книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

где р—числовой коэффициент, значение которого зависит от отношений h/l и IJI. Очевидно, значение р должно приближаться к я 2, когда отношение h/l или /]_■// приближается к единице, так как тогда сжимаемый стержень имеет почти постоянное поперечное сечение. Некоторые значения J3 приве­ дены в табл. 1

ВЫПУЧИВАНИЕ СТЕРЖНЕЙ, ИМЕЮЩИХ БОКОВЫЕ УПРУГИЕ ОПОРЫ

Этот тип задач встречается, например, при рассмотрении выпучивания верхнего пояса фермы открытого моста. Для простоты предположим, что

среды, что боковые реакции, непрерывно распределенные вдоль стержня, про­ порциональны соответствующим прогибам. В силу этих поперечных реакций критическая нагрузка на стержень будет выше, чем соответствующая нагруз­ ка, определяемая формулой (1). Величина этой нагрузки может быть найдена из рассмотрения потенциальной энергии системы 2.

Критическое значение сжимающей силы Р — это значение, при котором работа сжимающих сил при выпучивании равна потенциальной энергии изгиба стержня и энергии деформации упругой среды. Для потенциальной энергии изгиба стержня используется следующее выражение:

/

о

При рассмотрении потенциальной энергии упругой среды коэффициент Ку называемый модулем среды, выберем таким, чтобы произведение Ку представляло собой реакцию среды на единицу длины стержня, когда его прогиб равен у. Тогда работа этой реакции в процессе изгиба будет равна

— 1UKy2 и, следовательно, потенциальная энергия деформируемой упругой

среды имеет вид

Работу сжимающих сил в процессе выпучивания получим путем умно­ жения Р на величину перемещения конца А по отношению к концу В стерж­ ня при его выпучивании. Принимая во внимание, что разность между эле­ ментом ds кривой прогиба и ее вертикальной проекцией dx

(так как dy/dx мало) равна

ds — dx = dx у.+

получаем, что работа Т сжимающих сил в процессе выпучи­ вания будет равна

dx. (8)

Теперь с помощью формул (6) — (8) получим следующее ус­ ловие для критической нагрузки:

i i i

-ТР $ (^г)2 = -Т E II ( - § Т dx+ -тк I УЧх- (9)

Если упругая среда имеет малую жесткость, то коэффици­ ент К тоже мал и кривая прогиба будет такой же, как и в случае стержня без поперечных опор. Поэтому этот прогиб можно представить в виде

Подставляя это выражение в формулу (9), получаем

Л . - т Ч > + -& ■)•

Второй член в скобках учитывает влияние упругой среды на критическую нагрузку.

В случае среды большей жесткости кривая прогиба выпученного стержня имеет более сложную форму, состоящую из нескольких волн (рис. 5). С увеличением жесткости среды число волн кривой прогиба возрас­ тает, но каждая волна представляет собой простую синусоидальную волну, и для расчета критической нагрузки может быть использована формула (И). При этом необходимо только подставить в нее вместо длины I величину //т, где пг — число волн. Тогда имеем

В каждом случае число пг должно быть выбрано таким образом, чтобы сум­ ма в скобке формулы (12) была бы минимальной. Это число, зависящее от жесткости среды, возрастает с увеличением К и может быть определено сле­ дующим образом. Пусть К есть жесткость, при которой число волн кривой прогиба стержня изменяется от пгдо m + 1. Тогда сумма в скобках формулы

(12) будет оставаться неизменной при замене т на т + 1 и, следовательно,

Таким образом, для каждого значения т может быть вычислено предельное значение для жесткости К. Для значения К, которое немного меньше вы­ численного, кривая прогиба будет иметь т волн, в то время как для значения К, немного больше вычисленного, кривая прогиба будет иметь т + 1 волну.

Если жесткость К или длина / очень большие, число тбудет также очень велико и, пренебрегая единицей по сравнению с т в выражении (14), будем иметь

ВЫПУЧИВАНИЕ СЖАТОГО ВЕРХНЕГО ПОЯСА ФЕРМЫ ОТКРЫТОГО МОСТА

Определить критическую сжимающую силу для верхнего пояса фермы открытого моста сложно, так как сжимающие силы при этом распределя­ ются вдоль пояса фермы, сечение пояса не остается постоянным и вместо

имеют такую же жесткость, как и концы верхнего пояса. Предположим, что ферма подвержена действию равномерно распреде­

ленной нагрузки интенсивностью д, что растягивающие силы в диагоналях их горизонтальных составляющих, вызывающие сжатие верхнего пояса, будут пропорциональны расстоянию от середины пролета.

Заменяя сосредоточенные сжимающие силы, действующие на верхний поясок фермы, эквивалентной непрерывно распределенной нагрузкой,

тикальные элементы стержней имеют ту же самую жесткость, что и промежу­ точные вертикальные стержни, а концы верхнего пояса фермы могут свобод­ но перемещаться в процессе выпучивания в боковом направлении. Выражение (19) также может быть использовано в этом случае, но числовые значения коэффициента у несколько изменяются:

При увеличении величины /(/4/16£/ значения у приближаются к со­ ответствующим значениям, приведенным выше для случая жестких крайних вертикальных стержней. Этот результат легко понять, так как для сжатого верхнего пояса фермы кривая прогиба в процессе выпучивания может иметь несколько волн, как и в случае сжатого стержня в упругой среде (см. рис. 5). Число волн возрастает с увеличением жесткости К. Следовательно, когда это число велико, критическая нагрузка не зависит существенно от измене­ ния краевых условий.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА ДВУТАВРОВЫХ БАЛОК

Известно, что при отсутствии боковых опор двутавровая балка, изгибае­ мая в плоскости стенки, может оказаться недостаточно устойчивой. Если нагрузки превышают некоторый критический предел, балка выпучивается вбок и разрушается. Критическая нагрузка может быть найдена с помощью

энергетического метода; для балки на двух опорах она всегда может быть

где В2 = Е12— изгибная жесткость балки в направлении, перпендикуляр­ ном к стенке; С — крутильная жесткость двутавровой балки; / — длина про­ лета; п — числовой коэффициент, зависящий от распределения нагрузки, от способа закрепления концов балки и от величины отношения Cl2!B2h2\ h— высота балки. Таблицы коэффициента п для различных случаев и

применение формулы (20) обсуждались ранее г. Рассмотрим вместо двутав­ ровой балки очень узкую балку прямоугольного сечения (рис. 7) 21. Для такой балки, опертой на концах, как показано на рис. 7, а, критическое уси­ лие, при котором происходит потеря устойчивости плоской формы изгиба, равно

Для случая консольной балки (рис. 7, б)

Если h — высота, t — толщина стенки, G— модуль сдвига,

Подставив эти значения в формулы (21) и (22), можно легко вычислить крити­ ческую нагрузку для каждого частного случая.

ВЫПУЧИВАНИЕ СЖАТЫХ ПЛАСТИН

Случай А. Для сжатых элементов большого поперечного сечения мо­ жет иметь практическое значение задача о выпучивании сжатых пластин. Рассмотрим, например, поперечные сечения, показанные на рис. 10. При уменьшении толщины стенок сжатого стержня его элементы будут разрушать­ ся при сжатии из-за выпучивания самих пластин, а не из-за выпучивания стерж­ ня как целого. Стороны стержня могут рассматриваться как сжатые длинные прямоугольные пластины при различных условиях закрепления краев. В простей­ шем случае прямоугольная свободно опертая пластина сжимается силами, равномерно распределенными по краям х = 0 и х = а (рис. 8). Когда сжимаю­

щее напряжение превышает некоторый предел (критическое сжимающее на­ пряжение), то плоская форма пластины становится неустойчивой и проис­ ходит ее выпучивание. С помощью энергетического метода можно записать следующее выражение для критического напряжения:

can Society of Civil Engineers, 1924, vol. 87, Paper N 1549, p. 1247— 1262. Discussion: p. 1263— 1270; author’s reply: p. 1270— 1272.

2 Этот случай рассматривался Л. Прандтлем в его диссертации. См.: Р г a n d t 1 L. Kipperscheinungen. Ein Fall von instabilem elastischem Gleichgewicht. Dissertation der Universitat Munchen, 1899, Nurnberg, 1900, 75 S. [Перепечатка: P г a n d t 1 L. Gesammelte Abhandulngen zur angewandte Mechanik, Hydro-und Aerodynamik. Erster Teil. Springer-Ver- lag, Berl.— Gottingen — Heidelberg, 1961, S. 10—74].

h — ширина пластины; v — коэффициент Пуассона материала, аг — чис­ ловой коэффициент, зависящий от отношения alb. Легко видеть, что р, представляет собой критическое сжимающее напряжение, такое же, которое получается из формулы, аналогичной формуле (1) для полосы длиной h и

по всем кромкам, для различных отношений a/h.

Из таблицы видно, что аг имеет наименьшее значение для квадратной пластины. Если длинная пластина выпучивается при сжатии, то она под­ разделяется на квадраты или прямоугольники, близкие квадрату. Для каж­ дого из этих прямоугольников может быть применена формула (23), причем

ную пластину с пределом текучести 2800 кг/см2. Для определения величины отношения hit, при котором критическое напряжение становится равным пределу текучести, при аг = 4 из табл. 2 имеем

767 104 h2 = 2800,9

откуда

hjt =.

Для больших значений отношения hit разрушение в результате не­ устойчивости происходит при сжимающем напряжении, меньшем предела текучести. Это значит, что в результате выпучивания предельная прочность материала пластины не будет использована.

Случай В. При увеличении толщины пластины надлежащим образом можно добиться того, что выпучивание пластины не будет происходить при напряжениях ниже предела текучести; но такое равномерное увеличение толщины пластины не всегда экономично. Иногда для сжатых пластин зна­ чительной ширины, по-видимому, выгоднее сохранять толщину пластины как можно меньшей, а увеличивать устойчивость с помощью введения про­ дольных ребер жесткости. Такие методы подкрепления иногда используют­ ся в судостроении, где экономия веса корпуса корабля имеет большое прак­ тическое значение. Для выбора размеров такого подкрепления важно знать, как устойчивость подкрепленной пластины зависит от изгибной жесткости пластины и площади поперечного сечения ребер жесткости. Эта задача может быть решена с помощью энергетического метода *.

1 См. подробности этого исследования в статье T i m o s h e n k o S. Р. Uber die Sta­ bility versteifter Platten. Der Eisenbau, 1921, Bd 12, N 5—6, S. 147— 163. [Перевод на русский язык: Т и м о ш е н к о С. П. Об устойчивости подкрепленных пластин. Сборник «Устойчи­ вость стержней, пластин и оболочек». М., «Наука», 1971, стр. 503—527].

личивается. Для вычисления критических значений сжимающего напряжения можно использовать формулу (23), но значения коэффициента агдолжны быть взяты при этом из табл. 5. Из таблицы видно, что минимальное значение коэф­ фициента ах соответствует отношению a / h 0,7, так что при выпучивании длинная сжатая пластина подразделяется на прямоугольники приблизи­ тельно этих размеров. Для достаточно длинных пластин, например при

Случай D. Если одна продольная кромка пластины (у = 0, см. рис. 8) жестко заделана, а другая (у = К) свободна, то критическое значение рав­ номерно сжимающего напряжения может быть опять вычислено по формуле (23). Значения числового коэффициента аг для этого случая представлены табл. 6.

Как видно, минимальное значение коэффициента ах соответствует отно­ шению a/h » 1,7. Длинная пластина в процессе выпучивания будет подраз­ деляться на прямоугольники, приближающиеся к этим размерам.

отношение hit, при котором критическое напряжение и предел текучести совпадают:

^ = 1 '3 3 Т 2 ( Т ^ 1 ^ = 2800*

откуда hit» 30.

Для больших значений отношения h/t выпучивание пластины проис­ ходит при напряжении, меньшем предела текучести материала, и для улуч­ шения условий работы конструкции необходимо подкрепить свободный край пластины ребром жесткости. С помощью табл. 2, 3 и 6 можно легко вычис­ лить необходимую толщину стального листа для жестко защемленных про­ филей сжатых элементов, таких, как показано на рис. 10.