книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

высока, что совпадение пульсирующей нагрузки и собственной частоты коле­ баний невозможно при любой практической скорости. Принимая, например, для ведущих колес в качестве верхнего предела скорость вращения 6 об!сек и выбирая частоты собственных колебаний из таблицы, можно сделать вы­ вод, что условие резонанса вряд ли возможно для пролетов длиной короче чем 30,48 м. Для более длинных пролетов должны быть приняты во внимание условия резонанса, а динамический эффект должен рассчитываться с уче­ том этого предположения. Полное обсуждение вынужденных колебаний, вызванных противовесами, дается в Приложении; здесь покажем лишь при­ менение окончательной формулы [см. выражение (8) ].

Пусть Рг — максимальное результирующее давление на рельс, вызван­ ное противовесами, когда ведущие колеса вращаются со скоростью один обо­ рот в секунду; Рг/Т2 — результирующее давление на рельс, когда число оборотов колеса в секунду равно частоте собственных колебаний 1/Т моста; п — общее число оборотов ведущих колес за время проезда помосту. Тогда из выражения (45) Приложения получим следующий дополнительный про­ гиб, вызванный динамическим действием ведущих колес:

1) статический прогиб 2Р1/3/£7эт4, вызванный силой Рг\2) период Т собствен­ ных колебаний моста; 3) число оборотов п. Всеми этими величинами обычно пренебрегают в формулах, применяемых при проектировании моста и учи­ тывающих динамическое воздействие.

Чтобы получить представление о величине этого динамического эф­ фекта, используем формулу (8) для числового примера *1 для случая, когда локомотив проезжает через мост с пролетом 36,58 м. Полагая, что нагрузка локомотива эквивалентна равномерной нагрузке 21,850 m/м, распределен­ ной по длине 4,57 м, и что нагрузка, обусловленная весом поезда и локомоти­ ва, эквивалентна равномерно распределенной нагрузке 8,20 т/м, находим, что максимальный прогиб в центре каждой балки приблизительно равен

пульсирующего давления на каждую балку при условии резонанса, равном

прогибу, рассчитанному для случая, когда локомотив достигает конца моста, получаем полный прогиб в центре, равный 230 000 2/3/£7л4. Сравнивая его с максимальным статическим прогибом в центре пролета 124 700 •2/3/£7л4, приведенным выше, можно сделать вывод, что увеличение прогиба, обуслов­ ленное динамическим эффектом, составляет в этом случае приблизительно 84%. Принимая число оборотов п = 6 (при диаметре колеса 1,98 м) и до­ пуская снова условие резонанса, для этого же численного примера получа­ ем увеличение прогиба, равное 56%.

Для мостов с более короткими пролетами, у которых частота собствен­

секунду, удовлетворительное приближение может быть получено с помощью общего решения [см. Приложение, формула (44)]. Сохраняя только первый член этого решения и допуская самое неблагоприятное условие, приходим к формуле (46), которая должна быть использована в этом случае.

Рассмотрим, например, мосте пролетом, равным 18,29м> и примем тот же самый вид нагружения, что и в предыдущем примере. Тогда максимальный статический прогиб приблизительно равен 78 500 2Р/Е1п4. Если ведущие колеса имеют длину окружности 6,1 м и делают 6 об/сек, то максимальная направленная вниз сила, приложенная к балке, будет равна 8500 (6/5)12 =

так как в этом случае резонанс наступает тогда, когда пульсирующая возму­ щающая сила достигает своего наибольшего значения. С увеличением длины пролета уменьшается критическая скорость, а также и величина пульсирую­ щей нагрузки, следовательно, динамический эффект уменьшается.

Для очень больших пролетов, когда частота основного тона колебаний мала, теоретически становится возможным совпадение частоты пульсирую­ щей силы с собственной частотой второй'формы колебаний, имеющей узел в середине пролета. Поэтому может происходить увеличение динамического эффекта при скорости, в четыре раза большей первой критической скорости.

Нужно заметить, что все наши вычисления основаны на предположении о существовании пульсирующей силы, движущейся вдоль моста.В реальных условиях имеем катящиеся массы, которые вызывают изменения в частоте собственных колебаний моста в соответствии с изменяющимся положением нагрузок. Такое изменение частоты собственных колебаний, которое особен­ но ярко выражено для коротких пролетов, очень выгодно, так как пульсирую­ щая сила не может находиться в резонансе дольше, чем необходимо для про­ езда через мост, и ее суммарное действие не может быть так ярко выражено, как в приведенной выше теории. Из экспериментов, проведенных Индий­ ским комитетом по строительству железнодорожных мостов1, видно, что в среднем максимальный прогиб возникает тогда, когда локомотив пересе­ кает 2/3 пролета, и что максимальный динамический эффект составляет х/я эффекта, определяемого формулой (8). Нужно также заметить, что динами­ ческий эффект пропорционален силе Рх и поэтому зависит от типа машины локомотива и от способа ее балансировки. В то время как в плохо сбалансиро­ ванной двухцилиндровой машине сила Рхможет достигать2 более чем 453,6 /сг, в электрических локомотивах окончательная балансировка может быть выполнена так, что пульсирующее давление на рельс отсутствует. Такое от­ сутствие динамического эффекта позволяет увеличить осевую нагрузку совре-

1 Bridge Sub-Committee Reports. Calcutta, 1925. Government of India Central Publi­ cation Branch, 1926, Technical Paper N 247.

2 Некоторые данные о величинах Рх для машин различных типов приведены в Отчетах упомянутого в первой сноске Подкомитета по мостам.

менных тяжелых электровозов. Для случая коротких балок и рельсовых опор, частота собственных колебаний которых очень велика, влияние противовесов на прогиб и напряжения может быть учтено с достаточной точностью путем пренебрежения колебаниями с помощью статической формулы, в которой центробежные силы противовесов должны быть до­ бавлены к статическим давлениям на рельс. Влияние этих центробежных сил особенно ярко выражено для коротких пролетов, когда балка под­ вергается одновременному воздействию только небольшого числа колес.

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ, ВЫЗВАННЫЕ НЕРОВНОСТЯМИ ПУТИ И ПЛОСКИМИ УЧАСТКАМИ КОЛЕС

Такие нерегулярности, как соединения рельс, пологие впадины рельс или плоские участки колес и т. д., могут вызывать значительный динамиче­ ский эффект, который особенно ярко выражен в случае коротких пролетов. Если пологие впадины пути или плоские участки на колесах имеют форму плавной кривой, то здесь можно также применить метод, используемый при анализе напряжений в рельсах г. При последующем анализе максимального динамического эффекта предполагается, что рельс жесткий и его изгибом можно пренебречь. Пусть выражение

Инерционная сила, которая должна быть добавлена к статической нагрузке

Максимальное значение дополнительного давления на рельс, вызванного инер­ ционной силой движущегося колеса, получается тогда, когда х = //2 и cos (2пх/1) = — 1, и составляет

Видно, что дополнительное давление пропорционально неподрессоренной массе колеса, квадрату скорости перемещения и коэффициенту 6/Р. Такое давление может достигать значительной величины и поэтому имеет практи­ ческое значение в случае коротких мостов и рельсовых опор. Этот дополни­ тельный динамический эффект, вызванный неровностями пути и плоскими участками колес, подтверждает наличие высокого динамического коэф­ фициента, обычно используемого при проектировании коротких мостов. Удаляя узловые соединения рельс с мостов и используя засыпанные бал­ ластом пролеты, или, что то же, используя тяжелые деревянные настилы, можно уменьшить влияние этих нерегулярностей и соответственно уменьшить динамические напряжения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из проведенного выше анализа видно, что эффект подвижной нагрузки для медленно перемещающейся нагрузки всегда мал. При самом неблагопри­ ятном условии он не превышает 10%, поэтому им можно пренебречь.

Динамический эффект противовесов ведущих колес локомотива может представлять практический интерес, особенно в условиях, включающих резонанс. Наиболее сильный динамический эффект можно получить для самых коротких пролетов, в которых возможно возникновение резонанса. При допущениях, принятых в этой работе, такой пролет приблизительно равен 30, 48 м.

Дополнительный динамический эффект, вызванный неровностями рель­ са и плоскими участками колес, важен только для части моста, непосред­ ственно подверженной действию подвижных нагрузок, и подтверждает нали­ чие высокого динамического коэффициента, используемого обычно при про­ ектировании коротких балок и рельсовых опор.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Общие соотношения. При обсуждении колебаний мостов задача упрощает­ ся, если рассматривать мост как балку постоянного сечения, свободно опертую на концах. Общая форма линии про­ гиба в этом случае может быть пред­ ставлена в виде следующего триго­

нометрического ряда:

Геометрически это означает, что ли­ ния прогиба может быть получена наложением простых синусоидаль­ ных кривых, таких, какие показа­ ны на рис. 3. В процессе колебаний амплитуды qly q2y q3y ... изменяются

во времени. Поэтому задача будет решена, если эти амплитуды будут опреде­ лены как функции времени. В последующем обсуждении задачи рассмотрим ве-

Далее будут показаны несколько примеров вычислений обобщенной силы Qt. Подставляя выражения для Т и V в уравнение (16),^ получаем следую­

щее дифференциальное уравнение движения для каждой координаты q^

Дифференциальное уравнение (18) представляет собой линейное дифферен­ циальное уравнение с постоянными коэффициентами, которое может быть легко решено при условии, что сила Q{ известна как функция времени. Тог­ да полный интеграл этого уравнения может быть представлен в следую­ щей форме:

Первые два члена в этом решении представляют собой свободные колеба­ ния, определяемые начальными условиями, тогда как третий член предс­ тавляет колебания, вызванные возмущающей силой Qt. Период собственных колебаний будет составлять

Это собственное колебание соответствует координате qt. Соответствующая линия прогиба (рис. 3) имеет i волн и i — 1 узловых точек. Видно, что при увеличении числа волн i частота возрастает как i2. Теперь будут рассмат­ риваться колебания, вызванные возмущающими силами.

Пульсирующая сила. Рассмотрим сначала в качестве примера пульси­ рующую силу Р = P0s\nntly приложенную на расстоянии сот левой опоры (рис. 4) и имеющую период 2яIn. Для того чтобы получить в этом случае обобщенную силу Qt., в уравнении (18) допустим, что координате qt дается малое приращение бq.. Соответствующий прогиб балки из формулы (11) бу­

Если используется только первый член этого ряда, то ошибка в вычислении прогиба в середине пролета будет приблизительно равна 0,25%. Если часто­ та пульсирующей нагрузки недостаточно мала, чтобы можно было приме­ нять статическое уравнение, то следует использовать метод, приведенный для случая одной силы. Тогда получим результат, соответствующий формуле

(31).

Постоянная по величине движущаяся сила. Если постоянная вертикаль­ ная сила Р движется вдоль балки, то она вызывает колебания, которые могут быть без труда вычислены с помощью общего выражения (20). Пусть v озна­ чает постоянную скорость движущейся силы и пусть сила в начальный мо­ мент движения (t = 0) находится на левой опоре. Тогда в любой другой мо­ мент расстояние этой силы от левой опоры будет равно vtx. Для того чтобы определить обобщенную силу Qi в этом случае, предположим, что координа­ та qt в общем выражении (И) линии прогиба получает бесконечно малое приращение бqt. Работа, совершаемая силой Р на этом перемещении, будет равна

Р Фу)х=ы, = PSth Sin — J

Следовательно, обобщенная сила будет

invtx

Qi = P sin

~ l *

Подставляя ее в третий член формулы (20), находим следующее выражение прогиба при колебаниях, вызванных движущейся нагрузкой

Первый ряд этого выражения представляет собой вынужденные колебания,

Это статический прогиб балки, вызванный нагрузкой Р, приложенной на рас­ стоянии с от левой опоры [см. формулу (27) ].1

1 Эта проблема представляет практический интерес в связи с изучением колебаний мостов. Первое решение было получено А. Н. Крыловым, членом Академии наук в^ С.-Пе­ тербурге. См.: К г i 1о f f А. N. Uber die erzwungenen Schwingungen von gleichformigen elastischen Staben. Mathematische Annalen.{Leipzig, 1905, Bd 61, S. 211— 234. [Перепечатка:

колебаниях призматических стержней (Приложение к исследованию колебания мостов). Из­

При

часть общего решения, представляющая вынужденные колебания, принимает вид

Интересно отметить, что выражение для этого прогиба идентично выражению для статического прогиба балки *, на которую в дополнение к нагрузке Руприложенной на расстоянии с = vt от левой опоры, действует продоль­ ная сжимающая сила, такая, что

Поэтому влияние силы S на статический прогиб балки нагруженной силой Ру эквивалентно влиянию скорости движущейся силы Р на прогиб, обу­ словленный вынужденными колебаниями. С увеличением скорости v может быть достигнуто условие, когда один из знаменателей ряда (35) равен нулю, и тогда имеет место резонанс. Допустим, например, что

В этом случае период основного тона колебаний балки 2Р/ап становится равным 2// v и, следовательно, он в два раза больше времени, требуемого силе Р для того, чтобы пройти балку. Знаменатели первых членов обоих рядов (35) при условии (40) становятся равными нулю, и сумма этих двух членов бу­ дет равна

Это выражение имеет неопределенность вида 0/0, которая может быть рас­ крыта обычным путем. Тогда

1 См. стр. 163 английского издания или стр. 131 русского перевода работы С. П. Ти­ мошенко, указанной в сноске на стр. 243. Используя хорошо известное выражение для

кривой статического прогиба, можно получить замкнутую форму функции, из которой выте­ кает ряд (37).