Математический анализ. Часть 1.

Литература.

1) А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В.Браилов, И.Г. Шандра. Математика в экономике. – Часть 2. (Издание второе, переработанное и дополненное). – М.: Финансы и статистика, 2005 ( и более поздние издания).

2)Сборник задач по курсу «Математика в экономике». Часть 2, математический анализ.

Под редакцией В.А.Бабайцева и В.Б. Гисина. – М.: Финансы и статистика», 2013.

Дополнительная литература.

3) Н.Ш. Кремер. и др. Высшая математика для экономистов. –М.: ЮНИТИ, 1997 и более поздние года.

4) Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа.- 5-е изд. –М.: «Дрофа», 2003,-т.1.

5) Зорич В.А. Курс математического анализа.- 4-е изд. –М.: «МЦНМО», 2002,-ч.1.

6) Фихтенгольц Г.М. Курс интегрального и дифференциального исчисления. Том 1. – М.: Физматлит, 2003

Раздел 1. Введение в анализ: множества, функции.

До XVIIвека математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач, например, в интегральном исчислении – это задачи на вычисление площадей фигур, объемов тел с кривыми границами и т.д. Каждая задача решалась своим методом, часто сложным и громоздким. Математический анализ как единое и систематическое целое сложился в трудах И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и других ученыхXVII-XVIIIвеков, а его база – теория пределов – была разработана О. Коши в началеXIXвека. Глубокий анализ исходных понятий математического анализа был связан с развитием вXIX-XXвеках теории множеств, теории меры, теории функций действительного переменного и привел к разнообразным обобщениям.

п.1. Простейшие логические символы.

Определение.Высказыванием называется всякое предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.

Пример.Пусть- предположение - «Москва – столица РФ». - Это истинное высказывание. (и).

- «Каждый студент нашего университета - отличник». - Это ложное высказывание. (л)

- «Треугольник Х – равносторонний». - Не высказывание.

Не всякое предположение является высказыванием, например, определение не является высказыванием.

Операции над высказываниями.

Определение.Отрицаниемвысказыванияназывается новое вы­сказывание, которое обозначается, и которое истинно, еслиложно, и ложно, еслиистинно.

Читается: не ; неверно, что;не верно.

Таблица истинности отрицания.

и	л
л	и

Пример.«Неверно, что Москва столица РФ». - Ложное высказывание.

«Неверно, что каждый студент нашего университета - отлич­ник». - Истинное высказывание.

Определение. Дизъюнкциейдвух высказыванийиназыва­ется новое высказывание, которое обозначается, и которое ис­тинно, если хотя бы одно из высказыванийилиистинно, а в осталь­ных случаях ложно.

Читается: дизъюнкция;или; или, или.

Таблица истинности дизъюнкции.

и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Определение.Конъюнкциейдвух высказыванийиназыва­ется новое высказывание, которое обозначается, и, которое ис­тинно, еслииодновременно истинны, ложно во всех остальных слу­чаях.

Читается: конъюнкция;и; ии;одновременно с.

Таблица истинности конъюнкции.

и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

Определение.Импликациейвысказыванийиназывается но­вое высказывание, которое обозначается, и которое ложно, еслиистинно,- ложно и истинно во всех остальных случаях.

Читается: импликация; изследует; если, то.

Таблица истинности импликации.

и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

- условие или посылка импликации,- заключение импликации.

Определение.Эквивалентностью (равносильностью)двух высказыванийина­зывается новое высказывание, которое обозначаетсяи, которое истинно, еслииимеют одинаковые логические значения и ложно в остальных случаях.

Читается: эквивалентно;равносильно;тогда, и только тогда, когда.

Таблица истинности эквивалентности.

и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	и

Замечание.Из данных высказываний с помощью логических операций можно построить новые высказывания.

Пусть- «2 = 4». - Ложное высказывание.

. - Истинное высказывание.

. - Истинное высказывание.

Такие высказывания называются составными высказываниями

Законы логики.

Существуют формулы, которые принимают значение «истина» независимо от того, какие значения принимают входящие в них атомы. Такие формулы называются законами алгебры логики высказываний.

Определение.Формула алгебры логики называется законом ал­гебры логики высказываний или тождественно истинной формулой или тавтологией, если при любых значениях атомов, входящих в эту фор­мулу, значение этой формулы «истина».

Примеры законов алгебры логики высказываний.

1. Закон контрапозиции: .

Доказательство.Составим таблицу истинности:

и	и	л	Л	и	и	и
и	л	л	И	л	л	и
л	и	и	Л	и	и	и
л	л	и	И	и	и	и

Формула принимает значение «истина», при любых значениях переменных и, значит, является законом алгебры логики.

2. Закон исключенного третьего: .

Доказательство. Составим таблицу истинности:

и	л	и
л	и	и

Формула 2 принимает значение «истина», при любых значениях переменных , значит, является законом алгебры логики.

3. Закон двойного отрицания: .

Доказательство.

Составим таблицу истинности:

и	л	и	и
л	и	л	и

Формула 3 принимает значение «истина», при любых значениях переменных , значит, является законом алгебры логики.

4. Закон коммутативности конъюнкции: .

Доказательство. Составим таблицу истинности:

и	и	и	и	и
и	л	л	л	и
л	и	л	л	и
л	л	л	л	и

Формула 4 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и, значит, является законом алгебры логики.

5. Закон ассоциативности конъюнкции: .

Доказательство. Составим таблицу истинности:

и	и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	л	л	л	л	и
и	л	и	л	л	л	л	и
л	и	и	и	и	л	л	и
и	л	л	л	л	л	л	и
л	и	л	л	л	л	л	и
л	л	и	л	л	л	л	и
л	л	л	л	л	л	л	и

Формула 5 принимает значение «истина», при любых значениях переменных ,и, значит, является законом алгебры логики.

6. Закон коммутативности дизъюнкции: .

7. Закон ассоциативности дизъюнкции: .

Доказательство. Составим таблицу истинности:

8. Закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъ­юнкции: .

9. Закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъ­юнкции: .

10. Закон построения отрицания конъюнкции: .

Доказательство. Составим таблицу истинности:

и	и	и	Л	л	л	л	и
и	л	л	И	л	и	и	и
л	и	л	И	и	л	и	и
л	л	л	И	и	и	и	и

Формула 10 принимает значение «истина», при любых значениях перемен­ных и, значит, является законом алгебры логики.

11. Закон построения отрицания дизъюнкции: .

Доказательство. Составим таблицу истинности:

и	и	и	Л	л	л	л	и
и	л	и	Л	л	и	л	и
л	и	и	Л	и	л	л	и
л	л	л	И	и	и	и	и

Формула 11 принимает значение «истина», при любых значениях перемен­ных и, значит, является законом алгебры логики.

12. .

Доказательство. Составим таблицу истинности:

и	и	и	л	и	и
и	л	л	л	л	и
л	и	и	и	и	и
л	л	и	и	и	и

Формула 12 принимает значение «истина», при любых значениях перемен­ных и, значит, является законом алгебры логики.

1. Закон отрицания импликации: .

2. .