Г л а в а Ш. ПРОСТРАНСТВА

1. ЛинейнОе пространство

1. Определения. Базис и размерность. Разложение вектора по базису пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Множество L называется линейным, если для элементов этого множества выполнены следующие условия:

а) в L введено сложение элементов, то есть введено отображение

, (1)

обладающее следующими свойствами:

,

такой, что ,

,

(элемент -называется противоположным элементу);

б) в множестве L введена операция умножения элементов на действительные числа, то есть иопределено отображение

,

обладающее свойствами:

,

,

,

.

Следует отметить, что элементами линейного пространства , как правило, являются векторы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пространство L называется действительным, если в L операция умножения векторов на число определена только для действительных чисел, и - комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Система векторов называетсялинейно зависимой, если найдутся такие числа , что

, (2)

причем

, (3)

и эта система векторов называется линейно независимой, если

(4)

Условие означает, что среди всехсуществует хотя бы одно число не равное нулю.

Т е о р е м а 1. Если система векторов является линейно зависимой, то один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем условие линейной зависимости векторов

. (5)

Пусть для определенности , тогда из (5) имеем:

.

Таким образом, вектор является линейной комбинацией остальных векторов.

2. Определение базиса и размерность пространства l

Пусть - произвольное множество векторов линейного пространства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Упорядоченная система векторов

называется базисом в Q, если:

1. ;

б) система векторов линейно независимая;

в) для найдутся такие числа, что

. (6)

Формула (6) называется разложением вектора по базису Q , а коэффициенты – координатами этого вектора в базисеQ.

Если обладает базисом, то говорят, что линейное пространствоLимеет рангQ (ranq q).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Линейное пространство L называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов и обозначается так . В противном случае, пространствоL называется бесконечно мерным.

Т е о р е м а 2. Каждый вектор изможно представить, и притом единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть векторы образуют базис в. Присоединим к ним произвольный вектор. Система векторов состоит уже из-го вектора. Поэтому по определениюn-мерного пространства они должны быть линейно зависимыми, то есть

, (7)

причем

.

Число заведомо отлично от нуля, так как иначе из формулы (7) следовала бы линейная зависимость векторов. Выразим из (7) вектор.

. (7)

Таким образом, мы доказали, что каждый вектор есть линейная комбинация векторов базиса. Докажем, что векторразлагается единственным образом по базису.

Доказательство проведем от противного.

Пусть существует два разложения

(8)

и

. (9)

Вычитая из (8) разложение (9), получим:

. (10)

Так как вектора базиса .линейно независимые, то (10) возможно лишь, если:

.

Что и требовалось доказать.