- •ЛинейнОе пространство
- •Определения. Базис и размерность. Разложение вектора по базису пространства
- •Определение базиса и размерность пространства l
- •Если обладает базисом, то говорят, что линейное пространствоLимеет рангQ (ranq q).
- •Изоморфизм n-мерных линейных пространств
- •Формулы преобразования координат при изменении базиса
- •Произведением. Евклидово пространство
- •2.1. Определение евклидова пространства. Длина вектора. Неравенство Коши-Буняковского
- •2.2. Ортогональный и орто-нормированный базисы в пространстве е
- •2.3. Ортогонализация базиса в пространстве
- •2.4. Скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве
- •Изоморфизм евклидовых пространств
- •§ 3. Билинейные квадратичные формы
- •4.1. Линейная функция
- •4.2. Билинейные формы
- •4.3. Матрицы билинейной формы
- •4.4. Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса
- •4.5. Квадратичные формы
- •4.6. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду
- •Будем рассматривать квадратичную форму (7) в евклидовом пространстве
2.2. Ортогональный и орто-нормированный базисы в пространстве е
В линейном пространстве у нас нет оснований предпочесть одни базисы другим. Там все базисы равноправны. В евклидовом пространстве существуют наиболее удобные базисы, а именно, ортогональные базисы. Они играют здесь ту же роль, что и прямоугольные системы координат в аналитической геометрии.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Будем говорить, что n векторов ни один из которых не равен нулю, образуютортогональный базис в n-мерном евклидовом пространстве , если они попарно ортогональны, то есть:
при .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Векторы ни один из которых не равен нулю, образуютортогональный нормированный базис, если они попарно ортогональны и имеют каждый длину равную единице, то есть, если выполняется равенство:
(9)
Для того, чтобы данное нами определение ортогонального и ортонормированных базисов было корректным, необходимо доказать, что входящие в определение векторы действительно образуют базис, то есть являются линейно независимыми.
Докажем, что равенство
(10)
возможно лишь, если , то есть является тривиальным. Умножим обе части равенства (10) скалярно на. Получим:
.
Но по определению ортогонального базиса
при .
Следовательно, Аналогично, умножая (10) на , получим2=0 и т. д. Таким образом, соотношение (10) выполнено, если , то есть векторыявляются независимы, что и доказывает корректность утверждения.
Чтобы доказать существование ортогональных базисов в евклидовом пространстве , воспользуемся, так называемым, процессом ортогонализации.
2.3. Ортогонализация базиса в пространстве
Процесс ортогонализации состоит в том, что из не ортогональных, но линейно независимых векторов , можно построить систему попарно ортогональных векторов. Опишем процесс их построения. Пусть даныn линейно независимых векторов . По этим векторам построимn попарно ортогональных векторов . Сначала положим. Векторбудем искать в виде:, где число1 подберем таким образом, чтобы выполнялось условие .
Имеем:
(11)
Предположим, что построена система попарно ортогональных и отличных от нуля векторов . Далее векторбудем определять так:
, (12)
то есть вектор мы получаем из векторапутем "исправления" его с помощью линейной комбинации уже построенных векторов.
Коэффициенты находим из условия ортогональности векторак векторам. Последовательно умножим соотношение (12) на, затем наи т.д. Имеем
( 13)
Так как векторы попарно ортогональны, то равенства (13) запишутся так:
Отсюда находим:
(14)
До сих пор не было использовано то, что векторы линейно независимы. Это будем использовать при доказательстве того, что построенный векторотличен от нуля. Заметим предварительно, что векторесть линейная комбинация векторов. Но, с другой стороны, вектор можно заменить линейной комбинацией и векторов . В итоге, векторзаписывается в виде:
. (15)
Теперь ясно, что .Так как, в противном случае, правая часть равенства (15) была бы нулем, что противоречит линейной независимости векторов.
Итак, доказано, что .
Мы построили по векторам ивектор. Таким же образом пои мы построим и т.д.
Продолжая этот процесс до тех пор, пока не будут исчерпаны заданные векторы . Получаемn отличных от нуля и попарно ортогональных векторов , которые образуют ортогональный базис в исходном евклидовом пространстве.
Т е о р е м а 4. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортогональный базис.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению n-мерного пространства в нем существует базис линейно независимых векторов. С помощью процесса ортогонализации из векторовможно построить ортогональный базис, что и доказывает теорему.