книги / Сборник задач по курсу математического анализа

ГЛ. XV. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ

3 3 2

Рис. 64

4391. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой изображен на рис. 61.

4392*. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой изображен на рис. 62.

4393*. Разложить в ряды Фурье функции, графики которых приведены на рис. 63 и 64.

Глава XVI

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ*)

Векторное поле, дивергенция и ротор

4401. Найти векторные линии однородного поля А р ) = ai + +bj + cky где а, b и с - постоянные.

4402. Найти векторные линии плоского поля А (р) = -щ1 + +содс/, где со - постоянная.

4403. Найти векторные линии поля А (р) = -сoyi + (dxj+ hk,

где со и h - постоянные.

4404. Найти векторные линии поля:

1)А (Р) = (у + z)i - x j - xk\

2)А (Р) = (z - y)i + (х - z)j + (y -x )k ;

3) A (P ) = X (jу2 - z2)i - у [z2 + x2]j + 2 (*2 + y2)k.

В задачах 4405-4408 вычислить дивергенцию (расходи­ мость) и ротор (вихрь) заданных векторных полей:

4409. Векторное поле образовано силой, имеющей постоян­ ную величину F и направление положительной оси абсцисс. Вычислить дивергенцию и ротор этого поля.

4410. Плоское векторное поле образовано силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния от точки ее приложе­ ния до начала координат и направленной к началу координат. (Например, плоское электрическое поле, образованное точечным зарядом.) Найти дивергенцию и ротор этого поля.

*) Задачи на свойства скалярного поля и его градиента помещены в § 4 главы XI.

4411. Найти дивергенцию и ротор пространственного поля, если силы поля подчинены тем же условиям, что и в задаче 4410.

4412. Векторное поле образовано силой, обратно пропорцио­ нальной расстоянию от точки ее приложения до оси Ог, пер­ пендикулярной к этой оси и направленной к ней. Вычислить дивергенцию и ротор этого поля.

4413. Векторное поле образовано силой, обратно пропорцио­ нальной расстоянию от точки ее приложения до плоскости хОу и направленной к началу координат. Вычислить дивергенцию

4423. Вычислить rot (а х г), где а - постоянный вектор.

4424. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоро­ стью © вокруг оси. Найти дивергенцию и ротор поля линейных скоростей.

ГЛ. XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

3 3 7

4425. Доказать соотношение

п (grad (Ая) - rot (А х я)) = div А,

если я - единичный постоянный вектор.

Дифференциальные операции векторного анализа (grad, div, rot) удобно представлять с помощью символического вектора V («набла* - оператор Га-

мвльтона): V = £ i + j ’~ j + £ k .

Применение этого оператора к той или иной (скалярной или векторной) величине нужно понимать так: следует проделать по правилам векторной алгебры операцию умножения этого вектора на данную величину, а затем

умножение символа •— и т. п. на величину S рассматривать как нахождение

соответствующей производной. Тогда gradu = VlZJ div А = VA\ rot А = V х А .

При помощи оператора Гамильтона можно записывать и дифференциаль­ ные операции второго порядка:

W M = div grad и ; V х VM = rot grad и; v(Vi4) = grad divA;

V (v x A) = divrotA; V x (v x A ) = rotrotA .

4426. Доказать, что г •Vr" = nr11, где г - радиус-вектор.

4427. Доказать соотношения:

(Это выражение называется оператором Лапласа и обычно обо­ значается Ди. При помощи оператора Гамильтона его можно

записать в виде Дм = (W ) M = V2M.)

4429. Доказать, что rot rot А (р) = grad div А (р) - ЛА(р),

где АА (р) = AAxi + AAyj + AAzk .

Потенциал

4430. Векторное поле образовано постоянным вектором А. Убедиться, что это поле имеет потенциал, и найти его.

4431. Векторное поле образовано силой, пропорциональной расстоянию от точки приложения до начала координат и на­ правленной к началу координат. Показать, что это поле консер­ вативное, и найти потенциал.

той, обратно пропорциональной расстоянию точки ее приложе­ ния от оси Ог, перпендикулярной к этой оси и направленной к ней. Показать, что это поле консервативно, и найти его потен­ циал.

4435. Векторное поле образовано линейными скоростями то­ чек твердого тела, вращающегося вокруг своей оси. Имеет ли это поле потенциал?

4436. Силы поля задаются так: А(р )= f (г)у (так называе­

мое центрированное поле). Показать, что потенциал поля равен

и(х, у, z) = j f (r)dr |r = д/*2 + у2 + z2j .

Получить отсюда как частный случай потенциал поля сил притяжения точечной массы и потенциал поля задачи 4431.

4437. Найти работу сил поля А(р) = xyi + yzj + xzk при пе­

ремещении точки массы т по замкнутой линии, состоящей из отрезка прямой х + z = 1, у = 0, четверти окружности

если дуга ВА будет заменена ломаной ВОА или отрезком ВА?

Здесь (в задачах 4438-4449) везде имеется в виду сила тяжести, дей­ ствующая по закону Ньютона. Вместо выражения «потенциал массы, располо­ женной на (или в) данном геометрическом объекте», для краткости мы гово­ рим «потенциал данного объекта».

силы притяжения, действующей на точку Р массы т с координатами

£= х , т| = у , равны

у- mftS/СВ . АС\

у

арезультирующая сила Д по величине равна

Д = ~ ^sin -|(<x + Р), где k - постоянная тяготения (С - проек­

ция точки Р на ось 0 £ , a - угол АРС, |3 - угол ДРС).

4439. Найти потенциал окружности х2 + у2 = R2, z = 0 в

точке (Д , 0, 2Д ), если плотность в каждой точке равна абсо­

лютной величине синуса угла между радиус-вектором точки и осью абсцисс.

4440. Найти потенциал первого витка однородной (плот­ ность 5 ) винтовой линии х = a cost, у = a s i n f , z = bt в нача­

ле координат.

4441. Найти потенциал однородного квадрата со стороной а (поверхностная плотность 5) в одной из его вершин.

4442. На плоскости Оху распределена масса с плотностью 5 , убывающей с расстоянием р от начала координат по закону

случая: h < 1, А = 1 и А > 1 . )

4443*. Вычислить потенциал однородной боковой поверхно­ сти круглого цилиндра: 1) в центре его основания,

2) в середине его оси (радиус цилиндра Д, высота Я , по­ верхностная плотность б).

4444. Вычислить потенциал однородной боковой поверхно­ сти прямого круглого конуса (радиус цилиндра Д, высота Н) в его вершине.

4445. Дан прямой круглый однородный цилиндр (радиус ос­ нования Д, высота Я , плотность 5).

1)Найти потенциал в центре его основания.

2)Найти потенциал в середине его оси.

4446. Дан прямой круглый однородный конус (радиус осно­ вания Д, высота Я , плотность б). Найти потенциал конуса в его вершине.