Сужение функции.

Определение. Пусть,. Сужением функциина множествоназывается.

Пример. ;;- область определения функции, отмечается точками оси абсцисс.- множество значений функции, отмечается точками оси ординат.

0

Рассмотрим сужения этой функции.

а) ;для.

б) ;для

Виды функций.

Определение. Функцияназывается инъекцией (инъектив­ным отображением), если она обладает свойством:

А

Рис. 1.

Используя закон контрапозиции можно дать другое определение инъекции, равносильное приведённому выше.

Функция называется инъекцией (инъектив­ным отображением), если она обладает свойством:

Определение. Функцияназывается сюръекцией, если. Сюръекция – это отображение «НА».

Рис.2.

В чём разница рисунков?

На рисунке 1 к некоторым точкам проведены стрелки. Если к точке проведена стрелка, то только одна. На рисунке 2 к каждой точке множе­ства проведена стрелка. К некоторым точкам множестваможет быть проведено несколько стрелок.

Определение.Функцияназывается биекцией (взаимноодно­значным отображением), еслиодновременно инъективно и сюръективно.

Задача (УИРС).

Пусть - конечные множества.- биекция.

Что можно сказать про мощность множеств?

Пример. Определить вид следующих функций.

1.;

- не является инъекцией,

- сюръекция,

- не является биекцией.

2.;

- не является инъекцией,

- не является сюръекцией,

- не является биекцией.

3. ;

- инъекция,

- сюръекция,

- биекция.

4.;

- инъекция,

- сюръекция,

- биекция,

Задача. (УИРС)

Пусть - конечные множества.,.

Сколько существует инъекций таких, что?

Сколько существует сюръекций таких, что?

Сколько существует биекций таких, что? Какое условие су­ществования этих функций?

Композиция функций (сложная функция, суперпозиция функций.

Определение. Пусть,. Композицией функцийи(обозначается) называется такая функция, что её значениеопределяется какдля.

Областью определения композиции является множество А.

_{Множеством значений композиции является множество С.}

,

- внешняя функция,- внутренняя функция.

Сначала на элементы действует внутренняя, а затем внешняя функ­ция.

Пример. .

.

- внешняя функция;,,- первая, вторая и третья внутренние функции.

В общем случае композиция функций не коммутативна.

Теорема. Композиция функции ассоциативна, т.е.;;выполняется свойство:

Доказательство. Равенство- это равенство функций. Проверим выполнение двух усло­вия определения равенства функций:

1)

2) .

Из 1) и 2) следует справедливость свойства .

Тождественная (единичная) функция.

Определение. Функцияназывается тождественной (единичной) функцией на мно­жестве, если.

Свойства:

1. Пусть ,- тождественная функция на, тогда

Доказательство. Проверим выполнение условий определения равенства функций.

а) ,

б) .

Из а) и б) следует

2. Пусть ,- тождественная функция на, тогда

Доказательство.

а) ,

б) .

Из а) и б) следует .