Будем рассматривать квадратичную форму (7) в евклидовом пространстве
.
Так как матрица
симметрична,
то она может быть представлена
в виде:
где – Dдиагональная матрица, на диагонали
которой стоят собственные числа матрицыА, аU- ортогональная
матрица, столбцами которой являются
собственные вектора матрицыА.Как
ранее отмечалось, что эти вектора в
случае различных собственных чисел
матрицыАявляются линейно независимыми
и образуют базис в
.
Столбцы матрицы
U
являются координатами некоторого
ортонормированного базиса
,
в котором матрицaА
имеет диагональный вид, и, следовательно,
квадратичная форма – искомый канонический
вид.
Соответствующее преобразование координат определяется соотношением:
.
ПРИМЕР 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
,
заданную в евклидовом
пространстве
,
к каноническому виду. Написать этот
канонический вид.
Матрица квадратичной формы имеет вид:
.
Определим собственные числа этой матрицы. Имеем:
.
Раскрывая
определитель, находим корни
характеристического многочлена, которые
являются собственными числами матрицы
А. Итак, собственные числа этой
матрицы суть
.
Соответствующие ортонормированные собственные векторы:
и, следовательно,
.
В базисе
заданная квадратичная форма имеет вид:
,
а соответствующее преобразование координат:
.