Вариант 9

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 9)

Контрольная работа № 1

1. Даны матрицы

и

Определить, имеет ли матрица обратную.

2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

3. Решить систему линейных уравнений.

Найти какое-нибудь базисное решение.

4. Найти длину вектора , если= (1;3; -2);= (–2;1; –1).

5. Даны четыре вектора =(1; –1;3);=(2;0;1);=(3;4; –5);=(0;0;1). в некотором базисе. Показать, что векторы,,образуют базис, и найти координаты векторав этом базисе.

6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А= .

7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x_1, x₂)= –2x₁²+5 x₂²–4x₁x₂

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x_1, x₂, x₃)=3x₁²– 3x₃²– 4x₁x₂+4x₁x₃–2x₂x₃.

Контрольная работа №2

1. Точка является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой. Составить уравнение прямой, на которой лежит параллельная ей сторона этого квадрата.

2. Убедившись, что точка лежит на эллипсе, определить длины отрезковMF₁ и MF₂, где F₁ и F₂ ‒ фокусы эллипса.

3. Определить вид и расположение кривой второго порядка , приведя ее уравнение к каноническому виду. Составить уравнение прямой, проходящей через ее центр перпендикулярно прямой. Сделать чертеж.

4. Найти угол между плоскостями и.

5. Лежат ли прямые ,ив одной плоскости? Если да, то написать уравнение этой плоскости.

Вариант 10

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 0)

Контрольная работа № 1

1. Даны матрицы

и

Определить, имеет ли матрица обратную.

2. Методом обратной матрицы решить систему:

3. Определить, имеет ли однородная система

ненулевое решение. Найти общее решение системы.

4. Вычислить:

, если = (1; 0; 3);= (3;–2; 0); = (2; 1; –4).

5. Даны четыре вектора

=(4;5;2); =(3;0;1);=(–1;4;2);=(5;7;8).

в некотором базисе. Показать, что векторы ,,образуют базис, и найти координаты векторав этом базисе.

6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицейА= .

7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x_1, x₂)= –2x₁²+6 x₂²–8x₁x₂

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x_1, x₂, x₃)=2x₁² +3x₃²–2x₁x₂+4x₁x₃–8x₂x₃.

Контрольная работа №2

1. Найти координаты вершин углов прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза лежат на прямых исоответственно, а одна из вершин, лежащих на этом катете имеет абсциссу, равную 2. Сделать чертеж.

2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если расстояние между фокусами равно 10, а длина оси, расположенной на оси ординат, равна 8.

3. Составить уравнение окружности, проходящей через точки ,

, а ее центр лежит на прямой .

4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторами.

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой, проходящей через точки и.