книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

Когда все размеры ротора увеличиваются в определенной пропорции, вес W увеличивается пропорционально кубу линейных размеров, а момент инерции I поперечного сечения — как четвертая степень линейных размеров, отсюда согласно формуле (2) прогиб б растет как квадрат линейных размеров. Частота собственных колебаний ротора обратно пропорциональна квадрат­ ному корню из прогиба и уменьшается в том же отношении, в каком увели­ чиваются линейные размеры ротора. Большие роторы часто имеют очень низкую критическую скорость, иногда даже более низкую, чем рабочая скорость. Поэтому для них вопрос о колебаниях при совпадении критиче­ ской скорости с рабочей становится очень существенным.

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Наиболее простой задачей о колебаниях является та, в которой восста­ навливающая сила пропорциональна перемещению, тогда частота колебаний не зависит от амплитуды, т. е. колебания являются изохронными и переме­ щения колеблющегося тела могут быть представлены в виде простой синусоидальной или косинусоидальной волны (гармоническое движение). Простейшим приспо­ соблением для демонстрации этого случая является

груз, подвешенный на пружине (рис. 1).

Обозначим через W вес груза, k — постоянная пружины, тогда статическое перемещение пружины можно представить в таком виде:

Теперь обсудим несколько случаев.

Когда частота /х возмущающей силы мала по сравнению с частотой / свободных колебаний системы, то величина угловой скорости со мала по сравнению с величиной р . Пренебрегая величиной сов выражении (12) и ис­ пользуя обозначения (5) и (9), получаем

т. е. если возбуждающая сила изменяется медленно (по сравнению с перио­ дом собственных колебаний), то амплитуда вынужденных колебаний равна статическому прогибу, вызываемому силой Р.

Когда частота /х возбуждающей силы очень велика по сравнению с час­ тотой / свободных колебаний, то величина со велика по сравнению с р, а амплитуда вынужденных колебаний составляет только малую часть прогиба, который вызывается статически приложенной силой Р.

Когда величина со приближается к р, т. е. когда частота возмущающей силы приближается к частоте свободных колебаний, то знаменатель в выра­ жении для амплитуды (12) стремится к нулю, а амплитуда вынужденных ко­ лебаний становится очень большой. Наконец, когда р = со, имеем случай резонанса. Амплитуда вынужденных колебаний согласно выражению (12) становится бесконечно большой. Такой результат получился оттого, что при выводе выражения (12) пренебрегалось демпфированием, всегда имеющим ме­ сто в реальных условиях. Принимая во внимание демпфирование, можно пока­ зать, что амплитуда вынужденных колебаний остается при резонансе конеч­ ной, хотя обычно и большой, и увеличивается с уменьшением демпфирования.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Все случаи вынужденных колебаний, обсуждавшиеся выше, важны для практики, а полученные выводы могут быть использованы при объяснении различных явлений, связанных с колебаниями. Для практического прило­ жения особенно важен случай резонанса. При этом, как можно было видеть, очень незначительная неуравновешенность может вызвать сильные вынуж­ денные колебания. Для того чтобы в практике устранить подобные условия, следует выбрать такую жесткость конструкции, чтобы ее частота собствен­ ных колебаний / не была слишком близка к частоте /х возмущающей силы. При проектировании машин для частоты / часто устанавливаются следующие пределы: fx < 0,75/ или /х > 1,25/. Существуют случаи, когда явление ре­ зонанса используется в инженерных целях. Хорошо известным примером является балансировочная машина. В процессе уравновешивания ротор размещается на подшипниках, опертых на пружины, и скорость ротора ре­ гулируется таким образом, чтобы создать условия резонанса. Тогда вследст­ вие вынужденных колебаний ротора будет обнаружена даже малейшая не­ уравновешенность.

Иногда условие резонанса используется для определения критической скорости ротора. Известно, что критической скоростью ротора является та скорость, при которой число его оборотов в секунду равно величине частоты его собственных поперечных колебаний. Вычисление такой частоты для слу­ чая ротора переменного поперечного сечения является сложной задачей, поэтому частоту можно определить экспериментально, используя устройст­

во, показанное на рис. 2. Ротор со своими подшипниками играет роль балки, и к нему прикрепляется небольшой электродвигатель постоянного тока с заданной неуравновешенностью. С помощью реостата скорость двигателя может постепенно изменяться. Колебания, вызываемые в неподвижном рото­ ре вследствие неуравновешенности электродвигателя постоянного тока, записываются с помощью вибрографа, а скорость может быть установлена та­ кой, при которой амплитуда этих колебаний становится максимальной. Это и будет критической скоростью ротора. Аналогичный метод использу­ ется также для определения экспериментальным методом частоты собствен­ ных колебаний мостов.

Известно, что наиболее существенное динамическое воздействие на мост со стороны движущегося локомотива оказывают противовесы. Это влияние особенно заметно, когда число оборотов в секунду ведущих колес равно собственной частоте колебаний моста. Для того чтобы определить эту час­ тоту, применяется специальный вибратор, аналогичный неуравновешенному электродвигателю постоянного тока, описанному выше х.

Подобный вибратор используется для изучения различных форм коле­ баний оснований для тяжелых турбогенераторов 1.2

Случай, когда частота возмущающей силы мала по сравнению с часто­ той собственных колебаний, возникает в разного типа приборах для измене­ ния давления пара или газа. Прибор при изменяющемся давлении тогда дает правильную величину давления, когда время изменения давления мало по сравнению с периодом собственных колебаний прибора. Возьмем для при­ мера такой тип индикатора, который обычно применяется в паровых машинах, в нем частота колебаний поршня и индикаторной пружины составляет око­ ло 100 колебаний в секунду. Он дает удовлетворительные результаты в слу­ чае тихоходных поршневых паровых машин с плавным изменением давления пара. Однако для случая высокоскоростных газовых двигателей с резкими изменениями давления при вспышке газа, для того чтобы правильно реги­ стрировать изменение давления 3, необходим индикатор со значительно боль­ шей частотой собственных колебаний.

Аналогичные условия возникают в различных акселерометрах. Акселе­ рометр обычно состоит из жесткой пружины, к которой присоединен груз. Если собственная частота колебаний этого груза очень высока по сравнению с частотой f1рассматриваемых колебаний, то перемещение пружины пропор­ ционально силе инерции груза и дает правильную величину ускорения 4.

Условие, что f велико по сравнению с /1э должно удовлетворяться в экстензометрах, регистрирующих переменные деформации в колеблющих­ ся конструкциях. Этому условию трудно удовлетворить в экстензометрах,

Versuche). Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1929, Bd 73, N 37, S. 1305— 1310.

3 CM.: The Collins micro-indicator for high-speed engines (Constructed by the Cambridge and Paul Instrument Company, Ltd, Ld.) Engineering, 1922, vol. 113, N 2945, p. 716; CM. также Simposium of paper on indicators. P e n d r e d L. The problems of the optical indica­ tor. Proc. of the Inst, of Mech. Eng. 1923, N 2, p. 95— 110; В u г s t a 1 1 F. W. A new form of optical indicator. Там же, p. 111— 125; С о 1 1 i n s W. G. Micro-indicator for high-speed en­ gines. Там же, p. 127— 135; W о о d H. R. A. E. electrical indicator for high-speed internalcombustion engines, and gauge for maximum pressure. Там же, p. 137— 197.

4 См.: The physical and optical scienties exhibition. Engineering, 1925, vol. 119, N 3080, p. 50—52, N 3081, p. 79—82.

6 CM.: The British association meeting at Toronto (6 August, 1924). Section G — Engi­ neering. Some new* recording instruments. Engineering, 1924, vol. 118, N 3061, p. 287.

линдричёских поверхностей АВ или АС. Вследствие этого свободная длина консоли и амплитуда изменяются, поэтому жесткость пружины возрастает с увеличением прогиба, что вызывает возрастание частоты колебаний с ростом амплитуды. Такие пружины иногда используются для устранения нежела­ тельного влияния резонанса. Если вследствие резо- д нанса амплитуда начинает возрастать, то частота колебаний изменяется, т. е. исчезают условия резо­ нанса. На рис. 5 показан другой пример, в котором период колебаний зависит от амплитуды. Масса т совершает колебания между двумя пружинами, скользя вдоль стержня АВ. Частота колебаний за­ висит не только от постоянной пружины, но также

иот величины зазора а и начальной скорости массы

т.Предположим, например, что масса в началь­

Первый член этой формулы совпадает с формулой (7), а второй член пред­ ставляет собой время, необходимое для того, чтобы за одно колебание четы­ ре раза пройти зазор. Период колебаний изменяется в зависимости от началь­ ной скорости v и может принимать лю­

всегда можно сообщить массе m такой импульс, чтобы соответствующий пе­ риод колебаний стал равным 7\, и таким образом установятся условия для резонанса. Некоторые сильные колебания, возникающие в электровозах, были объяснены именно так.

Другой вид негармонических колебаний возникает, когда жесткость пружин меняется во времени. Примером этому может служить двухполюс-

Рис. 6.

ный ротор турбогенератора (рис. 6). Прогиб такого ротора при действии на него собственного веса меняется при вращении, и при определенной скорости могут возникнуть сильные колебания, обусловленные переменностью же­ сткости.

Из предыдущего рассуждения очевидно, что в настоящее время конструк­ торы должны быть знакомы с расчетом частот собственных колебаний кон­ струкций и критических скоростей вращающихся узлов. Только на основе таких знаний появится возможность устранить сильные колебания.

ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С УПРУГОЙ УСТОЙЧИВОСТЬЮ КОНСТРУКЦИЙ

Problems concerning elastic stability in structures. Transactions of the Ame­ rican Society of Civil Engineers, 1930, vol. 94, Paper N 1749, p. 1000— 1020. Discussion: p. 1021— 1033; author’s reply: p. 1033— 1035. Перепечатка: Procee­ dings of the American Society of Civil Engineers, 1929, vol. 55, N 4, p. 855—875. Discussion: там же, N 7, p. 1889— 1898; author’s reply: там же, 1930, vol. 56,

N 4, p. 779—781.

Иногда прочность конструкции не зависит от предельной прочности ис­ пользуемого материала, а определяется упругой устойчивостью отдельных ее элементов. Это имеет большое практическое значение для стальных кон­ струкций в случае использования высокопрочных материалов. Рассмотрены проблемы такого рода, включая выпучивание составных стержней, сжатых верхних поясов открытого моста, а также устойчивость стенок в сжатых элементах и двутавровых балках.

ВВЕДЕНИЕ

Простейшим примером, когда прочность конструкции не зависит от предельной прочности материала, а определяется упругой устойчивостью элементов конструкции, может служить стойка или стержень под действи­ ем сжимающей силы. Если длина стойки велика по сравнению с размерами ее поперечного сечения, то разрушение будет происходить не в результате большого сжимающего напряжения, а из-за неупругой неустойчивости. Стойка может потерять устойчивость при напряжении, меньшем, чем пре­ дел текучести материала.

Встальных конструкциях используются высокопрочные материалы и

врезультате этого поперечные размеры элементов чаще всего становятся малыми по сравнению с длиной. При современной тенденции увеличения пре­ дела текучести конструкционных сталей области применения теоретических решений, основанных на предположении об идеальной упругости материала, расширяются, и поэтому эти решения представляют практический интерес. Ниже будет приведено несколько решений подобного типа и обсуждено их применение к таким задачам, как устойчивость составных сжатых стержней, двутавровых балок и стенок двутавровых балок.

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ

Рассмотрим низшую критическую нагрузку Ркр для сжатого сплошного стержня со свободно опертыми концами

где El — изгибная жесткость стержня в плоскости изгиба, I — длина стерж­ ня, и сравним ее с соответствующей критической силой составного стержня. Критические нагрузки для составных сжатых стержней всегда ниже соответ­ ствующих нагрузок для сплошных стержней, имеющих ту же величину £ ///12, и зависят от таких деталей, как стержни решетки и соединительные планки. Значения критических нагрузок для сжатых стержней могут быть всегда представлены выражением

EIл2

составного стержня в этом случае составляет 0,82 критической нагрузки соответствующе­ го сплошного стержня 2.

Если размеры составного стержня таковы, что сжимающее напряжение, вычисленное по формуле (2), выше предела текучести материала, то коэф­ фициент а будет больше вычисленного по формуле (3). Следовательно, раз­ ница в сопротивлении двух типов стержней будет сокращаться с уменьше­ нием отношения Пг. Этот вывод можно сделать также и из выражения (3). Для того чтобы получить аналитическую зависимость для Ркр, когда на­ пряжение, вычисленное с помощью формулы (2), выше предела текучести

се л ь с Д ж. Прикладная теория упругости. Изд. 2-е. Гостехиздат, Л., 1931, стр. 141— 145]. 2 Всегда предполагается, что сжимающая сила Р приложена в центре тяжести попереч­

ного сечения.

материала, нужно постоянные величины EI и Е1г в силу уменьшения модуля упругости при напряжениях выше предела текучести заменить переменными величинами, уменьшающимися с увеличением сжимающего напряжения. В то же время жесткость EI2 соединительных планок, которые не подверга­ ются сжатию, остается равной исходной жесткости. Это значит, что величина

Ркр, вычисленная по формуле (3), для случая коротких сжатых стержней будет всегда отличаться от истинного значения в безопасную сторону.

Вслучае решеточных сжатых стержней (рис. 2) значения коэффициента

ав формуле (2) могут быть найдены из выражения

/2 EF sin 0 cos2 0

где F — площадь поперечного сечения стержня решетки. Обычно решетка имеет такие соотношения, что коэффициент а мало отличается от единицы. Поэтому в этом случае может быть использована формула для сплошного сжатого стержня.

Рассмотрим теперь стержень квадратного поперечного сечения, показан­ ный на рис. 3. Средняя часть (длиной К) имеет постоянный момент инерции /, уменьшающийся к концам, где он равен 1г. Считая, что решетки распреде­ лены таким образом, что стержень может рассматриваться как сплошной с переменным поперечным сечением, находим критическое значение сжимаю-