг матрицы

2. Методом обратной матрицы решить систему:

3. Определить, имеет ли однородная система

ненулевое решение. Найти общее решение системы.

4. Найти длину вектора , если длина вектораравна 3,

длина вектора равна 4, угол между векторамииравен 120⁰.

5. Даны четыре вектора

=(4;3;–1); =(5;0;4);=(2;1;2);=(0;12;– 6)

в некотором базисе. Показать, что векторы ,,образуют базис, и найти координаты векторав этом базисе.

6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного

оператора , заданного матрицейА= .

7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x_1, x₂)= ) f(x_1, x₂)=3x₁²+ x₂²-x₁x₂ ) f(x_1, x₂)=x₁²+5x₂²+4x₁x₂

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования

координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x_1, x₂, x₃)=x₁²+ 3x₂²+ 4x₃² +2x₁x₂+2x₁x₃ +6x₂x_3..

Контрольная работа №2

1. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину прямого угла треугольника и центр описанной окружности, если координаты остальных вершин треугольникаи. Сделать чертеж.

2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами равно 10.

3. Определить вид и расположение кривой второго порядка , приведя ее уравнение к каноническому виду. Составить уравнения прямой, проходящей через фокус этой кривой и точку с ординатой, равной 5.

4. Найти расстояние от плоскости до начала координат.

5. Найти угол между плоскостью и линией пересечения плоскостейи.