Глава 1. Матрицы и их определители

§1. Матрицы

оПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Матрицей называется совокупность вещественных или

комплексных чисел ,расположенных в виде прямоугольной таблицы

A=.

Числа называются элементами матрицы. Индексы i,,j означают, что элемент расположен на пересеченииi-й строки и j-го столбца матрицы A= (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n).

Если в матрице A mn, то матрица называется прямоугольной. В случае, когда m=n, то есть число строк равно числу столбцов, матрица A называется квадратной.

оПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то она называется матрицей размера

Прямоугольная матрица размера , состоящая из одного столбцаA=называетсястолбцевой и обозначается так

A = .

Прямоугольная матрица размером ,состоящая из одной строки называется строчной и имеет вид:

A= .

Иногда cтолбцевая матрица называется вектор-столбцом, а строчная мавтрица - вектор-строкой или оба вида матриц называются просто векторами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Квадратная матрица A называется диагональной, если все ее недиагональные элементы равны нулю, и имеет вид:

A= .

Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, называется единичной обозначается символом E :

E=.

Матрица A с элементами a_ij называется правой (верхней), если , илевой (нижней) треугольной, если a_ij = 0 .

Матрица A с элементами a_ij называется строго правой (строго верхней) треугольной, если и строго левой (строго нижней) треугольной, если a_ij=0 .

Квадратная матрица, в которой все элементы расположены симметрично главной диагонали, то есть a_ij= a_ji (i  j) называется симметричной матрицей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковые размеры и a_ij= b_ij  i и j. Равенство матриц A и B обозначается так A=B.

Линейные операции над матрицами

К линейным операциям над матрицами относятся: сложение, вычитание и умножение матриц на числа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Суммой матриц A и B размером mn называется матрица С того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов a_ij и b_ij матриц A и B, то есть C=A+B или

.

Операции сложения матриц коммутативные и ассоциативные, то есть

а) ,б) ,

в) , г)- нулевая матрица).

Разностью двух матриц A и B одного и того же размера называется матрица C того же размера, элементы которой равны разности соответствующих элементов a_ij и b_ij матриц A и B, то есть = a_ij - b_ij или

С=

ПРИМЕР. Найти A B, где

.

Имеем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Произведением матрицы A размером mn на число называется матрица, элементы которой получаются умножением всех элементов матрицы A на число . Эта операция обозначается

C= ·A=.

Произведение матрицы A на число  подчиняется следующим законам:

а) б) в) , в)..

ПРИМЕР. Найти 2· , где A=.

Имеем

2 · .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Произведением матрицы A размером mn и матрицы B размером пp называется матрица C размером m p, если

.

Из определения следует, что операция умножения матриц имеет место тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. При этом элемент матрицы С вычисляется по следующему правилу: чтобы получить элемент матрицы , стоящей в i-й строке и j-ом столбце, нужно элементы i-й строки первой матрицы A умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй B и полученные произведения сложить.

ПРИМЕР. Найти A · B, где A=, B=.

Имеем

A·B=·=

Если операция произведения матриц выполнима, то она подчиняется следующим условиям:

а) ;б) ;

в) ;г) .

Следует отметить, что операция произведения двух матриц не обладает свойством переместительности, то есть AB  BA .

Выражение вида Aⁿ= называется n-й степенью матрицы А. Если A-квадратная матрица, а n - целое положительное число, то Aⁿ= A ·A ·A ·... ·A.