книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА |
3 0 1 |
|
4021*. Если в каком-либо процессе одно вещество превраща ется в другое, причем скорость образования продукта пропор циональна наличному количеству превращающегося вещества, то такое явление называют процессом (или реакцией) первого порядка.
Некоторое вещество, начальное количество которого то, превращается в другое вещество, а из образовавшегося продукта немедленно начинает получаться второй продукт. Оба превра щения происходят как процессы первого порядка; коэффициен ты пропорциональности известны: k\ - в первом процессе и &2 - во втором.
Какое количество второго продукта образуется через t еди ниц времени после начала процесса?
4022. В резервуаре, объем которого 100 л, находится рассол, содержащий 10 кг растворенной соли. В резервуар втекает вода со скоростью 3 л/мин, а смесь 0 такой же скоростью перекачи вается во второй резервуар емкостью также 100 л, первоначаль но наполненный чистой водой, из которого избыток жидкости выливается. Сколько соли будет содержать второй резервуар по прошествии часа? Каково максимальное количество соли во втором резервуаре? Когда это максимальное количество дости гается? (Концентрация соли в каждом из резервуаров поддер живается равномерной посредством перемешивания.)
4023. Напряжение и сопротивление цепи равномерно меня ются в течение минуты соответственно от нуля до 120 В и от нуля до 120 Ом (см. задачи 3977-3978). Индуктивность цепи постоянна (1 Гн). Начальный ток Iо- Найти зависимость между током и временем в течение первой минуты опыта.
4024*. В узкой горизонтальной цилиндрической трубке АВ, герметически закрытой, заключен газ. Трубка равномерно вра
щается вокруг вертикальной оси 00\ |
|
(рис. 56), проходящей через один из ее |
|
концов с угловой скоростью со. Длина |
|
трубки I см, поперечное сечение 5 см2, |
|
масса заключенного в ней газа М г, |
в |
давление в покоящейся трубке (по |
|
стоянное вдоль всей трубки) ро. Найти |
|
распределение давления вдоль трубки |
|
при ее вращении, т. е. выразить р как |
|
функцию от х. |
|
3 0 2 |
ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
Другие примеры уравнений первого порядка
В задачах 4025-4037 найти общие решения уравнений, при водя их с помощью замены переменных к уравнениям линей ным или однородным:
4025. у 2ж-у+4
4027. (х + у +1 )dx
4028. , = М*±21_
(*+У-1)2
4030.
2 (xi/2-x 2)
4026. у' = |
х-2у+1 |
. |
я |
|
= (2х + 2у - l)dy.
4029- у ' - щ к ) -
4031. (l - x y + x2y2)dx = x2dy.
4032. |
(х2у2 -l)y ' + 2xys = 0. |
|
|
|
|
4033. yy' + x = |
j • |
4034. xy' +1 = ey. |
|||
4035. |
(x2 + у2+1jdy + xydx = 0. |
|
|
||
4036. |
xdx + ydy + x(xdy ~ydx)= 0. |
|
|||
4037. |
(x2 + y2 + y)dx = xdy. |
|
|
|
|
В задачах 4038-4047 решить уравнения Бернулли: |
|||||
4038. |
у' + 2ху = 2 * У . |
4039. |
у' + |
+ уг = 0. |
|
4040. |
уп~1(ау' + у) = х. |
4041. |
xdx = { £ - y a)dy. |
||
4042. |
ху' + у = у2In х . |
4043. |
у '- y t g x + y2 cosx = 0. |
||
4044. |
у’ + ^ - = -Щ ~. |
4045. |
хр' - 4у - x2^y = 0. |
||
4046. |
y d y - ^ - d x = ^ . |
|
|
|
|
|
X й |
Xй |
|
|
|
4047. |
у = |
> где <р(х) - заданная функция. |
|||
4048. Найти линию, у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной в произвольной точке:
1)пропорционален квадрату ординаты точки касания,
2)пропорционален кубу ординаты точки касания.
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА |
3 0 3 |
|
4049. Найти линии, заданные уравнениями вида р = / (ф), для которых площадь секторов, ограниченных линией и поляр ным радиусом постоянной точки (р0 , ф0) и текущей точки (р, ф) линии, пропорциональна произведению полярных коор динат р и ф этой текущей точки. Коэффициент пропорцио нальности равен k.
Уравнения в полных дифференциалах
В задачах 4050-4057 найти общие решения уравнений:
4050. (2*3 - xy2)dx + (2у3 - x2y)dy = 0.
4051- T v |
= (T V |
_1) d x - |
4052- еЧ х+(*** - |
= °- |
||||||
4053. |
yxi-'dx + x»\nxdy = 0. |
4054. |
|
|
= S ^ ^ L . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X* |
4055. |
y ^ ^ i M |
dx + - f — dy + slnydy = 0. |
|
|||||||
|
cos |
\xy) |
|
cos |
\xy) |
|
|
|
|
|
4056. |
^1 + x^x2 + y2j dx + |
1 + X2+ y2j y d y -0 . |
|
|||||||
4057. |
f - s i n - — ^■cos- + llrfa:+f “ cos“ |
_JT sin“ + -V l dy = 0- |
||||||||
|
{V |
У х 2 |
* |
J |
|
\^X |
X |
y2 |
У |
J,2 J |
|
Интегрирующий |
множитель |
|
|||||||
В задачах |
4058-4062 |
найти |
интегрирующий |
множитель |
||||||
и общие решения уравнений: |
|
|
|
|
|
|
||||
4058. |
(х2 + y )d x -x d y = 0. |
4059*. у (l + xy)dx - xdy = 0. |
||||||||
4060. |
(х2+ у2 + 2x)dx + 2ydy = 0. |
|
|
|
|
|||||
4061. |
jd x + (у3 - In x)dy = 0. |
|
|
|
|
|
||||
4062. |
(* cos у - у sin y)dy + (x sin у + у cos y)dx = 0. |
|
||||||||
4063. |
Убедиться, что интегрирующим множителем линейно |
|||||||||
го уравнения ^ |
+ Р{х)у = Q(x) служит функция elP^ dx. |
|||||||||
4064. |
Найти интегрирующий множитель уравнения Бернул |
|||||||||
ли y' + P (x )y = ynQ(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 0 4 ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4065. Найти условия, при которых уравнение
Х(х, y)dx + Y (a:, y)dy = О
допускает интегрирующий множитель вида М = F(x + у).
4066. Найти условия, при которых уравнение
Х(х> y)dx + У (х, y)dy = О
допускает интегрирующий множитель вида М = F (дсу).
Разные задачи
В задачах 4067-4088 найти общие решения уравнений:
4067. |
у' = ах + by + с. |
4068. |
ау' + Ъу + сут= 0. |
||
4069. |
у' = г а с ! . |
4070. |
у' = i d t f p l |
||
|
9 |
у-х-А |
|
и |
у2 |
4071. |
у' = |
. |
4072. |
у'(у2 - |
х) = у . |
|
|
(х+у) |
|
' |
' |
4073. ^ + M ^ d y = 0.
УУ
4074. (2у + xyz)dx + (х + x2y2)dy = 0.
4075. |
Г2xi/ + а:2у + -^1 da: + (a:2 + y2)dz/ = 0. |
|||
4076. |
|
x(y+l)-x2 |
|
|
|
|
|
|
|
4077. |
x dy + у dx + y2(xdy - у dx) = 0. |
|||
4078. |jL- |
|
|
|
|
4079. |
z/' = x-Jy + |
. |
4080. у sin a: + y' cos a: = 1. |
|
4081. y' - y |
+ y2 cosx = 0. |
4082. y' = Pjxsinyng2 x |
||
4083. |
*z/'cos^ = z/cos~^~x - |
|
||
4084. |
(a:cos|- + у s in -) у dx + (* cos ^ -y s in ^ jx d y = 0. |
|||
4085. |
y' = |
- 1g y. |
4086. |
у - у' cos x = y2cos a:(l - sin x ). |
|
|
|
2 + 2 |
|
4087. 2yy' = e * + —f — 2x.
|
§ 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) |
3 05 |
|
|
|
4088. |
+ j(te + e » ( l - i ) d y = 0. |
|
4089. |
Найти линию, у которой поднормаль в любой точке |
|
так относится к сумме абсциссы и ординаты, как ордината этой точки к ее абсциссе.
4090. Найти линию, обладающую тем свойством, что отре зок касательной в любой ее точке, заключенный между осью Ох и прямой у = ах+ Ь, делится точкой касания пополам.
4091. Найти линию, для которой отношение расстояния от нормали в любой ее точке до начала координат к расстоянию от той же нормали до точки (а, b) равно постоянной k.
4092. Найти линию, для которой расстояние от начала ко ординат до касательной в произвольной ее точке равно расстоя нию от начала координат до нормали в той же точке.
4093*. Найти линию, обладающую следующим свойством: ордината любой ее точки есть средняя пропорциональная между абсциссой и суммой абсциссы и поднормали, проведенной к линии в той же точке.
4094. В электрическую цепь с сопротивлением R = ^ Ом в
течение двух минут равномерно вводится напряжение (от нуля до 120 В). Кроме того, автоматически вводится индуктивность, так что число, выражающее индуктивность цепи в генри, равно числу, выражающему ток в амперах. Найти зависимость тока от времени в течение первых двух минут опыта.
§ 2. Уравнения первого порядка (продолжение)
Поле направлений. Изоклины
4095. Дано дифференциальное уравнение у' = - ^ . а) По
строить поле направлений, устанавливаемое данным уравнени ем. б) Выяснить расположение вектора поля относительно по лярного радиуса любой точки поля, в) Выяснить вид интеграль ных кривых уравнения, исходя из поля направлений, г) Найти интегральные кривые, решая данное уравнение обычным мето дом (разделяя переменные), д) Указать семейство изоклин дан ного уравнения.
3 0 6 |
ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|
|
4096. Написать дифференциальное уравнение, изоклинами |
которого служат: 1) равнобочные гиперболы ху = а; 2) парабо лы у2 =2рх; 3) окружности х 2 + у2 = R2.
4097. Найти изоклины дифференциального уравнения се мейства парабол у = ах2. Сделать чертеж. Истолковать резуль
тат геометрически.
4098. Убедиться, что изоклинами однородного уравнения (и только однородного уравнения) служат прямые, проходящие через начало координат.
4099. Указать линейные уравнения, изоклинами которых являются прямые.
4100. Пусть ух, у2, уз - ординаты трех любых изоклин неко торого линейного уравнения, соответствующие одной абсциссе.
Убедиться, что отношение “ ~ сохраняет одно и то же значе
ние, какова бы ни была эта абсцисса.
Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений
4101. Дано уравнение у =X +V* Построить приближенно
интегральную |
кривую, |
соответствующую |
отрезку 1 < х < 5, |
||
проходящую через точку М(1, l). |
|
|
|
||
4102. Дано уравнение у' = - |
Построить |
приближенно |
|||
|
|
х+у |
|
|
|
интегральную |
кривую, |
соответствующую |
отрезку |
0,5 < х < 3,5 |
|
проходящую через точку (0,5; 0,5). |
|
|
|
||
4103. |
Дано уравнение у' = ухг + х2. Применяя способ Эйле |
||||
ра, вычислить у при х = 1, если у - частное решение, удовле
творяющее начальному условию y\x_Q- 0. Вычислить у с двумя
десятичными знаками.
4104. Дано уравнение у' = 4х •у2+1. Применяя способ Эй
лера, вычислить у при х = 2, если у - частное решение, удов
летворяющее начальному условию |
0. Вычислить у с |
двумя десятичными знаками.
|
§ 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) |
3 0 7 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
4105. |
Дано: |
уравнение |
у' = |
и |
начальное |
условие |
у|х=0=1. |
Решить это уравнение точно и найти значение у при |
|||||
х = 0,9. |
Далее, найти это значение при помощи приближенного |
|||||
метода, разбивая отрезок [0; 0,9] на 9 частей. Указать относи |
||||||
тельную погрешность последнего результата. |
|
|
||||
4106. |
Дано: |
уравнение |
у' = — |
— и |
начальное |
условие |
|
|
|
ха+у+1 |
|
|
|
у|ж=1= 0. |
Решить уравнение точно и, пользуясь каким-либо из |
|||||
приближенных методов интегрирования уравнений, вычислить |
||||||
значение |
х при |
у = 1 (сравнить со |
значением х, получаемым |
|||
при точном решении). |
|
|
|
|
||
4107. |
у' = у2 + ху + х2. Найти по методу последовательных |
|||||
приближений второе приближение для решения, удовлетво |
||||||
ряющего начальному условию у|л=0= 1. |
|
|
||||
4108. |
у' = ху3 - 1 . Найти при х = 1 значение того решения |
|||||
данного уравнения, которое удовлетворяет начальному условию |
||||||
у\х_0= 0 . |
Ограничиться третьим приближением по методу по |
|||||
следовательных приближений. Вычисления вести с двумя деся тичными знаками.
В задачах 4109-4116 найти несколько первых членов раз ложения в степенной ряд решений уравнений при указанных
начальных условиях: |
|
|
4109. |
у' = у3 - х ; |
г/|1=0=1- |
4110. |
у' = х2у2 - 1 ; |
у|,=0=1- |
4111. |
у' = х2 - у 2; |
у|1=0= 0. |
4112. |
у' = ^ + 1; |
И*-о = 1- |
4113‘ |
У'-Т^Гу' « L o - ° - |
|
4114. |
у' = еу +ху\ |
J/|x=0= 0 • |
4115. |
у' = sin у - sin х ; г/|х=0= 0(. |
|
4116. |
у' = 1 + х + х2 - 2 у 2; y\x=l = 1. |
|
3 0 8 |
ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
Особые решения. Уравнения Клеро и Лагранжа
В задачах 4117-4130 найти общие и особые решения урав нений Клеро и уравнений Лагранжа:
4117. у = ху' + у'2. |
4118. у = ху' —3у'2. |
В задачах 4131-4133 найти особые решения уравнений, применяя тот же прием, какой используется в случае, уравне ний Лагранжа и Клеро:
4131. у'2 -у у ' + ех = 0.
4132. х2у'2 - 2 (ху - 2)у' + у2 = 0.
4134. Доказать теорему: если линейное дифференциальное уравнение является уравнением Клеро, то семейство его инте гральных кривых представляет собой пучок прямых.
4135. Площадь треугольника, образованного касательной к искомой линии и осями координат, есть величина постоянная. Найти линию.
4136. Найти линию, касательные к которой отсекают на осях координат отрезки, сумма которых равна 2а.
4137. Найти линию, для которой произведение расстояний любой касательной до двух данных точек постоянно.
4138. Найти линию, для которой площадь прямоугольника, имеющего сторонами касательную и нормаль в любой точке, равна площади прямоугольника со сторонами, равными по дли не абсциссе и ординате этой точки.
4139. Найти линию, для которой сумма нормали и поднор мали пропорциональна абсциссе.
§ 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) |
3 0 9 |
4140*. Найти линию, для которой отрезок нормали, заклю ченный между координатными осями, имеет постоянную длину а.
4141. Скорость материальной точки в произвольный момент времени отличается от средней скорости (от начала движения до этого момента) на величину, пропорциональную кинетической энергии точки и обратно пропорциональную времени, считая от начала движения. Найти зависимость пути от времени.
Ортогональные и изогональные траектории
иэвольвенты
Взадачах 4142-4147 найти траектории, ортогональные данным:
4142. Эллипсам, имеющим общую большую ось, равную 2а.
4143. Параболам у2 = 4 (х - а).
4144. Окружностям х2+ у2 = 2ах.
4145. Циссоидам (2а - х)у2 = х3.
4146. Равным параболам, касающимся данной прямой, при чем для каждой параболы точкой касания служит ее вершина.
4147. Кругам одного радиуса, центры которых лежат на данной прямой линии.
4148. Найти семейство траекторий, пересекающих под уг лом а = 60° линии х2 =2а (г/- хл/з).
4149. Найти изогональные траектории семейства парабол
у2 = 4ах; угол пересечения а = 45°.
4150*. Найти линии распространения звука по плоскости от неподвижного источника звука, лежащего в той же плоскости, если вдоль какого-либо направления дует ветер с постоянной скоростью а.
В задачах 4151-4154 найти эвольвенты линий:
4151. |
Окружности х2 + у2 = R2. |
|
4152. |
Цепной линии у - a ch-J. |
|
4153. |
Эвольвенты окружности |
|
|
х = a (cos t + t sin t), у = a (sin t - |
1 cos t). |
4154. |
Полукубической параболы у = 3f2 , |
x - - 2t3 . |
310 ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 3. Уравнения второго и высших порядков
Частные случаи уравнений второго порядка
В задачах 4155-4182 найти общие решения уравнений:
4155. |
у" = х + sin х . |
4156. |
у" = arctg х . |
4157. у" = In х . |
|||||||
4158. |
ху" = у' . |
4159. у" = у' + х. |
4160. |
у" = ^ + х . |
|||||||
4161. |
(l + * 2)y '+ (y ')2 + l = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||
4162. ху" = у' 1п£. |
|
4163. (y "f |
= у'. |
|
|
|
|||||
4164. |
2ху'у" = (у')2 +1. |
4165. |
у" - 2 ctg х •у' = sin3 х . |
||||||||
4166. |
|
1 + (у')2 = 2уу". |
|
4167. |
( y f + 2уу" = 0. |
|
|||||
4168. |
|
а2у " - у = 0. |
|
|
4169. у" = |
|
|
|
|
||
4170. y" + - ^ ( y 'f |
= 0 . |
4171. yy" + (y 'f |
= 1 . |
|
|||||||
4172. |
|
уу" = (y’f . |
|
|
4173. |
2уу' - 3 ( y f |
= 4у2. |
||||
4174. |
|
у (1 - Inу )у ' + (1 + Inу)(у')2 = 0. |
|
|
|
|
|||||
4175. |
|
у" = 2уу'. |
|
|
4176. |
cosy ^jj- + siny (||-)2 = |
|||||
4177. |
|
уу' - (у')2 = уV- |
4178. |
уу" - уу' Inу = (y’f . |
|
||||||
4179. |
|
y ' = y ( £ - 2l/ j P |
) . |
|
|
|
|
|
|
||
4180. |
|
(х + а)у"+х (у')2 = у'. |
4181*. уу'у" = (у')8 + (y " f . |
||||||||
4182. |
|
* y " - l ( j," ) 2 - j , ' |
= o. |
|
|
|
|
|
|
||
В задачах 4183-4188 решить уравнения при помощи подхо |
|||||||||||
дящей подстановки уу' = р, |
(у')2 = р, |
ху' - р, |
~ |
= р |
и т. п.: |
||||||
4183. |
хуу* + х(у')? = 3уу. |
|
4184. |
ху" = у'[еу - |
l j . |
||||||
4185. |
уу" + (у')2 = х . |
|
|
4186. |
у" + ± у ' |
= 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
дг |
|