Теорема о ранге матрицы . Базисный минор

Рассмотрим n матриц-столбцов (строк)

и их сумму

,

которая называется линейной комбинацией матриц-столбцов, а числа -коэффициентами этой комбинации.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Матрицы-столбцыназываютсялинейно-зависимыми, если существуют действительные числа такие, что

=0 , (1)

причем

ПРИМЕР 1. Матрицы столбцы

линейно зависимы, так как

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Матрицы-столбцыназываютсялинейно-независимыми, если существуют действительные числа такие, что

0 , (6)

причем

ПРИМЕР 2. Матрицы столбцы

.

Т е о р е м а. Если ранг матрицы A равен r, то :

а) она имеет r независимых столбцов и r независимых строк, которые называются базисными;

б) любой столбец (строка) этой матрицы выражается в виде линейной комбинации базисных столбцов (строк).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана матрица

ранг которой равен r . Следовательно у матрицы A существует хотя бы один минор порядка r отличный от нуля, который будем называть базисным, а столбцы и строки, из которых он составлен - базисными столбцами и строками матрицы. Введем обозначение для столбцов матрицы A:

.

Предположим для определенности, что базисный минор матрицы A расположен в левом верхнем углу и обозначим его через

.

Тогда базисными столбцами будут . Далее предположим, что эти столбцы линейно зависимы, то есть существуют числане все равные нулю, такие что:

=0 ,

или

Пусть. Умножим первый столбец минорана и прибавим к нему остальные столбцы, умноженные соответственно на ₂ ,₃ ,...,_n:

Последнее равенство невозможно, так как Значит предположение о линейной зависимости базисных столбцов неверно. Следовательно, они линейно независимы.

Построим теперь определитель (r+1)-го порядка приписав справа к базисному минору любой столбец матрицыA, а снизу любую строку этой матрицы:

Если илиi, то имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, поэтому . Еслиk  r и i  r, то - минор порядка(r+1) матрицы A и он равен нулю (ранг матрицы A равен r). Следовательно, во всех случаях . Разложим этот определитель по элементам последней строки:

.

Алгебраические дополнения не зависят от того, какая i-я строка приписана вснизу, так как алгебраические дополнения получаются вычеркиванием этой строки. Обозначим эти алгебраические дополнения соответственно символами₁, ₂, ..., _r, _k. Беря в качестве i-й строки первую, затем вторую и т.д. строки матрицы A, получим из последнего равенства:

или

где столбцы матрицыA. Так как, то, введя обозначенияполучим окончательното есть любой столбец матрицыA есть линейная комбинация базисных столбцов, что и требовалось доказать.

ПРИМЕР. Выяснить, является ли система векторов илинейно зависимой или линейно независимой.

Запишем матрицу A, столбцами которой являются векторы и

Далее вычислим ранг этой матрицы. Имеем ,Следовательно,rankA=2. По теореме о базисном миноре исходная система векторов илинейно зависима. Так как минор второго порядка отличен от нуля, то он может быть принят за базисный минором, а векторыиобразуют базис исходной системы векторов.

27