книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

стенке; QKp — суммарная нагрузка, при которой балка становится неустой­ чивой и начинается боковое выпучивание; сткр — максимальные изгибные

напряжения, соответствующие нагрузке QKp; С — крутильная жесткость балки;

( 1 )

(2)

Критическая нагрузка. Во всех случаях критическая нагрузка может быть представлена выражением 1

где k — числовой коэффициент, зависящий от величины параметра а, определяемого формулой (1), типа нагрузки, способа закрепления концов

х

Z

балки. Видно, что если коэффициент k известен, то легко можно вычислить QKp. Необходимо отметить, что изменение в величине С оказывает сравни­ тельно небольшое влияние на критическую нагрузку, поэтому при вычисле­ нии С можно пользоваться приближенной формулой. В случае двутавро­ вого поперечного сечения, показанного на рис. 1, можно предположить, что крутильная жесткость балки приближенно равна сумме крутильных

384— 433]. См. также: Т и м о ш е н к о С. П. Об устойчивости упругих систем. Применение новой методы к исследованию устойчивости некоторых мостовых конструкций. Известия

[Перепечатка: Т и м о ш е н к о С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М., Физматгиз, 1971, стр. 208—383]. См. французский перевод этой статьи: Sur la stabilite des systemes elastiques. Application d’une nouvelle methode a la recherche de la stabilite de certaines parties constitutives des ponts. Annales des ponts et chaussees. 9 series, 1913, tome 15, vol. 3, N 24, p. 496—566; tome 16, vol. 4, N 39, p. 73— 132; tome 17, vol. 5, N 50, p. 372— 412; Paris, A. Dumas. 1914, 174 p. [Перепечатка: T i m o s h e n k o S. P. The collected papers. McGraw— Hill Publishing Company, Ltd, N. Y .— Ld.— Toronto, 1953, p. 92— 224].

жесткостей трех прямоугольных стержней, на которые ее можно разделить, и в результате

Где Q — модуль сдвига. В более общем случае С можно вычислить на осно­ вании приближенной формулы Сен-Венана

Коэффициент k и критические напряжения (кг/см2) для равномерно нагруженной балки со свободно опертыми концами

Равномерно нагруженная балка, свободно опертая по концам. В этом случае предполагается, что концы балки могут свободно вращаться отно­ сительно оси симметрии концевого поперечного сечения, но ограничены от поворота относительно оси, проходящей через ось балки. Форма потери устойчивости балки показана на рис. 2. Нетрудно заметить, что вследствие данного типа закрепления концов потеря устойчивости плоской формы изгиба балки сопровождается кручением. Этим объясняется тот факт, что устойчивость балки зависит не только от изгибной жесткости в боковом направлении В2, но также и от крутильной жесткости С, как следует из формулы (3).

Значения коэффициента k в формуле (3), вычисленные для этого слу­ чая (1), даны в табл. 1, как функции параметра а, определяемого соотно­ шением (1). Если размеры двутавровой балки известны, то величины С и В2 могут быть легко вычислены. Тогда а будет определяться из формулы (1), а соответствующее значение k находиться из таблицы. Подставляя это значение в формулу (3), получаем критическую нагрузку QKp. Соот­ ветствующее значение критического напряжения будет

ские напряжения для балки с любыми другими значениями р и модуля Ег получаются умножением соответствующих чисел в табл. 1 на 104рEJE. Необходимо отметить, что устойчивость двутавровой балки зависит от расположения нагрузки. Значения к, приведенные в табл. 1, вычислены в предположении, что нагрузка распределена вдоль оси балки. Когда равно­ мерная нагрузка распределена вдоль верхней полки балкй, то устойчивость уменьшается и в соответствии с этим значение коэффициента к становится меньше. Соответствующие значения критических напряжений, обозначен­

ные через <ткр, даны в четвертом столбце табл. 1. Пятый столбец табл. 1

соответствует значениям критических напряжений окр, когда равномер­ ная нагрузка распределена вдоль нижней полки балки.

Числовые примеры. В качестве первого примера рассмотрим прока­ танную двутавровую балку со следующими размерами: длина 21 = 610 см, высота h = 61 см, ширина полки Ь = 17,8 см, толщина стенки бх = = 1,27 см, средняя толщина полок б = 2,2 см, площадь поперечного сече­

Обычный приближенный метод расчета критических напряжений ба­ лок без боковых опор сводится к рассмотрению верхней сжатой полки балки как стержня. На основании того факта, что сжимающая сила в пол­ ке пропорциональна изгибающему моменту и соответствует параболиче­ скому закону, в формулу для определения критической нагрузки стержня вместо действительной длины должна быть подставлена приведенная

дает критическое напряжение за точкой текучести обычной конструкцион­ ной стали. Применяя обычную формулу прямой линии, найдем напряжение

акр = 3700 — 15,5 = 2420 кг/см2,

которое на 32% выше, чем напряжение, вычисленное на основании формулы (3).

В качестве второго примера рассмотрим двутавровую балку, состоя­ щую из сплошной стенки 66 X 0,9 см и полок уголкового профиля 12,7 X

ских напряжений с изменением отношений 2llh и hlb, были проведены расчеты для двутавровой балки (см. рис. 1) с 6/бх = 2 и ЫЬ = 10. Значе­ ния критических напряжений как функции отношений 2Uh для трех раз­

чению 2Ub = const, отмечены пунктирными линиями. Заметим, что при

предела упругости материала балки. В противном случае критические напряжения, полученные подобным образом, были бы слишком большими. Для приближенного расчета критических напряжений за пределом упругос­ ти может быть использована формула прямой линии. Предполагая, напри­ мер, что предел упругости для конструкционной стали равняется 2100 кг/см2> видим, что кривыми /, II и III рис. 3 можно пользоваться только ниже то­

УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕНКИ ДВУТАВРОВОЙ БАЛКИ

Эксперименты. Первые эксперименты по устойчивости тонких стенок, передающих касательные и изгибные напряжения, были выполнены У. Фёйрбёрном в связи со строительством известных трубчатых мостов «Брита­ ния» и «Конуэй». Эти классические эксперименты 1 до настоящего времени представляют большой интерес для инженеров, связанных с тонкостенными конструкциями. Мост «Британия» состоит из трубчатых балок прямоуголь­ ного поперечного сечения. Самые большие трубы имеют длину 137 м и размеры поперечного сечения 8,23 X 4,88 м. В свое время это была необы­ чайно большая конструкция и для определения безопасных размеров труб и для наиболее благоприятного распределения материала было решено провести эксперименты на моделях. После проведения предварительных экспериментов было решено провести испытания на больших моделях в масштабе 1 /6 от линейных размеров данного моста. Боковые стенки модель­ ных труб состояли из листов высотой 1,14 м и толщиной только 2,54 мм. Первые эксперименты показали, что при сравнительно небольшой нагруз­ ке на боковых стенках появляются волны, которые образуют с нижним основанием углы около 45°. «Из этих экспериментов было очевидно, что растяжение нижней части и сжатие верхней части находятся в состоянии

ясно показали линию расположения наибольшей сжимающей деформации. Очевидно, что боковые стенки подвергаются дополнительным деформациям от изменения формы, обусловленной стремлением сблизиться верхней и нижней частей. Пластины будут достаточно прочные, если они будут сохра­ нять форму; поэтому из этого эксперимента было ясно, что боковые стенки необходимо модифицировать. Это было сделано путем укрепления боковых стенок вертикальными ребрами из уголкового железа, проходящих по всей высоте стенки и приклепанных к ней, которые делали стенку жестче и в то же самое время удерживали верхнюю и нижнюю полки на месте. Они были прототипами тавровых железных ребер жесткости для больших труб». Дальнейшие эксперименты показали важность наличия ребер жест­ кости на боковых стенках, так как при небольшом добавлении металла к весу трубы нижняя и верхняя ее части практически остаются теми же самы­ ми, в то время как потеря веса будет значительно увеличена. Из этих экспе­ риментов следует, что «...когда высота стенки увеличивается, то становится очень трудно обеспечить необходимую сохранность формы боковых стенок при эксплуатации». Для этой цели в одной из труб моста «Британия» исполь­ зовались тавровые железные профили, косынки и пластину жесткости весом 215 т, что на 1/3 выше общего веса боковых сторон. При эксперименте трубы подвергались действию сосредоточенной силы в середине, и попереч­ ная сила была постоянна вдоль длины пролета. При проектировании ре­ ального моста было принято во внимание, что максимальное поперечное усилие уменьшается к середине пролета, толщина стенки в средней части

2 Здесь и далее приведены цитаты из книги У. Фёйрбёрна, указанной выше в сноске.

передает поперечную силу работой на сдвиг; 2) в случае больших нагрузок,

процесс волнообразования, зависит от толщины стенки, расположения и размеров подкрепляющих ребер. В случае достаточной толщины стенки и правильно выбранного подкрепления двутавровая балка может нести общую нагрузку, для которой она спроектирована, без какой-либо потери устойчивости стенок. Обычно такие соотношения наблюдаются в мостах. С другой стороны имеются конструкции с очень тонкими стенками, которые теряют устойчивость в самый начальный момент нагружения и суммар­ ная нагрузка практически передается как в ферме. Примерами таких балок являются самолетные конструкции г.

Хотя потеря устойчивости стенки не означает непосредственного разру­ шения двутавровой балки, в случае мостов размеры обычно выбираются такими, чтобы исключить потерю устойчивости в период эксплуатации. Обычная процедура заключается в выборе определенной величины рабочих напряжений для работы на сдвиг и на этой основе устанавливается толщина стенки12. Тогда расположение подкрепляющих ребер выбирается таким образом, чтобы стенка могла передавать касательные напряжения без поте­ ри устойчивости.

Замечая, что в железнодорожных балках суммарная нагрузка прибли­ зительно пропорциональна длине пролета, и предполагая, что отношение высоты к длине пролета постоянно, можно видеть, что вышеупомянутая процедура будет давать значения, близкие к одной и той же толщине для всех пролетов. Предположение о том, что эта толщина достаточна для малых мостов, будет, конечно, неверно для больших пролетов, и чтобы исключить возможность потери устойчивости стенки, необходимо некоторое увеличе­ ние толщины. Это положение предусматривается в некоторых стандартах. Например, нормы Американского железнодорожного общества3 требуют,

чтобы толщина стенки была не меньше, чем 0,08 ] / /г, где h — расстояние между полками, см. Другие ограничения на толщину обычно следуют из рассмотрения коррозии или из того факта, что слишком тонкие пластины, если они широкие и длинные, очень неудобно транспортировать. Толщина в 0,95 см обычно считается достаточной для защиты от коррозии и удовлет­ воряет требованиям транспортировки материала при строительстве и по­ грузке.

Относительно расположения и размеров подкрепления различные нормы дают определенные рекомендации, которые в большей степени но­ сят эмпирический характер. Например, по Американским нормам, упоми­ наемым выше, требуется, чтобы расстояние между ребрами было не больше,

1 W a g n e r Н. Ebene Blechwandtrager mit sehr diinnem Stegblech. Zeitschrift fur Flugtechnik und Motorluftschiffarht, 1929, Bd 20, Hft 8, S. 200—207; Hft 9, S. 227—233; Hft 10, S. 256—262; Hft 11, S. 279—284; Hft 12, S. 306—314. См. также: R о d e H. H. Beit-

cing striffeners in plate girders. Engineering News, 1898, vol. 40, N 25, p. 399—400.

2 Иногда рабочие напряжения выбираются на основании вариационной формулы Рэн­ кина. American institute of steel construction inc. Steel construction. First edition, third prin­

жения в рассматриваемой точке, кг!см12. Если высота стенки между угол­ ковыми полками меньше 50 толщин стенки, то промежуточных ребер жест­ кости можно не ставить. Промежуточные ребра жесткости приклёпываются с двух сторон к стенке балки. Выступающее ребро каждого уголка должно быть не меньше, чем 5,08 см плюс одна тридцатая высоты балки, и не боль­ ше 16 толщин. Иногда подкрепления делают таких размеров, чтобы они

гработали как вертикальные распорки в треугольных балках; в каждом случае этого достаточно, чтобы обес­

ки с длиной пролета 30,5 м и высотой 3,05 мунаходим, что толщина стенки изменяется2 от 1,11 до 1,59 см. Сравнение двух двутавровых балок с дли­ ной пролета в 27,4 м для Американской и Британской железных дорог 3 показывает, что в балке Американского типа подкрепление по весу состав­ ляет 25%, а Британского — 40% общего количества материала стенки и подкреплений.

Из приведенного выше обсуждения видно, что выбор размеров двутавровых балок в слишком большой степени основывается на эмпирических правилах. Для того чтобы получить теоретическую основу для проектирования, необходимо перейти к исследованию упругой устойчивости тонких сте­ нок. При обсуждении устойчивости стенки не­ обходимо рассмотреть два крайних случая: 1) вбли­

можно рассматривать как прямоугольную пластину, подверженную дей­ ствию равномерного сдвига (рис. 6); 2) в средней части пролета касатель­ ными напряжениями по сравнению с нормальными можно пренебречь. Тогда часть стенки между двумя ребрами жесткости будет находиться в условиях чистого изгиба, показанного на рис. 7. В следующих двух разде­ лах будут исследованы только эти два случая.

Устойчивость прямоугольных пластин при чистом сдвиге. Исследова­ ние устойчивости прямоугольных пластин при действии касательных сил (см. рис. 6) показывает, что критическое значение касательного напряже­

1 Т h о г р е W. Н. The anatomy of bridgework, No VIII. Decay and painting. Engi­