книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf§ 3. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА |
241 |
В задачах 3389-3392 составить уравнения касательной пря мой, нормальной плоскости, бинормали, соприкасающейся плоскости, главной нормали и спрямляющей плоскости к дан
ным линиям в указанных точках. |
|
||
3389. |
x = t2 у у - 1 - t у |
г = *3 в точке ( l , 0, l). |
|
3390. |
х2 + у2 + z2 = 3, |
х2 + у2 = 2 в точке |
(l, 1, l). |
3391. |
г {sin*, cos*, tg*} в точке |
|
|
3392. |
г j*3 - 12 - 5, 3t2 + 1, 2t3 —1б} в точке, |
соответствующей |
|
значению параметра * = 2. |
|
|
|
3393. |
Показать, что линия г {2*+ 3, 3* -1, *2} имеет во всех |
||
точках одну и ту же соприкасающуюся плоскость. Объяснить этот факт геометрически.
3394. Доказать, что линия
г joj*2 + + clta2t2 + b2t + c2, c^t2+ &3* + c3}
плоская, и составить уравнение той плоскости, в которой она расположена.
3395. Найти радиус кручения линии г {cos*, sin*, ch*}. 3396. Найти радиус кривизны линии г jin cos*, Insin t, V2*},
0 < * < - j. Показать, что кручение в любой ее точке равно кри визне в этой точке.
3397. Показать, что для линии r|e*cos*, e*sin*, e*J (см.
задачу 3388) отношение кривизны к кручению остается посто янным для всех точек кривой.
3398. Как выразится кривизна пространственной линии, за данной уравнениями у = ср (я), 2 - у (*)?
3399. Выразить векторы тх, у1э рх через производные ради ус-вектора точки на кривой г = г (*).
3400. Выразить каждый из векторов т1э Vx, Рх через два других.
3401. Найти вектор co(s) (вектор Дарбу), удовлетворяющий
<*т, |
dv, |
dB, |
0 |
условиям -5^ = (0ХТ1; -^- = (йху1; |
-^|- = шхр1. |
||
2 4 2 |
ГЛ. Х|- ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
Длина дуги пространственной линии
В задачах 3402-3409 найти длину дуги линий. 3402. г |2*, In t, *2J от t = 1 до t = 10.
3403. г {a cost, a sin /, a In c o s/} от точки (a, 0, О) до точки
( ¥ ■ • * £ • - i h,a)-
3404. |
rje* cos*, e* sint, |
от точки (l, 0, l) до точки, соот |
|||||
ветствующей параметру t. |
|
|
|
|
|
||
3405. |
х 2 = 3у, |
2ху = 9z |
от |
точки |
(0 ,0 ,0 ) |
до |
точки |
(3, 2, 2). |
|
|
|
|
|
|
|
3406. |
z2 = 2 a x , |
9z/2 = 16хг от |
точки |
(0, 0, 0) |
до |
точки |
|
( 2 a ,f ,2 a ) .
3407. 4ах = (у + г)2 , 4х2 + 3у2 = 3z2 от начала координат до точки (х, у уz).
3408. |
у = ^ 2 а х - х 2 , |
z = a In - 2 |
от |
начала координат до |
точки (х, у , г). |
|
|
|
|
3409. |
у = a arcsin , |
z = ja ln ^ ^ - |
от |
начала координат до |
точки
Поверхности
В задачах 3410-3419 для данных поверхностей найти урав нения касательных плоскостей и нормалей в указанных точках.
3410. |
z = 2х2 - 4 у2 в точке (2 ,1 , 4). |
||
3411. |
г - х у в точке |
(l, 1, l). |
|
3412. |
z _ X—Заху+у |
в точке |
а _ |
3413. |
z = ^х2+ у2 - х у в точке |
(3, 4, - 7 ) . |
|
3414. |
z = arctg^ в точке ^1,1, jJ . |
||
|
|
|
§ 3. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА |
243 |
|||||||||||
3415. |
4 |
|
+ 4 + 4 = 1 в точке f i # , ■ # . # |
3 |
1 |
|
|||||||||
|
а2 |
|
Ь2 |
|
с2 |
|
|
{ 3 ’ |
3 |
* |
|
J |
|
||
3416. |
х3 + у3 + 2 3 + xyz - 6 = 0 |
в точке |
( l,2 ,- 1 ) . |
|
|||||||||||
3417. |
Зх4 - 4y3z + 4z2xy - 4г3х + 1 = 0 |
в точке (l, 1, l). |
|
||||||||||||
3418. |
(г2 - |
x2)xyz - у 5 =5 |
в точке (l, 1, 2). |
|
|
||||||||||
3419. |
4 + т]х2 + у2 + Z2 = x + y + z в точке |
(2, 3, б). |
|
||||||||||||
3420. |
Показать, что уравнение касательной плоскости к эл- |
||||||||||||||
липсоиду |
|
„2 |
у2 |
2 |
|
любой его |
точке |
. |
. |
||||||
— + -^Г+ — = 1 в |
M0\xQty0,z 0) |
||||||||||||||
имеет вид * £ + ^ |
о |
+ ^ |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
а2 |
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3421. К эллипсоиду |
х2 + 2у2 + z2 = 1 |
провести касательную |
|||||||||||||
плоскость, параллельную плоскости x - y + 2z = 0. |
|
||||||||||||||
3422. |
К |
|
эллипсоиду |
2 |
„2 |
2 |
провести касательную |
||||||||
|
-^ + ~ + -^ = 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а£ |
b6 |
с* |
|
|
|
|
|
|
плоскость, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.
3423. Показать, |
что поверхности д + 2 |
у - Inz + 4 = 0 и |
х2 - ху - 8* + z + 5 = 0 |
касаются друг друга (т. |
е. имеют общую |
касательную плоскость) в точке (2, - 3 , l).
3424. Доказать, что все плоскости, касательные к поверхно сти z = xf ), пересекаются в одной точке.
3425. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к шару г ji/cost>, usinv, т]а2 - м2| в точке г0(д:0, у0, 20}.
3426. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к гиперболическому параболоиду г (а(и + и), b(ii - и), пи} в про
извольной точке (*0 , уо . z0).
3427. Доказать, что поверхности х2+ у2+ г2 = ах и х2 + у2 + z2 = by ортогональны друг к другу.
3428. Показать, что касательная плоскость к поверхности xyz - а3 в любой ее точке образует с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема. Найти этот объем.
244 |
ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
|
||||
3429. Показать, что касательные плоскости к поверхности |
||||||
Л + Л + Л = Л |
отсекают |
на |
координатных осях отрезки, |
|||
сумма которых равна а. |
z - |
ху написать уравнение |
|
|||
3430. |
Для поверхности |
каса |
||||
тельной |
плоскости, |
перпендикулярной к |
прямой |
= |
||
= 2=1. |
|
|
|
|
|
|
-1 ' |
|
|
|
|
|
|
3431. Показать, что для поверхности |
х2 + у2 + г2 = у |
длина |
||||
отрезка нормали между поверхностью и плоскостью хОу равна расстоянию от начала координат до следа нормали на этой плоскости.
3432. Доказать, что нормаль к поверхности эллипсоида
вращения |
+ -|g = 1 в любой его точке Р (х , у, z) образует |
|||
равные |
углы |
с прямыми РА и РВ, |
если А (0, - 4, 0) и |
|
В (0 ,4 ,0 ) . |
|
|
|
|
3433. Доказать, что все нормали к |
поверхности вращения |
|||
z = f ^ l x 2+ у2j пересекают ось вращения. |
|
|||
3434. К поверхности х2 - у2 - Ъг = 0 |
провести касательную |
|||
плоскость, проходящую через точку A ( 0 , 0 , - l ) , |
параллельно |
|||
прямой f |
= f |
= f . |
|
|
3435. На поверхности х2 + у2 + z2 - 6у + 4z = 12 |
найти точ |
|||
ки, в которых касательные плоскости параллельны координат ным плоскостям.
3436. Составить уравнение касательной плоскости к поверх ности х = u + v, у = и2 +v2, г = и3 + и3 в произвольной точке. Выразить коэффициенты этого уравнения:
а) через значения параметров UQ и
б) через координаты *о, уо, z0 точки касания.
3437. Найти геометрическое место оснований перпендику ляров, опущенных из начала координат на касательные плоско
сти к параболоиду вращения 2pz = х2 + у2 .
3438. Найти геометрическое место оснований перпендику ляров, опущенных из начала координат на касательные плоско
сти к поверхности хуг = а3 .
§ 4 . СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ |
2 4 5 |
|
§4. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению
|
|
|
Г радиент |
3439. |
1) |
ф (я, у) = я2 - 2ху + Зу - 1. Найти проекции гради |
|
ента в точке |
(1,2). |
||
2) |
|
и = Ьх2у - Зд:у9+ у4. Найти проекции градиента в произ |
|
вольной точке. |
|||
3440. 1) z - х2+ у2. Найти grad г в точке (3, 2). |
|||
2) |
г = tji + х2 + у2. Найти grad z в точке (2, l). |
||
3) |
z - |
arctg-р Найти grad г .в точке (я 0 , г/0) . |
|
3441. |
1) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности |
||
г= In (я2 +4у2) в точке (б, 4, InlOO).
2)Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z = ху
вточке (2 ,2 ,4 ).
3442. Каково направление наибольшего изменения функции ср (я, у, z) = я sin z - у cos z в начале координат?
3443. 1) z = arcsin-^— . Найти угол между градиентами этой функции в точках (l, l) и (3, 4).
2) |
Даны функции |
z = т/х2 + у2 и |
z = х - Зу + ^/зху. |
Найти |
|||
угол между градиентами этих функций в точке (3, 4). |
|
|
|||||
3444. |
1) |
Найти точку, в |
которой |
градиент |
функции |
||
2 = 1п(я + ^ ) |
равен |
|
|
|
|
|
|
2) Найти точки, в которых модуль градиента функции |
|||||||
3445. |
|
Доказать следующие соотношения (ф |
и \р - |
диффе |
|||
ренцируемые функции, с - |
постоянная): |
|
|
|
|||
grad (<р + у) = grad ф + grad ф; |
grad (с + ф) = grad ф; |
|
|||||
grad (с(р) = с grad ф; grad (фф) = фgrad ф + ф grad ф; |
|
|
|||||
grad (ф") = лф""1 grad ф; |
grad [ф(ф)] = ф'(ф) grad ф . |
|
|||||
246 |
ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
||
3446. |
z = ср(и, и), и = |
, у), v = С(*>!/)• Показать, что |
|
|
grad z = |^-grad и + |
grad v . |
|
3447. 1) и(х, у, z) = x2y2z. Найти проекции grad и в точке
(*о >Уо» 2о)-
2) ы(лс, у у z) = <Jx2 + у2 + z2 . Найти grad и.
3448. Показать, что функция и = In (re2 + у2 + z2) удовлетво
ряет соотношению и = 2 In 2 - In (grad uf.
3449. Доказать, что если х , у, z суть функции от f, то
~dtf(x * У* z) = grad / ~ , где г = xi + yj + zk.
3450. Использовать доказанное в предыдущей задаче соот
ношение для нахождения градиента функции: |
||||
1) |
f |
= г2 ; 2) |
f = |г |; 3) |
/ = ^ r 2j; 4) / = (ar)(&r); |
5) |
f |
= (abr); |
где а и Ь - |
постоянные векторы. |
Производная по направлению
3451. 1) Найти производную функции z =х3 - Зх2у + Зху2+1 в точке М (3,1) в направлении, идущем от этой точки к точке (6. 5).
2) Найти производную функции г = arctg дсу в точке ( l , l)
в направлении биссектрисы первого координатного угла.
3) |
Найти |
производную |
функции z = х 2у2 - ху3 - Зу - 1 |
в точке |
(2 ,l) |
в направлении, |
идущем от этой точки к началу |
координат. |
|
|
|
4) Найти производную функции г = \п{ех +еу) в начале ко ординат в направлении луча, образующего угол а с осью абс
цисс. |
z = In (х + у) в точке |
3452. Найти производную функции |
|
(l, 2), принадлежащей параболе у2 = 4 х, |
по направлению этой |
параболы. |
|
§ 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ |
247 |
3453. Найти производную функции 2 = arctg ^ |
в точке |
принадлежащей окружности я2 + у2 -2 я = 0 , |
по на |
правлению этой окружности. |
|
„2 |
в любой |
3454. Доказать, что производная функции z = ~ |
точке эллипса 2л:2 + у2 = 1 по направлению нормали к эллипсу равна нулю.
3455. 1) Найти производную функции и = яг/2 + г3 - xyz
в точке М (1,1, 2) в направлении, образующем с осями коорди
нат утлы соответственно 60°, 45°, |
60°. |
|
|
|
|
|
2) Найти производную функции |
w = xyz в точке А (б, 1, 2) |
|||||
в направлении, идущем от этой точки к точке Б (9, 4,14). |
|
|||||
3456. |
Найти производную функции |
и = x2y2z2 |
в |
точке |
||
А (1, -1 ,3 ) |
в направлении, идущем от |
этой |
точки |
к |
точке |
|
Б (0,1,1). |
|
|
|
|
|
|
3457. Доказать, что производная функции |
и = |
+ —-+ А- |
||||
|
|
|
|
az |
Ь* с |
|
в любой точке М (я, у, z) в направлении, идущем от этой точки к началу координат, равна ~ ~ у где г = д/я2 + у2+ z2 .
3458. |
Доказать, что производная функции |
u = f ( x , y , z ) |
в направлении ее градиента равна модулю градиента. |
||
3459. |
Найти производную функции м = ^ , |
где г2 = я2 + |
+ у2 + г2, в направлении ее градиента. |
|
|
Глава XII
МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ИКРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§1. Двойные и тройные интегралы
3460. Тонкая пластинка (ее толщиной пренебрегаем) лежит в плоскости хОу> занимая область D. Плотность пластинки яв ляется функцией точки: у = у(р) = у(*» у). Найти массу пла
стинки.
3461. На пластинке задачи 3460 распределен электрический заряд с поверхностной плотностью т = т(р ) = т(я , у). Составить
выражение для полного заряда пластинки.
3462. Пластинка задачи 3460 вращается вокруг оси Ох с уг ловой скоростью ю. Составить выражение для кинетической
энергии пластинки.
3463. Удельная теплоемкость пластинки задачи 3460 меня ется по закону с = с(р) = с(х, у). Найти количество тепла, по
лученное пластинкой при ее нагревании от температуры fj. до температуры *2-
3464. Тело занимает пространственную область &; его
плотность является функцией точки: у = у (р) = у (х, у , з).
Найти массу тела.
3465. В теле задачи 3460 неравномерно распределен элек трический заряд; плотность заряда является функцией точки: 5 = 5 (зс, z/, г). Найти полный заряд тела.
В задачах 3466-3476 оценить интегралы:
3466. JJ (ж + у + 10)do , где D - |
круг х2 + у2 < 4. |
D |
|
3467. JJ х2 + у2 + §Jda, где D - |
круг х 2 + у2 < 4. |
D
§ 2. КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
2 4 9 |
3468. |
JJ(я + у + |
где D - прямоугольник |
0 < х < 1, |
|||||
0 < у < 2 . |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3469. |
+ х у - х 2 - y2)do, |
где |
D |
- |
прямоугольник |
|||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
0<лг<1, |
0 < у < 2. |
|
|
|
|
|
|
|
3470. JJху(х + у)do, |
где D - |
квадрат 0 < д: < 2, 0 < у < 2. |
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
3471. JJ(х + 1У do, где D - квадрат 0 < * < 2 , |
0 < ^ < 2. |
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
3472. |
Щ * 2 + У2 ~ |
+ У2+2jd a , |
где |
D |
- |
квадрат |
||
0<х<2, |
0 < у <2. |
|
|
|
|
|
|
|
3473. |
JJ|д 2 + у2 - 4х - 4у + lojda, |
где D - |
область, ограни- |
|||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
ченная эллипсом х2+ 4у2 - 2х - 16у + 13 = 0 (включая границу).
3474. |
JJJ \х2 + у2 + z2)di>, где Q - |
шар х2 + у2+ z2 < R2. |
|
|
о |
|
|
3475. |
JJJ (* + </ + z)tfu, где й - |
куб х> 1 , |
у> 1, z > l , |
|
si |
|
|
х < 3 , у < 3, г < 3. |
|
|
|
3476. JJJ(х + у - г + 10)du, где Q - шар х2 +у2 + г2 < 3. |
|||
|
§ 2. Кратное интегрирование |
||
Двойной интеграл. Прямоугольная |
область |
||
В задачах 3477-3484 вычислить двойные интегралы, взятые по прямоугольным областям интегрирования D, заданным усло виями в скобках:
3477. JJ xydxdy (0 < х < 1, 0 < у < 2).
D
250 |
ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
|||||||||||
|
3478. JJex+ydxdy |
(О < х < 1, 0 < у < l). |
|
|
|
|
||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3479. JJ- f j d x d y |
(0 < х < 1, О S у < 1). |
|
|
|
|
||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3480. |
ff |
dxdyr ( 0 < * < l , 0 < j / < l ) . |
|
|
|
|
|||||
|
|
JJ (дс+у+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3481. JJ |
ydxdy , |
( 0 < х < 1 ,0 < у < 1 ) . |
|
|
|
|
|||||
|
|
о (l+^+y2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3482. JJxsin(x +y)dxdy |
(о < |
,x й n |
,0 <у < |
|
|
|
|||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3483. |
JJx2yexydxdy (O < x < 1, 0 < у < 2). |
|
|
|
|||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3484. JJ x2y cos (xy2^dxdy |
|o < x < у , 0 < у < 2j. |
|
|
||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Двойной |
интеграл. Произвольная |
область |
||||||||||
|
В задачах 3485-3497 найти пределы двукратного интеграла |
|||||||||||
Л '( ‘ ,y)dxdy |
при данных (конечных) областях интегрирова- |
|||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния D: |
|
|
|
|
|
|
|
|
х = 3, |
х = 5, |
||
|
3485. |
Параллелограмм |
со |
сторонами |
||||||||
Зх - 2у + 4 = 0, Зх - 2у +1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3486. Треугольник со сторонами х = 0, |
у = 0, х + у = 2. |
||||||||||
3487. |
х2 + у2 < 1, |
* > 0 , |
у > 0 . |
|
|
|
|
|
||||
3488. |
х + у < 1 , х - у й 1, |
х > 0 . |
|
|
|
|
|
|||||
3489. |
у > х 2, у < 4 - х 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3490. |
- ^ + - £ < 1 . |
|
|
3491. ( х - 2)2 + ( у - З)2 < 4 . |
||||||||
3492. D ограничена параболами у - |
х2 и у = 4х . |
|
|
|||||||||
3493. Треугольник со сторонами у - |
х, |
у = 2х и |
х + у = 6. |
|||||||||
3494. |
Параллелограмм |
со |
сторонами |
у = х, |
у |
- х + 3» |
||||||
у = -2х + 1, у = -2х + 5.