книги / Сборник задач по курсу математического анализа

ОТВЕТЫ

351

549- ------ S5r=T* 55°*

V b * 2

551*

ercsinx. 552.---------- Ц ____

2(.rccosx)2Vl-x2

( « г с э т х Я ^

553.

sin* arctgx + xcosxarctgx +ifitiUL. 554. _х±лпсозх£

555.

+

>*'2

556. 0. 557. —f±=.

558.-----2*L^.

Vl-xJ +xarcsinx

2Л

- P T

(,«*)2

560.

jfarctgx)2

562.

- -

V2

564.------7= = . 565. T^r.

566.

- 2агс1«7 567

лгссозх

1+x2

Vb^Vl-(arcco. x ?

568.

—7-—.,* ■ .. 569. —p—

— £ii^—= — =

. 570. — ainct .

571*

■ »

573. 2 .к * « +*

574. я и .

575. ^

576.

.

577.

*ln-*~*~"ln2. 578. sinжInx +xcosxInx +sinx. 579.-----L_*

2Wln7

xln2 x

xln2x

580. baki.

581. — —2—_ 582. l±-*2.-2E2ln*. 583. x"-l(nlnx+l).

*n+1

*(l+lnx)2

x [l+X2]

584. —4H£—. 585.-7-1-. 586.

ж2-4 х

587. ctgx. 588. ---- 2s---- . 589. -^2=-,

xVl+ln2x

^

*

Гх2-1)1пЗ

8

590.---------- 2r

. 591.

4In8sinхctgx 592.

------ ------------- r.

arccoe2xVl-4xz

(ax+ft* l+ln^(ox+fc)J

593.

n(l + lnsinxr'ctgx.

594.

595. -------—=£-----596.

0x2 arcsln|"lii(a3+x3Y]

597.

ctg—

----------- --------

L.i_.

JL.

,X2( 2+X2) / ^

'

*

^o3+x3j^l-ln2^o3+x3j "

‘ 12^1n29 i a ^ '

598. 2XIn2 599. 10'lnlO. 600.

- M

601. 4'x(l-xln4).

602. 10x(l+ xlnlO).

603.

ex(l +x). 604.

-bi. 605. ^Q"2-1)*3*2-*?.. 606. ex(cosx-sinx).

<x

a*

607.

— (sinxcosx).

608. - alnx-+c^

. 609.

<ln- ~9l)— 2 ^ . 610.

3x2-3 xln3.

eln2x v

7

ex

ln2x

2'Jl+e*

V

7

. ( l+10x )2

(x2+l)2

616. e*(cosx+ sinx + 2xcosx). 617. - e x

fVx+1

618. 2 102x_8lnl0. 619. ^

3 5 6

889.1) S f -t o 2) J f r

3) -J fi

4) -

f

б)

6)

7) ^

8) -Elildx; 9) -M fc!id 4 10)

ii) fe*+4)(r*- V7)+(*2+4x+

1

2

)

- J g ji*

13) - p ^ .

14) 3(l+x- x2)2(l- 2x)dx; 15) - ^ d x ;

16) 5,nt«x^g-dx;

'

cos

x

ГX2-l)elnX+2XC08X

17) - 2 " - “ 1п2Л1^-Лс;

18) —

19) J-----J—

=-------dx;

cos2*

2eln|

fl-x 2}

20)

21)

22) fa ** ~^--ln3 + 9x2--jj--jdx.

890. 1) -0,0059; 2) -0,0075; 3) 0,0086; 4) 0; 5) 0,00287.

891.

Aу = 0,00025;

sin30°l' = 0,50025. 892. 0,00582. 893. -0,0693. 894. dp= - - ^ =

d(P-

усов2ф

895.0,3466.896. sin60°03' = 0,8665;

sin60°18' = 0,8686 899.0,995.

900. arctgl,02= 0,795;

arctgO.97 = 0,770.

901. 0,355. 902. 0,52164. 903. а) Из­

менение длины нити:

2s= -|jdf; б) изменение стрелки провеса: df = -^-ds.

904. Погрешность при определении угла по его синусу: Axs = tgxAy;

погреш­

ность при определении угла по его тангенсу: Лхг = -|-sin2xAz

(где

Ау, Ал -

погрешности, с которыми даны величины у и г);

= —L_; точность опреде-

“ Г cos'*х

906. 1)

Г2t3+4«+7Y3*2+2V*

2

dy= - j ----- Л

I,

; 2) ds = --Lsin-^J-df; 3) dz = -ds;

3^[p+2mp

+2t+eJ]2

2

4) do

J L -S 6)

,

в)

dy ~

gl/lntf« in2tg*sln2* eln2*’

2V2u2-3 u + l’

' ' '

coe2*’

скорость изменения ординаты

vy = uaintp (<р - угол между осью ординат и по­

лярным радиусом точки). 921.

-- ^ 1 = -0,000125р. 922. 2 ед./с в точке (3,б) и

-2 ед./с в точке (3, - 6). 923. 2

см/с в точке (3,4) и -2 см/с в точке (-3,4).

«

2

(l-x)°

x

Xя*2

1018. iBEsL.

1019. 2е*2(зх+2x8). 1020.

**^

1021. -Цг + 2arctgx.

(1+ Iy»+1

M

'

1+*2

lr3-l.il

1022.

,

1023. -

1024.

__g+з^Г

1025. 4

^

4хЛ{а+& Т

1026.

fl^o2-l^i

1028. ^[(lnx +lf + ij .

1029.

aneox

F ?

8in2 xj

1030.

1032.

2я'1sin^ +^

^

j.

(-l)"e“x. 1031. on sin(a*+-^-)+Ь"cos(px+-И-).

1033.

ex(x+n).

1034. .(~1)n("-2)1

(„>2).

1035.

1036.

4

'

Xя' 1

V

}

(ax+6)n+1

(ex+6)n

Ю37.

1038.

1039.

(-1)»л1[ _ 1 _ - _ 1 _ ] .

1040.

4 -coS(4*t m).

1054.

$

=

1056. --§ k

Ю57. -Лек

Ю58. -

И

Ю59.

1060.

— *а^ - .

аУ

Г

(2-.)8

^-ах)3

1061. - -----2— -р

Л,

1062. - Й *-;)Ч -г)21 1063. Лк = _^2 . 1064. — .

[1-сов(х+у)]

х2^ - ! ) 8

dy2

|dyj8

*

g2

1065.

лХ !)!

M69. -■ ^ 7. 1070. - \

= -----L-. 1071. —Дм? .

» Л 4

v

у8

aeln8t

в8 вш5 1

1072.

-

- 1

2.

1073. 1) -s^-4ein2t .

2) О, так как x + y = a,

1074. 1) 4f2;

e(l-coe«p)z

_2±lL_

flo2coe7 fein8t

y

7

•

T-

1075.

10 8 0

1 6 M /c2 - 108 1 * y = 2 f -

4'

a = 2 -

2

a(co.r-temtp

1082.

см/с2. 1084. -0,0015 м/с2. 1085. - i

м/с2.

1088. 1) (e2-379)sin*-40*cos*;

2) ex^C*sin(r+ -y-);

3) anxa sin(ax +-*у-)+

+ 3na"-V8inla*+i2^J+ 3n(n-l) an-2* 8inla*+-fc|&]+ n(n-l)(n-2)a"-3x

xsin[ar +-fcy^J.

1093. у(2я)(о) = 0; у{2я+1)(о)= [l •3•5•... •(2л- 1)]2.

1095. у(2я-1)(0)=0;

у(2я)(0)=2-[2.4.6.....(2л-2)]2.

1096, ~0мГ 1097‘ m(m~^Krn~2)xm~3dx3

1098. 4(x+l)(5x2-2x-l)dx2 .

1099. 4-z2•2In4•(fix2In4 - l)d*2. 1100. .ф Ь ^ гх й х 2 И01 ^inx-4-m3x

frWx+bW*)1

ХЩп2х-4?

1102. -4sin2*rfx3.

1103. ±-22J2Sk^+5tg2(p)d(p2.

1104. -gffi!.

4^ Ф

3x<y2

ОТВЕТЫ

359

1X05.1) d!y = ^ - d > x - l i !!^ dx>-, 2) d2y = -4sec22tdt2

X ~l

(t4-l)

К

г л а в е

IV

1110. 1) Точка максимума; 2) убывает; 3) возрастает; 4) точка минимума;

5) точка максимума; 6) точка минимума; 7) точка минимума; 8) точка макси­

мума;

9) точка минимума.

1112. В точке

хх= 0 возрастает, в точке х2= 1

убывает, в точке ха = -л/2

возрастает и в точке х4= 2 убывает. 1113. Убыва­

ет в точке л:, = 1/ 2,

возрастает в точках хг = 2

и х3 = е\

х4 = 1 -

точка ми­

нимума. 1114. Возрастает в точке хх= 1, убывает в точке

хг = - 1;

х3= 0 -

точка минимума. 1115. Убывает в точке хх= 1/ 2,

возрастает в точке х2= -1/ 2;

ха= 0

- точка максимума. 1125. Три корня, принадлежащих соответственно

интервалам (1,2),

(2,3) и

(3,4).

1127. зтЗхг-зтЗх^ 3(х2-х 1)созЗ^ где

хх<%<хг. 1128. a(l-lna)-&(l-lnft) = (ft-a)ln^,

где a<\<b.

1129.

arcsin[2(x0+ Ax)]-arcsin2x0= 2Ад: / 7Г-4^,

где х0<£<х0+Дх.

1135. При

х -»0

£ стремится к нулю, принимая не все промежуточные значения, но

тает. 1153.

(-оо, 2а/3)

возрастает,

(2а/3, а)

убывает,

(а, + «>)

возрастает.

1154. (-оо, - 1) возрастает, (-1,1)

убывает,

(l, + °°)

возрастает. 1155.

(-н», 0)

убывает, (0,1/2) убывает, (1/2, l)

возрастает,

(l,+ ») убывает. 1156.

(-~, 0)

возрастает,

(0, + о») убывает. 1157.

(-оо, о) убывает,

(0,2) возрастает,

(2, + оо)

убывает. 1158. (О, l)

убывает, (Ц е) убывает,

(<?, + оо) возрастает. 1159.

(0,1/2)

убывает, (1/2,+оо) возрастает. 1160.

(О, я/3)

убывает, (л/3, 5л/3)

возрастает,

(5л/3, 2л) убывает. 1161.

(О, л/б)

возрастает, (л/6,л /2) убывает,

(л/2,5л/б)

возрастает,

(5я/6,Зя/2)

убывает,

(Зл/2,2л)

возрастает.

1162.

Монотонно

возрастает.

1163. Монотонно возрастает. 1164.

(О, За/4)

возрастает, (За/4,а)

убывает. 1165. у ышв = 0 при х = 0,

у ыян = -1 при х = L

1166. у шисе = 17

при

х = - 1 ,

Уиян = -47

при

х = 3. 1167. y uutc

= 4

при

* = О,

уМШ1= 8/3

при

х = —2.

1168. у Ыйкд = 2 при х = 0,

у Ш1а = ^4

при х = 2.1169. yUULg = 1 / 1пЗ при

х = -3.

1170. у ы т = 0 при х - 0.

1171. yutxc = 0при х = 0,

у ниш = -2/ 3 при

х = L

1172. у ыыи = 2 при х = 2/3.

1173. уммс = >/205 /10 при х = 12/5.

3 6 0

ОТВЕТЫ

1174.

у ^ = tfa* при х = 0,

уыпп= 0 при х = ±си 1175. Утва= о при х = 0.

1176.

Монотонно возрастает.

1177. уылке=~-Лв

при х = 1/2,

умив = 0

при

х = ”1 и при х-Ь.

1178. уышхе= 2,5 при х = 1,

Уынд= в(4- е)/ 2 = 1,76

при

х = е.

1179. Уышкс=1/2 при х = 0, уыан=п / 8 при л = L 1180. уивкс = 0

при

х = 0, Ут№=Щ 2*

при х = 1/2. 1181. ум<ке = ая^~*2+18„ 1дз

при х = ±п/3,

уияя= 1 при х = 0.

1182. умы(е =шп^ +^

при х = -1, умнп = aeVa-izWam-tfoen

при х = 71/6. 1183. уышкс= 1 / я при х = 1,

умип= -1 /я при х = 3. 1184. Если

если аЪ> 0 и а< 0, то уМ1КС= -2Jdb при х =

1185. 13

и 4. 1186. 8и 0.

1187. 2 и -10.

1188. 2 и -12. 1189. 10 и 6. 1190. 1 и 3/5.

1191. 3/5 и -1.

1192. Наименьшее значение равно (в+ bf,

наибольшего нет. 1193. я /2 и

-я/2.

1194.

Наибольшее значение равно 1, наименьшего нет. 1195. Наимень­

шее значение равно (l/e)1/e,

наибольшего нет. 1196. V9 и 0. 1197. я /4

и 0.

1208. 4 и 4.

1209. 1. 1210. 6и 6. 1211. 3, 6и 4 см.

1212. 3 см. 1213.

1 см.

1214.

3/iu.

1215. Радиус основания и высота равны

Jv/n.

1216. Н = 2А

1217.

20^3/3

см. 1218.

2x^273 = 293°56'.

1219.

Боковая сторона равна

Зр/4,

основание равно р/2. 1220. Боковая сторона равна

Зр/5, основание

равно 4р/5. 1221. 2ЯТз/3. 1222. 4Я/3. 1223.

1224. j2aP/k.

1225. 20 км/ч, 720 руб. 1226. Через 1-Ц- часа

* 1

час 38 мин. 1227. Рас­

стояние хорды от точки А должно равняться

3/4

диаметра окружности.

1228. ARjb/Ъ и R J E / 5. 1229. Высота прямоугольника равна ^-8-д-^ 2~3-, гДе

радиуса цилиндра. 1231. 4Д. 1232. = 49е.

1233. 60°. 1234. Rjz. 1235. 4Я/а

1237. х/З + у/6= L 1238. aj2 и bj2.

1239. Площадь прямоугольника= -£х

Xплощадь эллипса. 1240. Через точку (2,3). 1241. с(-& ,-& ). 1242. х=а-р,

если а > prt х = 0, если а< р. 1243. Сечение желоба имеет форму полукруга.

1248. Расстояние от источника силы 1\ равно

иными словами, рас-

стояние Iделится искомой точкой в отношении

1249. 2,4 м.

1250.

= kP/ Vl + ft2 при

<p= arctgft. 1251. =4,5.

1252. 2b + J S b J a и

2a+ JSa/b.

1253*.

где ^ ~ обРа®У1°Щая конуса. Принять во вни­