Вариант 3

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 3)

Контрольная работа № 1

1. Дана матрица

Найти ранг матрицы

2. Методом обратной матрицы решить систему:

3. Определить, имеет ли однородная система

ненулевое решение. Найти общее решение системы.

4. Вычислить:

, если = (–2; 0; 3); = (2;–2; 0); = (2;–2; 3).

5. Даны четыре вектора

=(1;3;5);=(0;2;0);=(5;7;9);=(0;4;16)

в некотором базисе. Показать, что векторы ,,образуют базис, и найти координаты векторав этом базисе.

6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицейА= .

7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму)

f(x_1, x₂)=4x₁²+ x₂²–4x₁x₂

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x_1, x₂, x₃)= x₁²+ 2x₂²+ 7x₃² +2x₁x₂+2x₁x₃ +4x₂x₃.

Контрольная работа №2

1. Точки ,иявляются вершинами треугольникаABC. Составить уравнение высоты треугольника, опущенной из точки А на сторону ВС. Определить координаты точки Н – основания высоты АН треугольника АВС. Сделать чертеж.

2. Составить уравнение окружности, проходящей через точки ,и.

3. Убедившись, что точка лежит на гиперболе, составить уравнения прямых, проходящих через эту точку и фокусы гиперболы.

4. Определить, находятся ли точки ,,ина одной плоскости. Если это так, написать уравнение этой плоскости.

5. Найти расстояние от точки пересечения прямых идо плоскости.

Вариант 4

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 4)

Контрольная работа № 1

1. Решить матричное уравнение

где

и

2. По формулам Крамера решить систему:

3. Решить систему линейных уравнений:

Найти какое-нибудь базисное решение.

4. Найти вектор , коллинеарный вектору=(–1; –1; 5) и такой, что , где= (3; –2; –-2).

5. Даны четыре вектора

=(2;3;7); =(3;–2;4);=(–1;1;–1);=(1;1;3)

в некотором базисе. Показать, что векторы ,,образуют базис, и найти координаты векторав этом базисе.

6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного

оператора , заданного матрицейА= .

6. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x_1, x₂)=3x₁²–x₂²+4x₁x₂

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x_1, x₂, x₃)=2x₁²+x₂²+4x₃² +2x₁x₂–4x₁x₃ –2x₂x₃.

Контрольная работа №2

1. Составить уравнение прямых, на которых лежат диагонали параллелограмма, если две его стороны лежат на прямых и, а одна из вершин параллелограмма имеет координаты. Сделать чертеж.

2. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси абсцисс, вершина которой находится в начале координат, проходящей через точку .

3. Убедившись, что точка лежит на эллипсе, составить уравнения прямых, проходящих через эту точку и фокусы эллипса.

4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и линию пересечения плоскостейи.

5. Верно ли, что прямая параллельна плоскости? Если да, то найти расстояние между этими прямой и плоскостью.