книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

При увеличении г выражения (9) — (13) стремятся к зависимостям (4), ко­ торые были найдены ранее. Значение у должно быть выбрано таким образом, чтобы сделать величину потенциальной энергии кручения V минимальной.

Если вычислить величину потенциальной энергии по формуле

ипредположить, что |e~yzdz = — , то получим

оY

потенциальной энергии, выражаемой формулой (14), величине работы крутя­ щего момента М. Тогда с учетом формулы (8') имеем

Влияние местной нерегулярности в поперечном сечении с координатой г = = 0 на величину угла закручивания 0 такое же, как и уменьшение длины I на величину 0,425а. Если же потребуется принять во внимание границы х = ± а , то выражения для Х 2, У2 должны быть заменены следующими:

Хг = -\ - Еу2те~уг (а2— х2)у — 2рту(\— е~к {а~~х)); Уг = -^ - Еу2хе~уг (Ь2— у2) х + yak (b2— у2) е~к(а“ х).

Величины а2у2 и уменьшение длины I на величину б/, соответствующее уменьшению угла закручивания 0, даны в таблице.

Решение обсуждаемой задачи может быть получено иначе, если зада­ ваться выражениями для перемещений. Эти выражения должны быть вы­ браны таким образом, чтобы удовлетворить условию, что поперечное сече­ ние с координатой г = 0 остается плоским. Они будут содержать одну или две постоянные величины, которые представляют собой координаты

где М — крутящий момент; а — постоянная величина, которая должна быть определена; С — жесткость призмы при кручении.

Видно, что при этом условия (v)z=о = 0, (dv/dz)z=о = 0 удовлетво­ ряются. Далее видно, что с увеличением z относительный угол закручива­

ла

ния d2v/dxdz = — (1 — е-*2) стремится к величине М/С. Пренебрегая малой

величиной e~al, получаем угол закручивания в виде

Снова находим, что уменьшение величины угла закручивания 0, происхо­ дящее вследствие местной нерегулярности, имеет то же значение, что и соот­

ветствующее уменьшение длины на величину 1/а, которая не зависит от /. Уравнение для определения а получается путем приравнивания вели­ чины потенциальной энергии изгиба пластины значению работы, которую

производит крутящий момент М. Таким образом, получаем

где D — изгибная жесткость пластины. В случае узкого прямоугольного поперечного сечения имеем 2aD/С = 1/2 (1 — v), а из приведенного выше соотношения получим следующую формулу:

Условие того, что цилиндрическая поверхность стержня свободна от напряжений, имеет вид Xz cos (xv) + Уг cos (yv) = 0, оно может быть за­ писано следующим образом:

Подставляя выражения (2) в уравнения совместности деформаций V2KZ =

В частных случаях величину с следует находить таким образом, чтобы мо­ мент относительно оси 2, обусловленный напряжениями в поперечном се­ чении, равнялся нулю.

В тех случаях, где возможно соответствующим подбором f (у) обратить правую часть уравнения (3) в нуль, рассматриваемая задача будет совпа­ дать с задачей о нахождении формы равномерно натянутой мембраны, на­ груженной нормальным давлением. При условиях, что контур мембраны совпадает с контуром кривой, ограничивающей поперечное сечение призмы, что равномерное растяжение мембраны равно единице и что интенсивность нормального давления представляется членами, стоящими в правой части уравнения (4) с отрицательным знаком, уравнение равновесия мембраны будет совпадать с (4).

Форма равновесия может быть найдена путем использования вариа­ ционного метода. Если добавим к перемещениям мембраны малые допол­ нительные перемещения, то соответствующая работа равномерно растяги­ вающих сил будет

- • и - а д + ( * л * *

и работа нормального давления

— 6 Э Д ф [т р 7 ‘Т ' — f'(y) + c dxdU'

откуда следует, что функция <р может быть найдена из условия, что инте­ грал

где ф0, фь ... — функции, обращающиеся в нуль на границе. Коэффициен­ ты а0, а1э ...— могут быть определены из условия минимума, который имеет вид

Точность приведенного решения будет зависеть от числа членов ряда, пред­ ставленного выражением (6).

Если граница поперечного сечения задается уравнением F (х, у) = О, а функция F отлична от нуля внутри поперечного сечения, то решение (6)

можно взять в следующей форме:

имеет ту или иную определенную форму.

Эллипс. Уравнение ограничивающей эллипс кривой имеет вид х2/о2 + + у21Ь2 = 1. Правая часть уравнения (3) будет равна нулю, если положить

Дифференциальное уравнение (4) будет таким:

т. е. мембрана нагружена линейно распределенным нормальным давлением, равным нулю на оси х. Относительно функции ф можно сделать вывод, что она является четной функцией относительно х и нечетной функцией относи­ тельно у. Легко видеть, что в этом случае член

выражения (8) дает точное решение уравнения (4а), если принять

В этом случае ф также является четной функцией относительно х и нечет­ ной функцией относительно у. Эти условия и условия на границе будут удовлетворены, если взять выражение (6) в такой форме:

о )

т= 0 п=1

где а = Ыа. Касательные напряжения, выражаемые формулой (2), будут равны

Второй член в выражении для Хг дает касательные напряжения, которые обычно вычисляются в трактатах по прикладной механике из уравнений равновесия и не удовлетворяют условию совместности деформаций. Под­ счет поправок к элементарному решению облегчается использованием функ­ ции ф.

Эти формулы совпадают с хорошо известным решением Сен-Венанаг. Используя метод Релея-Ритца, можно получить решение задачи в дру­

гой форме, более удобной для числового расчета. Ограничивая общее вы­

Координаты точек

Для того чтобы определить точность приближенного решения, были вычислены напряжения в центре прямоугольника (х = 0, у = 0) и в точке с координатами (х = 0, у = Ь). При этом v бралось равным 1/4. Величина выражений в квадратных скобках (14) и соответствующие величины реше­ ния (15) приведены в таблице.

Видно, что если а и &— величины одного порядка, то приближенное решение (15) достаточно точное. В случае необходимости можно всегда по­ высить точность решения, увеличивая число членов в общем выражении (8).

Чтобы получить приближенное решение для точек, находящихся около короткой стороны прямоугольника, когда а велико2, можно взять функцию

1 S a i n t - V e n a n t B . Memoire sur la flexion des prismes sur les glissements transversaux et longitudinaux qui l’accompagnent lorsqu’elle nes’ opere pas uniformement ou en, arc de cercle, et sur la forme courbe affectee alors par leurs sections transversales primitivement planes. Journal de mathematiques pures et appliquees, Liouville, ser. 2, 1856, t. 1, p. 89— 189 (см. стр. 163). [Перевод на русский язык: С е н - В е н а н Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М., Физматгиз, 1961, 518 стр. (см. стр. 463].

2 В таком случае точное решение (14) неудобно для численного счета.

напряжений в следующем виде (удовлетворяя условиям на границе):

Ф T q r v ~1Г ^ — (Ь~У) к), (16)

где k — константа, которую надо определить из уравнения (7). Положив

Этот результат только на 25% меньше точного решения, приведенного в таб­ лице. Можно сделать вывод, что в случае узкого прямоугольника прибли­ женное решение (16) является достаточно точным.

Методом, примененным для прямоугольника, можно получить прибли­ женное решение и в некоторых других случаях. Например, если уравнения границ таковы (рис. 1), что у = ±Ь , х2 + у2 + г2 = 0, то положим

f(y) = - % г ( г г — У*)-

Приближенное выражение для функции ср можно взять в таком виде:

Ф = (У2 — Ь2) (х2+ у2— г2) (Ay + By3),

где А и В могут быть вычислены из уравнения (7). Таким же путем задача может быть решена в других случаях, когда поперечное сечение ограничено вертикальными линиями у = ±Ь и двумя окружностями, симметрично рас­ положенными относительно оси у.

Треугольник. Если треугольник симметрично расположен относитель­ но оси у (рис. 2), то уравнение границ будет у + а = 0, х = =h tg а (2а — у). Если положить

f{y) = - J - t g a ( 2a — yf,

то члены, стоящие справа в уравнении (3), будут равны нулю и надо будет решать следующее уравнение равновесия мембраны, закрепленной по краям:

напряжений от кручения, вычисленных из хорошо известной функции на­

Надо только подобрать значение fix. Крутящий момент, соответствующий напряжениям (19), будет

Подставляя значения для рт в формулы (20) и складывая выражения (19) и (20), получаем

(**)*=<> = Щ - Р (2 а ~ у ) .

Наибольшее значение этого напряжения будет равно