Тема 4. Линейные операторы

Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов. Матрица линейного оператора в заданном базисе. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы). Характеристический многочлен матрицы. Диагональный вид матрицы линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. ([1 или 5, § 3.6, 3.7]; [2 или 6, § 3.3, 3.4], или [3, § 3.6, 3.7, 3.12,3.13], или [4, § 3.8, 3.10, 3.18, 3.19]).

.

В этой теме рассматривается одно из базовых понятий линейной алгебры – понятие линейного оператора (преобразования, отображения), представляющего закон (правило), по которому каждому вектору х n-мерного пространства ставится в соответствие один векторy m-мерного пространства . Приоператор обращаетв себя.

Линейность оператора определяется выполнением свойств аддитивности и однородности оператора [1, или 5, или 3, § 3.6]. Нужно знать, что каждому линейному оператору соответствует матрицаА в некотором базисе . Верно и обратное утверждение. С помощью этой матрицы для любого векторах можно найти его образ – вектор y.

Особую роль в приложениях линейной алгебры играют векторы, которые под воздействием линейного оператора преобразуются в новые векторы, коллинеарные исходным. Такие векторы получили название собственных векторов оператора(матрицыА), а соответствующие им числа – собственных значений оператора (матрицыА). Точные определения и нахождение собственных векторов и значений приведены в [1, или 5, или 3, пример 3.7].

Если базис линейного оператора составить из собственных векторов, то матрица оператора имеет наиболее простой вид и представляет собой диагональную матрицу, а соответствующая операция называется приведением данной матрицы к диагональному виду ([1, или 5, или 3, пример 3.8]).

Тема 5. Квадратичные формы

Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Матричная форма записи квадратичной формы.. Канонический вид и ранг квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерий определенности квадратичной формы через собственные значения ее матрицы. Критерий Сильвестра. ([1 или 5, § 3.8]; [2 или 6,

§ 3.5], Или [3, § 3.8, 3.14], или [4, § 3.11, 3.13, 3.20]).

Квадратичные формы достаточно часто возникают при решении прикладных задач. Если в n-мерном линейном пространстве выбрать некоторый базис, то квадратичную форму можно рассматривать как некоторую функцию векторного аргумента.

Необходимо знать определение и матричную запись квадратичной формы, ее канонический вид. Уметь приводить в простых случаях квадратичную форму к каноническому виду, имея в виду, что это возможно сделать многими способами, но ранг квадратичной формы при этом не меняется.

Студент должен владеть двумя способами исследования на знакоопределенность квадратичной формы (с помощью собственных значений ее матрицы и критерия Сильвестра). Например, очевидно, что квадратичная форма (т.е.) является знакоположительной. В этом можно убедиться с помощью отмеченных критериев, ибо матрица квадратичной формы, как нетрудно показать, имеет положительные собственные значения,, а угловые (главные) миноры,также положительные. А квадратичная формане является знакоопределенной, так как ее матрицаимеет разные по знаку собственные значенияи, а угловые миноры,чередуются по знаку, начиная с положительного значения (при,квадратичная форма была бы знакоотрицательной) – (см. [1 или 5, примеры 3.11, 3.12], или [3, примеры 3.11, 3.12, 3.109, 3.110]).