книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

Это до некоторой степени завышенное значение максимума динамического прогиба, так как при выводе формулы затуханием пренебрегалось.

Используя принцип наложения, можно легко получить решение задачи для системы сосредоточенных движущихся сил в случае движущихся рас­ пределенных нагрузок г.

Движущаяся пульсирующая сила. Рассмотрим теперь случай, когда пульсирующая сила движется вдоль балки с постоянной скоростью v (рис. 6). Такое условие может возникать, например, когда недостаточно сбалансиро­ ванный локомотив проезжает через мост. Вертикальная составляющая цент­ робежной силы Я, обусловленная дебалансом, равна Pcosa)tl9где « — угло­ вая скорость ведущего колеса. Используя те же рассуждения, что и прежде,

где a = vllan — отношение периода T = 2Pina основного тона колебаний

кудвоенному значению времени 7\ = llv, необходимого для того, чтобы сила

Рпрошла балку; |5 = Т/Т2— отношение периода основного тона колебания балки к периоду Т2 = 2я/о> пульсирующей силы.

Если период Т2 пульсирующей силы равен периоду Т основного тона колебаний балки, то |3 = 1 и получаем условие резонанса. Амплитуда коле­ баний во время движения пульсирующей силы будет постепенно нарастать и достигнет своего максимума в момент Т = llv. В этом случае первый член

ряда (для i — 1) в правой части выражения (44), составляющий наиболее

нию с периодом Т собственных колебаний, максимальный динамический прогиб, вызванный пульсирующей силой Я, будет во много раз больше прогиба 2Я/3/£7л4, который вызывался бы этой же силой, приложенной ста­ тически в середине пролета балки.

Для мостов, имеющих короткие пролеты, когда частота собственных колебаний значительно выше, чем число оборотов в секунду ведущих колес, удовлетворительное приближение может быть получено при использовании только первого члена решения (44) и допуске самого неблагоприятного ус­ ловия, а именно, что в момент t = //2ц, когда пульсирующая сила достига­

ет середины пролета, sin {^ j- + соj t и sin -----шj t становятся равными1

1 См. статью С. П. Тимошенко, упомянутую в сноске на стр. 249.

единице, a sin я2at!l21 = — 1. Тогда дополнительный прогиб согласно выра­ жению (44) будет равен

Применение этого уравнения показано в тексте.

ОТВЕТ НА ДИСКУССИЮ ПО СТАТЬЕ

Относительно замечания А. Липетца 1 автор должен заявить, что пе­ риод собственных колебаний рельсов как балки на упругом основании очень мал по сравнению со временем одного оборота колеса локомотива. При таких условиях напряжения и прогибы, вызванные противовесами, будут близки к напряжениям и прогибам, вычисленным при статических условиях. Известно, что предел прочности стали не изменяется для диапазона частот нагружения от 200 до 2000 цикл/мин. Увеличение предела прочности становится заметным только при очень высокой частоте, такой, как 30 000 цикл/мин.

Сравнивая напряжения, вызванные статическими нагрузками, и на­ пряжения из-за дополнительных противовесов, необходимо придерживаться мнения, что статические нагрузки вызывают прогибы выпуклостью вниз под колесами и выпуклостью вверх в интервале между двумя колесами, так что в каждом отдельном поперечном сечении рельса напряжения, вызванные ста­ тическими нагрузками, меняются во время прохождения локомотива через мост. Противовесы вызывают дополнительные напряжения в некоторых фиксированных сечениях рельса, расстояние между которыми равно пери­ метру колеса. В последующих проездах по рельсу эти сверхнапряженные сечения не будут совпадать, следовательно, эффект такого дополнительного напряжения на усталость стали будет меньше, чем эффект, вызванный ста­ тическими нагрузками.

Относительно замечания Г. Итона 2 автор должен заявить, что метод, развитый в работе, может быть также использован для исследования по­ перечных колебаний мостов. Эти колебания могут иметь большое практиче­ ское значение, так как мосты обычно менее жестки в поперечном направле­ нии и относительно кручения, чем в вертикальном направлении.

Г. Такрай 3 при обсуждении статьи заметил о значительном затухающем эффекте колебаний моста, который получается из-за инерции веса поезда. Такой эффект затухания является установленным фактом. Он доказывается экспериментами Индийского комитета по железнодорожным мостам, упо­ мянутыми в работе.

ЖЕСТКОСТЬ висячих мостов

[Случай однопролетного моста]

The stiffness of suspension bridges. Atti del Congresso Intemazionale dei Matematici, Bologna, 3— 10 Settembre 1928. 1928, tomo 6, Bologna, Nicola Zanichelli, Editore. Comunicazioni, Sezione IVA—V—VII, p. 305—306.

Прочность моста определяется не только прочностью используемого ма­ териала, но также и упругой устойчивостью элементов конструкции. Наи­ более благоприятные условия сточки зрения устойчивости будут иметь место, когда основные элементы конструкции растянуты. Такие условия выполняют­ ся в висячих мостах, и в этом одна из причин их частого использования в ка­ честве больших современных конструкций.

Для того чтобы объяснить применение методов анализа напряжений в висячем мосту, рассмотрим самый простой случай однопролетного моста (см. рисунок). Обычно мосты монтируются так, что постоянная нагрузка полностью воспринимается тросом. Пусть Н0— горизонтальная составляю­ щая натяжения троса, вызванная постоянной нагрузкой; w — интенсивность этой нагрузки. Тогда, выбирая оси, как показано на рисунке, записываем уравнение прогиба троса при действии постоянной нагрузки в виде

( 1)

Представим теперь подвижную нагрузку интенсивностью р (р — из­ вестная функция х)удействующую на ферму. Часть этой нагрузки будет пере­ даваться тросу, а часть вызовет изгиб фермы. Пусть q — интенсивность нагрузки, переданной тросу; г\— прогиб фермы, а рЯ0 — увеличение натяже­ ния троса. Тогда прогиб троса после нагружения будет описываться уравне­ нием

(2)

Из (1) и (2) найдем нагрузку, передаваемую ферме:

/> -< 7 = р - Р ш + Я о ( 1 + Р ) - 0

а дифференциальное уравнение прогиба оси фермы может быть записано следующим образом:

ЖЕСТКОСТЬ висячих МОСТОВ

В настоящей работе излагается метод непосредственного вычисления дополнительного натяжения троса и линии прогиба висячих мостов, обу­ словленных или действием подвижной нагрузки, или изменением температу­ ры. В силу того что используются быстро сходящиеся ряды, прогибы и из­ гибающие моменты пролетной фермы могут быть вычислены гораздо быстрее, чем при использовании обычного метода.

ВВЕДЕНИЕ

Теория подкрепленных висячих мостов берет свое начало от работ В. Дж. Рэнкина 1 и была развита в предположении, что при действии под­ вижной нагрузки подкрепляющая ферма остается абсолютно жесткой; сле­ дующий шаг был сделан профессором Меланом 2, который первый принял во внимание прогиб пролетной фермы. Применение этой теории к проектирова­ нию больших американских висячих мостов, таких, как Манхаттанский мост в Нью-Йорке и Камденский мост в Филадельфии, показывает 3, что эта более точная теория имеет большое практическое значение, к тому же она приво­ дит к значительной экономии материала.

При использовании теории Мелана для определения дополнительных

of modern framed structures. Designed for the use of schools and engineers in professional practice, pt 1—3 (part 1. Stresses in simple structures, 356 p; part 2. Statically indeterminate structures and secondary stresses, 590 p.; part 3. Design, 486 p.) 9th edition, N. Y., Wiley,

256

Посредине пролета касательная к линии прогиба должна быть горизонталь­ ной, а поперечная сила равной —Р12, поэтому

Дифференцированием легко показать, что уравнение (5) и условия (с) и (d) будут удовлетворяться, если принять

для свободно опертой балки, можно сделать вывод, что подкрепляющее влияние троса уменьшает прогиб пролетной фермы приблизительно до 1/3> а максимальный момент до V2 по сравнению с фермой, не подкрепленной тросом.

Для приложенной несимметрично нагрузки Р или распределенной на­ грузки р, занимающей только часть пролета, определение произвольных постоянных общего решения уравнения (6) становится затруднительным, и поэтому метод, основанный на использовании представления линии прогиба тригонометрическим рядом, более прост для вычислений.

ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ

Линия прогиба балки с шарнирно опертыми краями (рис. 3) всегда мо­ жет быть представлена в форме тригонометрического ряда

1 Эти числовые данные соответствуют среднему пролету Манхаттанского моста.