книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

The theory of elasticity. Mechanical Engineering, 1930, vol. 52, N 4. April, p. 494—496.

За прошедшие пятьдесят лет был достигнут большой прогресс в приме­ нении теории упругости к решению инженерных задач. Одно время она пред­ ставлялась разделом теоретической физики. Обычно в университетах ее представляли математики и, соответственно, в этой теории превалирова­ ли математические исследования. Современная точка зрения совершенно другая.

С развитием промышленности старые эмпирические методы, ранее при­ менявшиеся при проектировании, не являются уже удовлетворительными. Типы конструкций и машин меняются очень быстро, и обычно не хватает времени, чтобы накопить необходимые эмпирические данные. В то же время размеры и, соответственно, стоимость конструкций постоянно увеличивают­ ся, поэтому экспериментирование с такими конструкциями недопустимо. При таких условиях применение аналитических методов, вообще, и примене­ ние теории упругости, в частности, для решения инженерных задач становит­ ся крайне важным для практики.

Потребности инженера совершенно отличны от потребностей математи­ ка. Математик свободен в выборе задач, и совершенно естественно, что в своем выборе он должен идти в том направлении, в котором возможность по­ лучения строгого решения кажется наиболее вероятной. Инженер не свобо­ ден в выборе своих задач. Они задаются ему, и необходимо найти их решение. Если строгие анализы не могут быть с успехом применены, то следует обра­ титься к приближенному решению или же задача должна решаться экспери­ ментальным путем.

В результате участия инженеров в развитии и применении теории упру­ гости были получены различные приближенные методы решения задач тео­ рии упругости и изобретена различная измерительная аппаратура для нахождения распределения напряжений в упругих конструкциях путем прямых измерений. Чтобы проиллюстрировать эти новые направления в тео­ рии упругости, рассмотрим некоторые характерные примеры.

КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ

Некруговые стержни. Кручение некруговых стержней является одной из очень важных задач теории упругости. Точное решение этой задачи для случая прямоугольного, эллиптического и треугольного равностороннего

поперечного сечения было дано Сен-Венаном г. С тех пор немного была добавлено к математическому решению этой задачи. Такие практически важные задачи, как кручение круговых стержней со шпоночными канавка­ ми или кручение стальных прокатных профилей, таких, как уголки или дву­ тавры, связанные тонкими накладками, оставались нерешенными до недавне­ го времени, пока Л. Прандтль не предложил мембранную аналогию в каче­ стве экспериментального решения этой задачи.

Представим себе однородную мембрану, имеющую тот же самый кон­ тур, что и поперечное сечение закрученного элемента детали, при действии растяжения на краях и одновременно нагруженную равномерным попереч­ ным давлением. Можно показать, что дифференциальное уравнение, описы­ вающее поверхность прогиба этой мембраны, имеет тот же самый вид, что и уравнение, которое определяет распределение напряжений в плоскости по­ перечного сечения закрученного стержня.

Л. Прандтль 12 показал, что существует следующая взаимосвязь меж­ ду поверхностью мембраны и распределением касательных напряжений при кручении: 1) касательная к контурной линии в любой точке деформи­ рованной мембраны дает направление касательного напряжения в соответ­ ствующей точке поперечного сечения закрученного стержня; 2) максималь­ ное значение угла наклона поверхности в любой точке мембраны, измерен­ ное в определенном масштабе, дает величину касательного напряжения в соответствующей точке закрученного стержня; удвоенный объем, заключен­ ный между поверхностью деформированной мембраны и плоскостью, в ко­ торой лежит граничный контур этой мембраны, измеренный в соответствую­ щих единицах, равняется крутящему моменту, действующему на стержень.

Форму поверхности деформированной мембраны для данного контура можно легко себе представить мысленно, поэтому также легко получить вы­ воды количественного характера, касающиеся распределения напряжений при кручении. В качестве мембраны можно взять мыльную пленку, а числен­ ные значения напряжений можно получить измерением углов и прогибов этой пленки. Таким путем было решено много важных задач о кручении.

Круговой стержень переменного поперечного сечения. Другой задачей, трудной для аналитического решения и решенной экспериментальным' методом, является кручение кругового стержня переменного сечения. Обычно диаметр стержня меняется скачкообразно. Части стержня с двумя различными диаметрами должны быть соединены с помощью галтели. Известно, что в галтели имеет место высокая концентрация напряжения, поэ­ тому в случае переменных напряжений в этом месте может развиться трещи­ на. Аналитический расчет напряжений в галтели является очень трудной за­ дачей. Л. Якобсен3 показал, что эта задача может быть легко решена экспе­ риментальное помощью электрической аналогии. Он доказал, что существует

1 S a i n t - V e n a n t B . Memoire sur la torsion des prismes, avec des considerations sur leur flexion, ainsi que sur I’equilibre interieur des soli des elastiques en general, et des formules pratiques pour le calcul de leur resistance a divers, efforts s’exercant simultanement.

аналогия между распределением напряжений в стержне с переменным попе­ речным сечением и распределением электрического тока вдоль пластины оп­ ределенной формы. Форма пластины должна соответствовать форме диамет­ рального сечения стержня, а толщина должна изменяться пропорционально кубу расстояния от продольной оси симметрии пластины. Напряжения в зоне галтели стержня изменяются так же, как изменяется потенциал вдоль края пластины. С помощью этого метода было исследовано много случаев стержней переменного диаметра.

ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА

Существует много задач по определению напряжений, где деформации, по существу, параллельны плоскости. Они называются двумерными задача­ ми. Примерами могут служить изгиб балок с высоким прямоугольным попе­ речным сечением, изгиб ферм, арок, зубьев шестерен или, в более общем слу­ чае, пластин произвольной формы, но с постоянной толщиной, нагруженных силами в своей плоскости. Форма их может быть такой, что аналитическое определение распределения напряжений очень затруднено, и для таких слу­ чаев очень полезен метод фотоупругости. При этом методе используются модели, вырезанные из пластины из изотропного прозрачного материала, такого, как стекло, целлулоид или бакелит. Под действием нагрузок эти ма­ териалы становятся двулучепреломляющими, и, если пучок поляризован­ ного света пропустить через прозрачную нагруженную модель, можно полу­ чить цветное изображение, по которому может быть найдено распределение напряжений. Этот метод был очень полезен при решении многих практически важных задач.

Значительный прогресс произошел за последние пятьдесят лет в раз­ витии теории изгиба тонких пластин. В металлических конструкциях, та­ ких, как мосты, баки и особенно судовые корпуса, постоянно встречается задача об изгибе тонких пластин под действием поперечных нагрузок.

Аналогичная задача встречается при расчете прогибов и напряжений в железобетонных настилах. Для обсуждаемой задачи точные решения полу­ чены только в нескольких случаях, поэтому инженерами были развиты раз­ личные приближенные методы решения таких задач.

УПРУГАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Другая область теории упругости, которая основательно изучалась в течение последних пятидесяти лет, это — задача об упругой устойчивости. Хорошо известно, что тонкие стержни при осевом сжатии и тонкие пластины, сжатые в своей плоскости, могут выйти из строя вследствие бокового выпучи­ вания еще до того, как исчерпается прочность материала. Поперечное выпу­ чивание сжатых деталей конструкций очень важно для практики, особенно для многих новейших конструкций, таких, как мосты, корабли, дирижабли и самолеты, у которых размеры поперечных сечений постоянно уменьша­ ются благодаря использованию более прочных материалов и в связи с требо­ ванием снижения веса. Во многих случаях разрушение инженерной конст­ рукции есть следствие упругой неустойчивости и не связано с недостатком прочности части материала. Были развиты различные приближенные методы для решения таких задач упругой устойчивости.

Развитие применения теории упругости к решению инженерных задач сопровождалось развитием различного вида аппаратуры для измерения де­

формаций и записи напряжений. Применяя эту аппаратуру для измерения деформаций конструкции и машин при эксплуатации, можно получить на­ пряжения в конструкциях в действительных условиях. Такие замеры всегда важны для сравнения точности аналитических решений и для установления границ, в пределах которых могут применяться эти решения. Постоянные проверки результатов аналитических решений очень полезны для выявле­ ния правильности математических методов теории упругости, основанных на допущении об идеальной упругости материала и применимости закона Гука. В течение последних пятидесяти лет теория упругости была преобразована из чистой науки в инженерную науку, и это развитие было чрезвычайно бла­ готворно как для науки, так и для инженерного дела.

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ [Конгресс по прикладной механике]

Theory of elasticity. Mechanical Engineering, 1931, vol. 53, N 12, December, p. 889—390.

В течение прошлого года были опубликованы статьи, прочитанные на третьем международном конгрессе по прикладной механике, который со­ стоялся в Стокгольме в августе 1930 г 1.

Обзор этих статей опубликован в ноябре 1931 г., в журнале «Инженерная механика» 2. Многие из представленных статей освещали вопросы упругости и ясно отражали современный прогресс в этой области. На конгрессе были обсуждены следующие вопросы: 1) различные теории прочности; 2) пластич­ ность; 3) упругая устойчивость. В докладе Р. Мизеса 3 обсуждалось общее развитие теории прочности и пластичности. Развитие теории прочности для поликристаллических образцов, когда известны свойства одного кристалла, было дано в статье М. Рош и А. Эйхингера 4. Пластическое течение металлов в случае двумерной задачи было рассмотрено в статьях А. Надаи 5 и Г. По- лачек-Гейрингера 6.

Среди статей, в которых обсуждался вопрос о напряжениях в деталях машин, необходимо упомянуть работы Э. Хонеггера7 и А. Валя 8, где был дан детальный анализ напряжений в винтовых спиральных пружинах, а также рассмотрены пружины Бельвилля. В статье Р. Хауленда 9 дано решение

1 Proceedings of the Third international Congress for Applied Mechanics, Stockholm, August, 1930, Stokholm, Kungl. Boktryckeriet P. A. Norstedt and Soner, 1931, vol. 1. Hydround Aerodynamik, 458 p; vol. 2. Elasticity, plasticity, strength of materials, ballistics and

проблемы концентрации напряжения, вызванной круговым отверстием, когда ширина пластины не слишком велика по сравнению с диаметром отверстия. Новое развитие метода фотоупругости обсуждается в статье Циро Туци х. Ц. Туци использует для своей работы по методу фотоупругости монохрома­ тический свет и вместо цветных картин получает бахрому изображения на­ пряженной модели. Эта бахрома является основой очень точного метода для определения максимальных касательных напряжений. Для нахождения глав­ ных напряжений Д. Гартог предлагает использовать мембрану 1.2 Ц. Туци также усовершенствовал применение кинематографии в фотоупругости. Его методы успешно применяются М. Фрохтом 3.

Значительное число работ, представленных на конгрессе в Стокгольме, относилось к упругой устойчивости. Генеральный доклад по устойчивости и прочности тонкостенных конструкций был прочитан С. П. Тимошенко4. В этом докладе было упомянуто несколько инженерных проблем, важным фактором которых является упругая устойчивость. В статьях Г. Шнаделя5 и Е. Мелана 6 обсуждалась упругая устойчивость тонкой сжатой пластины. Важная проблема устойчивости прямоугольной пластины под действием ка­ сательных напряжений обсуждалась в статьях С. Бергмана 78и Е. Зейделя 2.

Устойчивость балок переменной высоты при боковом выпучивании обсуждалась К. Федерхофером 9. Общее обсуждение устойчивости сжатого стержня с помощью больших перемещений дано Е. Трефтцем 10.

В США проблема упругой устойчивости сжатых пластин исследовалась

НАПРЯЖЕНИЯ В ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ РЕЛЬСЕ

ВВЕДЕНИЕ

В связи с постоянной тенденцией в железнодорожной практике к увели­ чению осевой нагрузки и скорости локомотивов задача о напряжениях, вызываемых в рельсе движущейся нагрузкой, становится все более и более важной. В течение последних пятнадцати лет значительная часть работ в этой области была проделана Специальным комитетом по напряжениям в железнодорожной рельсовой колее под руководством профессора А. Тэлбота были предложены полная теория изгиба рельс при действии верти­ кальных нагрузок и экспериментальный метод определения этих нагрузок.

Дальнейший прогресс в определении напряжений в рельсовой колее был достигнут благодаря инженерам электротехнической и производст­ венной компании «Вестингауз» 12 главным образом в связи с изучением путе­ вых характеристик электровозов. В этом исследовании был развит метод экс­ периментального определения не только вертикальных, но также и боковых сил, действующих на рельс со стороны двигающегося локомотива; показано, что боковые силы вызывают в рельсах очень высокие напряжения.

1 Отчеты этого комитета можно найти в следующих публикациях: Progress Report of the Special Committee on Stresses in Railroad Track. First: Proceeding of the American Railway Engineering Assosiation, 1918, vol. 19, Transactions of the American Society Civil Engineers, 1918, vol. 82, N 1420, p. 1191— 1383. Second: Proceeding of the American Railway Engineering Association, 1920, vol. 21, p. 645— 814; Transactions of the American Society Civil Engineers, 1920, vol. 83, N 1455, p. 1409— 1580; American Railway Association, Circular N S— II— 10. Third: Proceedings of the American Railway Engineering Association, 1923, vol. 24, 397; Transactions of the American Society Civil Engineers, 1923, vol. 86, N 1522, p. 907— 1073; American Railway Association, Circular N IV—32. Forth: Proceeding of the American Railway Engineering Association, 1925, vol. 26, p. 1084— 1245; Transactions of the American Society Civil Engineers, 1925, vol. 88, N 1565, p. 740—905. Fifth: Proceeding of the American

holm, August, 24—29, 1930, vol. 3. Stockholm, Kungl. Boktryckeriet P. A. Norstedt and Soner, 1931, p. 251—254.

В настоящей статье дается краткое обсуждение теории, которая по­ служила основой для данной экспериментальной исследовательской работы, описываются некоторые эксперименты, проведенные как в лаборатории, так и в условиях эксплуатации. Специальное внимание обращено на мест­ ные напряжения в рельсах, вызываемые вертикальными и боковыми силами. Может показаться, что эти напряжения уже были изучены. Важность зна­ ния этих напряжений для обоснованного проектирования железнодорожных профилей не может быть переоценена.

РЕЛЬС КАК ДЛИННЫЙ СТЕРЖЕНЬ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Вертикальный изгиб рельс. Предлагаемая теория вертикального из­ гиба рельс основывается на допущении, что рельс может рассматриваться

для простейшего случая действия одной силы Р в вертикальной плоскости симметрии на бесконечно длинный рельс и при х > 0 (рис. 1), найдем 21

прогиб находится в точке приложения силы Р и получается из выражения (3), если положить х = 0. Тогда

б = («/)*=о = • (4)

1 Такой анализ был впервые проделан Е. Винклером, см. W i n k l e r Е. Die Lehre von der Elastizitat und Festigkeit mit Besonderer Rucksicht auf ihre Anwendung in derTechnik, fur polytechniche Schulen, Bauakademien, Ingenieure, Maschinenbauer, Architecten, etc. Pra­

материалов, том 2. М., «Наука», 1965, 480 стр.; см. стр. 14].