книги / Сборник задач по курсу математического анализа

2668. Скорость тела задается формулой v = VT+7 м/с. Най­ ти путь, пройденный телом за первые 10 с после начала движе­ ния.

2669. При гармоническом колебательном движении по оси

абсцисс около начала координат скорость дается формулой

£= f c o s ( ^ + „ 0)

(t - время, Т - период колебания, ф0 - начальная фаза). Найти положение точки в момент времени ^2» если известно, что в момент ti она находилась в точке х = хх.

Сила взаимодействия двух точечных масс определяется по формуле f = k , где m и М - массы точек, г - расстояние

между ними, a k - коэффициент, пропорциональности, равный 6,67 10-11м3/кг*с2 (закон Ньютона). Учитывая это, решить задачи 2670-2678. (Предполагается, что плотность постоянна.)

2670. Стержень АВ, длина которого I, масса М, притягивает точку С массы т , которая лежит на его продолжении на рас­ стоянии а от ближайшего конца В стержня. Найти силу взаи­ модействия стержня и точки. Какую точечную массу нужно поместить в А, для того чтобы она действовала на С с той же силой, что и стержень АВ? Какую работу совершит сила при­ тяжения, когда точка, отстоящая от стержня на расстоянии rj, приблизится к нему на расстояние Г£, двигаясь вдоль прямой, составляющей продолжение стержня?

2671. С какой силой полукольцо радиуса г и массы М дей­ ствует на материальную точку массы тп, находящуюся в его центре?

2672. С какой силой проволочное кольцо массы М, радиуса R действует на материальную точку С массы т , лежащую на прямой, проходящей через центр кольца перпендикулярно к его плоскости? Расстояние от точки до центра кольца равно а. Ка­ кую работу совершит сила притяжения при перемещении точки из бесконечности в центр кольца?

2673. Используя результат предыдущей задачи, вычислить,

скакой силой плоский диск, радиус которого равен R, масса М, действует на материальную точку массы т, которая лежит на его оси на расстоянии а от центра.

2674. Используя результат предыдущей задачи, вычислить,

скакой силой действует на материальную точку массы т бес­ конечная плоскость, на которой равномерно распределена масса

споверхностной плотностью ст. Расстояние от точки до плоско­

сти равно а.

2675*. Радиусы оснований усеченного прямого круглого ко­ нуса равны Л и г , высота Л, плотность у. С какой силой действу­ ет он на материальную точку массы тп, помещенную в его вер­ шине?

2676. С какой силой материальная ломаная у =| х |+1 при­

тягивает материальную точку массы т, находящуюся в начале координат? (Линейная плотность равна у.)

2677. Доказать, что материальная ломаная у - а \х |+1

(а > О) притягивает материальную точку, находящуюся в нача­

ле координат, с одной и той же силой независимо от а, т. е. независимо от величины угла между сторонами ломаной.

2678*. Два одинаковых стержня (длиной I и массы М каж­ дый) лежат на одной прямой на расстоянии I один от другого. Подсчитать силу их взаимного притяжения.

2679. Капля с начальной массой М падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу, равную т. Какова работа силы тяжести за время от на­ чала движения до полного испарения капли? (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)

2680. Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме усеченного конуса высоты if, имеющего радиусы

оснований R и г (г < R) ? Плотность равна d (песок поднимают с

поверхности земли, на которой покоится большее основание конуса).

2681. Размеры пирамиды Хеопса приблизительно таковы:

ке на преодоление силы тяжести.

§ 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ФИЗИКИ

1 8 3

2682. Вычислить работу, которую необходимо затратить, для того чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрический резервуар высотой Н —5 м, имеющий в основании круг радиу­ са R = 3 м.

2683. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость плотности d из резервуара, имеющего фор­ му обращенного вершиной вниз конуса, высота которого равна Я , а радиус основания R. Как изменится результат, если конус будет обращен вершиной кверху?

2684. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду, наполняющую полусферический резерву­ ар радиуса R = 0,6 м.

2685. Котел имеет форму параболоида вращения (рис. 37). Радиус основания R = 2 м, глубина котла Н = 4 м. Он напол­ нен жидкостью, плотность которой d = 800 кг/м3. Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.

2686. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы выка­ чать воду из цистерны, которая имеет следующие размеры (рис. 38): а = 0,75 м, b = 1,2 м, Я = 1 м. Боковая поверхность цистерны - параболический цилиндр.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг непод­ вижной оси, равна -^-t/co2, где со - угловая скорость, a J —мо­

мент инерции относительно оси вращения. Зная это, решить задачи 2687-2692.

2687. Стержень АВ (рис. 39) вращается в горизонтальной пло­ скости вокруг оси 0 0 ' с угловой скоростью со —Юл рад/с. По­ перечное сечение стержня 5 = 4 см2 , длина его I - 20 см, плот-

ность материала, из которого он изготовлен, у = 7,8 •103 кг/м3.

равной 3п рад/с, вокруг стороны а. Найти кинетическую энер­ гию пластинки. Толщина пластинки d равна 0,3 см, плотность у

материала, из которого сделана пластинка, равна 8 103 кг/м3.

стоянной угловой скоростью to = 5я рад/с. Найти кинетическую энергию пластинки, если толщина ее d = 0,2 см, а плотность

материала, из которого она изготовлена, у = 2,2 •103 кг/м 3.

2690. Пластинка в форме параболического сегмента (рис. 40) вращается вокруг оси параболы с постоянной угловой скоро­ стью со = 4п рад/с. Основание сегмента а = 20 см, высота h = 30 см, толщина пластинки d = 0,3 см, плотность материала

у = 7,8 •103 кг/м 3. Найти кинетическую энергию пластинки.

2691. Круглый цилиндр, радиус основания которого равен Е, а высота Н> вращается вокруг своей оси с постоянной угло­ вой скоростью со. Плотность материала, из которого сделан цилиндр, равна у . Найти кинетическую энергию цилиндра.

2692. Тонкая проволока массы М согнута в виде полуок­ ружности радиуса R и вращается вокруг своей оси, проходящей через концы полуокружности, делая п оборотов в минуту. Вы­ числить ее кинетическую энергию. Вычислить кинетическую энергию, если осью вращения служит касательная в средней точке полуокружности.

2693. Пластинка в форме треугольника погружена верти­ кально в воду так, что ее основание лежит на поверхности во­ ды. Основание пластинки а, высота h.

а) Подсчитать силу давления воды на каждую из сторон пластинки.

б) Во сколько раз увеличится давление, если перевернуть пластинку так, что на поверхности окажется вершина, а осно­ вание будет параллельно поверхности воды?

2694. Квадратная пластинка погружена вертикально в воду так, что одна из вершин квадрата лежит на поверхности воды, а одна из диагоналей параллельна поверхности. Сторона квадрата равна а. С какой силой вода давит на каждую сторону плас­ тинки?

2695. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание ко­ торой а = 6,4 м, нижнее Ь - 4,2 м, а высота Н = 3 м.

2696. Пластинка, имеющая форму эллипса, наполовину погружена в жидкость (вертикально), так, что одна из осей (длиной 2Ь) лежит на поверхности. Как велика сила давления жидкости на каждую из сторон этой пластинки, если дли­ на погруженной полуоси эллипса равна а, а плотность жидко­ сти d?

2697. Прямоугольная пластинка со сторонами а и b (а>

погружена в жидкость под углом а к поверхности жидкости. Большая сторона параллельна поверхности и лежит на глубине h. Вычислить силу давления жидкости на каждую из сторон пластинки, если плотность жидкости d.

2698. Прямоугольный сосуд наполнен равными по объему частями воды и масла, причем масло вдвое легче воды. Пока­ зать, что давление на каждую стенку сосуда уменьшится на одну пятую, если вместо смеси будет взято одно масло. (Учесть, что все масло находится сверху.)

При решении задач 2699-2700 следует опираться на закон Архимеда: подъемная сила, действующая на погруженное в жидкость твердое тело, равна весу вытесненной им жидкости.

2699. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь

а) Какую работу нужно произвести, чтобы вытащить поплавок из воды? б) Вычислить, какую работу нужно затратить, чтобы поплавок погрузить в воду целиком.

186 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

2700. Шар радиуса R с плотностью 1 погружен в воду так, что он касается поверхности. Какую работу нужно затратить, чтобы извлечь шар из воды?

Задачи 2701-2706 связаны с явлением истечения жидкости из малого отверстия. Скорость истечения жидкости определяет­

ся по закону Торричелли: v = ^2gh , где h - высота столба жидкости над отверстием, g - ускорение силы тяжести*).

2701. В дне цилиндрического сосуда, площадь основания которого равна 100 см, а высота 30 см, имеется отверстие. Вы­ числить площадь этого отверстия, если известно, что вода, на­ полняющая сосуд, вытекает из него в течение 2 мин.

2702. Коническая воронка высотой Н = 20 см наполнена водой. Радиус верхнего отверстия R = 12 см. Нижнее отвер­ стие, через которое вода начинает вытекать из воронки, имеет радиус г = 0,3 см. а) В течение какого времени уровень воды в воронке понизится на 5 см? б) Когда воронка опорожнится?

2703. В дне котла, имеющего форму полушара радиуса R = 43 см, образовалась пробоина площадью S = 0,2 см2. Через сколько времени вода, наполняющая котел, вытечет из него?

2704. Котел имеет форму эллиптического цилиндра с гори­ зонтальной осью. Полуоси эллиптического сечения (перпенди­ кулярного к оси цилиндра) равны Ъ (горизонтальная) и а (вертикальная); образующая цилиндра равна L (рис. 41). Котел наполнен водой до половины. За какое время вода вытечет из котла через отверстие в его дне, имеющее площадь S?

2705. В вертикальной стенке призматического сосуда, напол­ ненного водой, проделана прямоугольная вертикальная щель, высота которой равна h, ширина Ь. Верхний край щели, парал­ лельный поверхности воды, расположен на расстоянии Н от поверхности. Какое количество воды вытечет из сосуда за 1 с, если считать, что уровень воды поддерживается все время на одной высоте? Рассмотреть случай Н = 0 (задача о водосливе).

*) В данной здесь форме закон Торричелли применим только к идеальной жидкости. Для этой идеальной жидкости и даны ответы к задачам.

(Практически пользуются формулой и= \i^2gh, где р - коэффициент, зави­

сящий от вязкости жидкости и характера отверстия, из которого происходит истечение. Для воды в простейшем случае р = 0,6.)

2706. Сосуд, наполненный до краев водой, имеет форму па­ раллелепипеда с площадью основания 100 см2. В боковой стенке его имеется узкая щель высотой 20 см и шириной 0,1 см (рис. 42). За какое время уровень воды в сосуде понизится на: а) 5 см; б) 10 см; в) 19 см; г) 20 см? (Воспользоваться результа­ том предыдущей задачи.)

Уравнение состояния идеального газа имеет вид pv = ВТ, где р - давление, v - объем, Т - абсолютная температура и R - постоянная для данной массы газа. Решить задачи 2707-2709, считая газы идеальными.

2707. В цилиндре, площадь основания которого 10 см2, а высота 30 см, заключен атмосферный воздух. Какую работу необходимо затратить, чтобы вдвинуть поршень на 20 см, т. е. вдвинуть его так, чтобы он остановился на расстоянии 10 см от дна цилиндра (рис. 43)? Атмосферное давление равно 105 Па. Процесс протекает изотермически, т. е. при постоянной темпе­ ратуре.

2708. В цилиндрическом сосуде, поперечное сечение которо­ го 100 см2, заключен воздух при атмосферном давлении. В со­ суде имеется поршень. Первоначальное расстояние его от дна сосуда равно 0,1 м. Цилиндр помещен в пустоту, благодаря че­ му воздух в нем расширяется, вы­

дится атмосферный воздух, который подвергается сжатию бы­ стрым вдвиганием поршня (считаем при этом, что процесс про­ текает без притока или отдачи тепла, т.е. адиабатически). Ка­ кую работу надо затратить, чтобы сжать воздух в сосуде до объема v = 0,03 м3? (Атмосферное давление равно 105 Па.) При

адиабатическом процессе давление и объем газа связаны соот­

ношением pvy = p0vl (уравнение Пуассона). Для двухатомных газов (а также для воздуха) у =* 1,40.

По закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорцио­ нальна разности между температурой тела и температурой ок­ ружающей среды. На основании этого закона решить задачи 2710-2711.

2710. Тело, температура которого 25°, погружено в термо­

стат (в котором поддерживается температура 0°). За какое вре­ мя тело охладится до 10°, если за 20 мин оно охлаждается до

20° ?

2711. Тело, температура которого 30°, за 30 мин пребыва­ ния в термостате, температура которого 0°, охладилось до 22,5°. Какова будет температура тела через 3 часа после начала

опыта?

По закону Кулона сила взаимодействия двух электрических

зарядов равна gl?2 . Н, где <7i и д2 ~ величины зарядов в ку-

4те0ег

лонах, г - расстояние между зарядами в метрах, электрическая постоянная s0 = 8,85-10~12 Ф /м ^4тсе0 = 1,1Ы О _10| и в - ди­

электрическая проницаемость среды относительно вакуума (для воздуха е * 1). На основании этого закона решить задачи 2712 - 2714.

2712. Бесконечная прямая равномерно заряжена положи­ тельным электричеством (линейная плотность электричества а ). С какой силой действует эта прямая на единичный заряд, находящийся в точке А на расстоянии а от нее? Диэлектриче­

Разделяющей их средой служит воздух. Сначала оба заряда закреплены неподвижно, затем заряд д2 освобождается. Тогда под действием силы отталкивания заряд д2 начнет перемещать­ ся, удаляясь от заряда gj. Какую работу совершит сила оттал­ кивания, когда заряд: а) удалится на расстояние 30 см; б) уда­ лится в бесконечность?

2714. Два электрических заряда: ql - 33,3 •10“9 Кл и д2 = 40 Ю ~9 Кл, находятся на расстоянии 20 см друг от друга.

Каково будет расстояние между зарядами, если мы приблизим

второй к первому, затратив при этом работу 18 105 Дж? (Разделяющей средой служит воздух.)

2715. Напряжение на клеммах электрической цепи V = 120 В. В цепь равномерно вводится сопротивление со ско­ ростью 0,1 Ом в секунду. Кроме того, в цепь включено постоян­ ное сопротивление г = 10 Ом. Сколько кулонов электричества пройдет через цепь в течение двух минут?

2716. Напряжение на клеммах электрической цепи, равное первоначально 120 В, равномерно падает, убывая на 0,01 В в секунду. Одновременно с этим в цепь вводится сопротивление тоже с постоянной скоростью, именно 0,1 Ом в секунду. Кроме того, в цепи имеется постоянное сопротивление, равное 12 Ом. Сколько кулонов электричества протечет через цепь за 3 мин?

2717. При изменении температуры сопротивление металли­ ческих проводников меняется (при обычных температурах) по

закону R = Д0(1 + 0,0040), где R0 - сопротивление при 0°С и

0 - температура по Цельсию. (Этот закон справедлив для большинства чистых металлов.) Проводник, сопротивление ко­

идет ток под напряжением в 120 В. Сколько кулонов электри­ чества протечет за это время через проводник?

2718. Закон изменения напряжения синусоидального тока,

a t - время. Найти среднее значение квадрата напряжения за 1 период. Показать, что при постоянном сопротивлении пере­ менный ток выделяет за 1 период столько же тепла, сколько

постоянный, имеющий напряжение, равное J(E 3)~ . (Ввиду

переменного тока.)

2719. Напряжение синусоидального тока дается формулой

Е = Е0sin (|г*), а ток - формулой I = I0sin (^ - - <р0), где Е0 и

IQ - постоянные величины (наибольшие значения напряжения и тока), Т —период, а ф0 - так называемая разность фаз. Вы­

числить работу тока за время от tx = 0 до t2 = Т и показать, что наибольшее значение эта работа будет иметь тогда, когда разность фаз ф0 равна нулю.

2720. Найти время, в течение которого 1 кг воды нагреется электроприбором от 20° С до 100° С, если напряжение тока 120 В, сопротивление спирали 14,4 Ом, температура воздуха в комнате 20° С и если известно, что 1 кг воды остывает от 40° С

противление в омах и t - время в секундах; удельная теплоем­

кость воды 4190 Кроме того, воспользоваться законом

Ньютона об охлаждении; см. задачу 2710.)

2721. Воздух, наполняющий сосуд вместимостью 3 л, со­ держит 20% кислорода. Сосуд имеет две трубки. Через одну из них в сосуд начинают впускать чистый кислород, через другую вытекает наружу столько же воздуха, сколько притекает в сосуд кислорода. Какое количество будет содержаться в сосуде, после того как через него протечет 10 л газа?

2722. Воздух содержит а% (= 8% ) С02; он пропускается че­ рез цилиндрический сосуд с поглотительной массой. Тонкий слой массы поглощает количество газа, пропорциональное его концентрации и толщине слоя.

а) Если воздух, прошедший слой в Я см (= 10 см) толщи­ ной, содержит Ъ% (=2% ) С02, то какой толщины Н\ должен

быть поглотительный слой, для того чтобы, выходя из поглоти­ теля, воздух содержал только с% (= 1%) углекислоты?

б) Сколько углекислоты (в % ) останется в воздухе, прошед­ шем поглотитель, если толщина поглотительного слоя будет равна 30 см?