книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

p.393—400.

Вдвумерных системах напряжений, вызванных соответствующими контурными силами, три составляющие напряжения в произвольной точ­ ке могут быть получены с помощью единственной функции ф, которая удов­ летворяет уравнению

Решение уравнения (1) в сочетании со специфическими граничными условиями не всегда является легким делом. Целью данной статьи является описание метода исследования двумерной задачи с использованием выраже­ ния для потенциальной энергии*1

где фо, Фх, ...— функции, подобранные таким образом, чтобы удовлетворять заданным граничным условиям.

Три составляющие напряженного состояния будут

у _ d2(p

*dy2 — фоуу Н ^■‘G'ntynyy'i

у_^2ф

Если подставим эти выражения в формулу (2), получим выражение для энергии V в виде квадратичной функции коэффициентов а ъ а2, ... Варьируя эти коэффициенты, получаем

инженеров путей сообщения. С.-Петербург, тип. А. Э. Коллинса, 1914, 239 стр.; см. стр. 143. [То же, Киев, «Наукова думка», 1972, стр. 1171.

В случае квадратной пластины (а = 6) найдем а х = 0,04253-^-. Составляю­ щие напряжения будут равны

2

х , = р (l - -£-) -0.1702Р (l - -§?-) (i - -g -

х , - -0 .6 8 0 5 ,,-а - (i - - J - ) ( ‘ - -S -) •

Соответствующее распределение напряжения Хх в поперечном сечении х = 0 представлено кривой //.

Для того чтобы получить более приближенное выражение, возьмем первых четыре члена в выражении (9). Тогда уравнения для нахождения

а1} <х2 и а3будут

На рис. 2 это напряжение представлено кривой I I I г.

С увеличением длины пластины распределение напряжения вдоль поперечного сечения с координатой х = 0 становится все более и более

1 Подобные результаты были получены К. Инглисом для случая синусоидального за­ кона распределения давления на краях х = ±а . См.: I n g 1 i s С. Е. Two-dimensional stresses in rectangular plates. Engineering, 1921, vol. 112, № 2910, p. 523—524 (доклад, про­ читанный им в сентябре 1921 г. на заседании секции G Британской ассоциации в Эдинбурге).

Распределение напряжения в этом случае представлено на рис. 2 штри­ ховой линией. Видно, что отклонение от среднего значения напряжения (равного 2р/3) теперь находится внутри пределов точности нашего прибли­ женного решения.

Для других случаев симметричного распределения нагрузки по краю х = ± а следует изменить только форму функции ср0 в выражении (9), тогда изменится лишь правая часть уравнения (10).

Хорошо известно, что если тонкая пластина, первоначально плоская, изгибается моментами и силами, приложенными на ее краях, то уравнение, соответствующее главным кривизнам ее поверхности, математически иден­ тично уравнению (1) х. Отсюда любое решение двумерной задачи может быть использовано

Ь г ) у - ± ь = ± -Г Р Ь'

( - $ - ) « . - о ( ■ -- & - ) •

В качестве второго примера рассмотрим зада­ чу о блоке, сжатом между двумя идеально жесткими опорными плитами (рис. 3). Пред­ положим, что горизонтальные перемещения на поверхностях контакта невозможны вследствие трения. Условия на свободной границе

блока будут удовлетворены, если взять функцию напряжений в форме

где через р обозначено среднее значение сжимающего напряжения. Ограничиваясь четырьмя членами, заключенными в скобках, получаем

следующие выражения для составляющих напряжения:

Хх = р + (12у2— 4b2) (ах -j- ос2х2-j- сс3х4) -J-

+ а4х2 (30J/4 — 24у2Ь2+ 264);

Уу = 2 (у2 — Ь2)2(а2 + бо^*2 + ^У2)\

X v = — 8у (у2— Ь2) (а2х + 2а3х3) — 4а4х (3у6— 4ifb2 + yb4).

Видно, что при допущениях, сделанных относительно перемещений на поверхностях контакта, правая часть выражения (5) будет равна нулю. Распределение напряжения в рассмотренном случае зависит от упругих констант, поэтому надо взять уравнения для расчета коэффициентов ах, а2, в форме (8). После интегрирования получим эти уравнения в

1 Эту аналогию можно использовать при экспериментальных решениях двумерных задач. См.: W i e g h a r d t K . Uber ein neues Verfahren, verwickelte Spannungsverteilungen in elastischen Korpern auf experimentellen Wege zu finden. Mitteilungen uber Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, 1908, Hft 49, S. 15— 30.

Проведем расчеты для случая квадратного блока. Принимая а = Ь,

v = 1/4, получаем следующие значения коэффициентов: ах = 0,01016-4-;

Это распределение напряжения представлено на рис. 4. Видно, что сжи­ мающие напряжения на поверхностях контакта распределяются неравно­ мерно. В середине блока наблюдается некоторое уменьшение напряжений

и значительное повышение около краев 1 у = ±Ь. На контактных поверх­ ностях действуют также касательные напряжения. Максимальное значение их достигает 16% средних сжимающих напряжений (рис. 4).

Задача о блоке для случая сжатия двумя сосредоточенными силами (рис. 5, а) может быть решена путем сложения известного решения для бес­ конечной полосы2 (рис. 5, б) с решением для блока (рис. 5, в), на краях mini и PiQi которого приложены

нагрузки, соответствующие на­ пряжениям в поперечных сечениях тп и pq полосы. Последнюю за­ дачу можно решить тем же спосо­ бом, что и в разобранном выше примере.

Тот же метод может быть ис­ пользован для того, чтобы устано­ вить дополнительный прогиб бал­ ки вследствие поперечного сдвига (рис. 6). Граничные условия будут напряжений в следующем виде:

ностью, необходимо увеличить число членов в выражении (11), что значительно усложнит

вычислительную работу.

- См.: Р i g е a u d. Sur l’equilibrie elastique d’une plaque indefinie, d’epaisseur unifor­ me, comprimee par deux forces egales et opposees, uniformement reparties sur deux droites paralleles situees dans un plan normal aux bases. Comptes rendus des seances de l’Academie des sciences, 1915, t. 161, N 22, p. 673—676.

ПРОГИБЫ РАВНОМЕРНО НАГРУЖЕННОЙ КРУГОВОЙ ПЛАСТИНЫ

С ЗАЩЕМЛЕННЫМ КОНТУРОМ

Deflections of a uniformly loaded circular plate with clamped edges. Pittsburgh,

papers. New York — London — Toronto, McGraw-Hill Publishing Company, Ltd, 1953, p. 401—402.

Обычная формула для расчета прогиба круговой пластины с защемлен­ ным контуром, нагруженной равномерным давлением, имеет вид1

где q — равномерно распределенное давление; а — радиус пластины; г — расстояние по радиусу до некоторой точки пластины; D = Eh3/ 12 (1 — v2) — изгибая жесткость пластины.

Эта формула получена путем пренебрежения растяжением в срединной поверхности при изгибе и дает достаточно точные значения только для тех случаев, когда прогибы малы по сравнению с толщиной h пластины. В про­ тивном случае прогибы будут меньшими, чем определяемые выражением (1)2.

Для того чтобы получить выражение для больших прогибов, может быть использован метод Релея — Ритца. Предположим, что выражение для про­ гибов можно представить в виде

где с — величина прогиба в центре, и допустим, что радиальные смещения в срединной поверхности пластины при ее изгибе имеют вид

K i= 0 , 2 1 6 - ^ - ^ - ,

аналогично для потенциальной энергии изгиба имеем

Второе слагаемое в правой части отражает влияние изгиба на жесткость пластины. Можно видеть, что с возрастанием с пластина становится более жесткой.

Для малых прогибов величина поправки, вызванной растяжением в сре­ динной поверхности пластины, будет иметь вид

Эта поправка очень быстро увеличивается с ростом отношения a/h. Когда размеры пластины заданы, поправка пропорциональна выражению

+( 1 — V2 )

Применяя формулу (8) при рассмотрении малых собственных колебаний круговой пластины с защемленным контуром, нагруженной равномерно рас­ пределенным давлением qyможно обнаружить, что из-за растяжения в сре­ динной поверхности частоты низших тонов колебаний увеличиваются в от­ ношении 1 1/1 + 1,46 c2/h2.