Подмножества.

Определение. Множествоназывается подмножест­вом, если каждый элемент из множествалежит во множе­стве, пишут:. Другими словами:

()- истина.

Для любых множеств ,,выполняются свойства:

1. , это свойство рефлективности.

2. . Это свойство транзитивности.

3. . Это свойство антисимметричности.

Определение.Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются

- множество натуральных чисел:

- множество натуральных чисел и нуль:

- множество целых чисел:

- множество действительных чисел.

- множество положительных действительных чисел:,

- множество отрицательных действительных чисел:,

- множество положительных действительных чисел и нуль:,

Между этими множествами существует соотношение:

,,,,,,.

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.

1) Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел иимеет место одно из двух соотношенийлибо.

2) Множество плотное: между любыми двумя различными числамиисодержится бесконечное множество действительных чисел, то есть чисел, удовлетворяющих неравенству.

3) Множество непрерывное.

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому действительному числу соответствует определённая (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определённое (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».

Пусть и– действительные числа, причем.

Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества действительных чисел, имеющих следующий вид:

– отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);

– интервал (открытый промежуток);

;– полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые промежутки);

;;

;;

– бесконечные интервалы (промежутки).

Числа иназывают соответственнолевымиправым концамиэтих промежутков. Символыине числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Обозначение. Если, то их сумму можно записать в виде:

;

их произведение – в виде: .

Определение.Окрестностью точкиназывается любой интервал, содержащий точку. В частности, интервал, где, называется- окрестностью точки; числоназывается центром, а числорадиусом.

- аналитическая запись окрестности конечной точки.

Окрестностью точки называется внешняя часть любого промежутка, т.е..

Определение. Множествоназывается ограниченным, если оно целиком содержится в некотором интервале.

Замечание. Ограниченность множестваозначает, что существует такое число, что координаты любой точки изпо модулю не превосходят. ().

Пустое множество.

Определение. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Обозначается:.

.

Свойства пустых множеств.

1. Пустое множество единственно.

Доказательство: ,- пустые множества..

2. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Мощность множества. Счётные и несчётные множества.

Множества бывают конечные и бесконечные.

Определение. Мощностью конечного множества называется число элементов этого множества. Обозначается- мощность конечного множества.

Пусть Множестваи- равномощные множества. (Они не равны, они равномощны).

Первым вопросом, возникшим в применении к бесконечным множествам был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. Ответ на этот и близкие вопросы был дан Г. Кантором в конце 70-х годов 19 века. Эта теория опирается на взаимно однозначное соответствие между двумя множествами. Рассмотрим множество натуральных чисел =. Если можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что множество- счётное множество. Если нельзя установить взаимно однозначное соответствие между бесконечным множествоми множеством натуральных чисел, то говорят, что множество- несчётное множество. Мощность счётных множеств – есть наименьшая мощность, которую может иметь бесконечное множество. Кантор доказал, что множество всех рациональных чисел счётно, а множество всех действительных чисел несчётно.

Определение. Мощность множества действительных чисел называется мощностью континуума или мощностью.

Множеству всех действительных чисел равномощны:

1) множество всех точек плоскости, 2) множество всех подмножеств счётного множества, 3) множество всех комплексных чисел, …

Гипотеза Кантора. Всякое множество, состоящее из действительных чисел, либо конечно, либо счётно, либо равномощно множеству всех действительных чисел.