книги / Сборник задач по курсу математического анализа

ОТВЕТЫ

К г л а в е

I

1. Все числа п натурального ряда, кроме п =1 и п = 2.

Если сумма углов

S, а число сторон л, то S = п(п-2). 4. а) При х = -2,

х = 1, х = 6

функция

обращается в нуль; б) при х < -2, -2 < х < 1,

х> 6 функция положительна; в)

при 1<х<6

функция отрицательна. 6. г =

7. S =

tga 8. Ь=^25-аг.

9.

/(о) = 2;/(1) = -0,5; /(2) = 0;

/(-2) =4; /(-| )= -5; f(j2)=-0,242...,

\f(±)\ =

-

1; ф(о)= 2; <p(l)= 0,5;

ф(2)= 0; <p(-2)= -4;

<p(4)= 0,4;

/(-1) не существует;

<p(-l) не существует.

10.

/(l) = 0;

f(a)= a3 -1;

f(a+1)= a3 + 3a2 + 3a;

/(a -l) =a3-3a2+3a + 2;

2/(2a) = 16a3 - 2;

11.

l?(0)= i;

P(2)=l;

Р(з) =2;

F(-l) = i;

F(2,5)=V2; f(-l,5) = - ^ ;

(p(0)= i;

(p(2)=l;

<p(-l)=i; Ф(х)=2- 2

при x > 0

и ф(х)= 2~*-2

при

х < 0;

ф(-1)+J?(l)= L 12.

ф(0)=0;

y(l)=a;

ф(_1)= “^

Ч 'Щ 'в®;

ф(а)= аа+1; ф(-а)=-а1_в. 13. ф(*2)= t° +1;

[cp(t)]2 =

через точки (a,/(a)) и (&,/(&)),

и положительным направлением оси Ох. 22. а)

xi = 0,

*2=2

б) xt = - 1, Г2 = з. 23. х, = -2,

х2 =5, х3 = -1. 25. 4 и -2; -2,

2, 4, 10. 26.

хх = -3,

х2 = -2,

х3 = 2, х4 = 3.

27. х < -1

и

х > 2. 28. a = 4,

b = -L

29.

a = —27Ln0j ~ -1,04 (полагая sin0,5 = 0,48);

ft = 1;

c = - ± + 2kn

a= гыкб e

Ь= - 1;

c= l + (2ft+l>i

(ft = О,

±1,

±2,...).

33. u =

= Vl + (iffsinx)2. 34. о = ein(l+ x). 35.1) у = и3,

у = sinx;

2)

у = ^/y,

у = и2,

u = x + l; 3)

y = lgy,

и = tgx; 4) у = u3,

u = siny,

y = 2x + l;

5)

y = 5u,

u = y2,

y = 3x

+L 3e. a)

6) 0; в) sinl2;

r) -sin2xcos22x; д) xe-3x7 +

+ 3x62x3 +т,

e) 0; ж) ein(2sin2x) 38. 1) y = ±V1-x2;

2)

у = i-J-Vx2-a 2;

ОТВЕТЫ

343

-log2(x - 2) - х;

8) у = Arccos-j^-.

39*.

Пусть

х>0

и

у > 0, тогда

У + У ~ х ~ х = 01

у = х

(график - биссектриса первого координатного угла).

Пусть х > 0 и у < 0,

тогда

у - у - х - х - О ;

* = 0

(график -

отрицательная

полуось Оу). Пусть * < 0 и

у > 0,

тогда

у +у -х +х = 0;

у = 0

(график -

отрицательная полуось Ох).

Пусть

х < О и у < 0,

тогда

у - у - х

+х = 0 -

п

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

и

0

1

2

2

3

3

4

4

4

4

5

5

6

6

6

6

7

7

8

8

42.

я

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12

13

14

15

16

17

18

19 20

и

0

0

0

1

0

2

0

2

1

2

0

4

0

2

2

3

0

4

0

4

43.

Если f(x) -

масса

отрезка AM, то

f(х) = 2х

при

0 < х < 1,

/(*) = 2+1-(* - 1) при

1 < х < 3,

f(x) = х + 2 при

3 < х < 4.

Функция опре­

делена при

0<х<4. 4 5 . V =nx^R2—

0<x<2ft 47. 1)

х > 0;

2) х >-3;

3) х £

4)

< х < 0;

5) вся числовая ось, кроме точек х = ±1; 6)

вся число­

кроме точек х = 1 и

х = 2;

9)

-1<х£1; 10)

-о»<х<0

и

4 < х < -Ь»;

11)

-оо<х<1

и

3<х<+~; в интервале (1,3)

функцияне

определена;

12)

— < х < 1

и

2 < х < -И»;

на

отрезке

[l,2]

функцияне

определена;

13)

-4 < х < 4;

14)

1 < х < 3;

15)

0<х<1;

16)

-| < х < | ;

17)

0<х<±;

18)

-1 < х < 1;

19)

- » < х < 0;

20)

не

имеет смысла;

21)

1 < х < 4;

22)

2kn< х < (2k + 1)71, где k - целое число; 23) 2kn <x<(2k + l)x,

где k - целое

число; 24)

0 < х < 1

и

1 < х < +«. 48. 1) -2 < х < 0 и 0 < х < 1;

2)

-1 < х < 3;

3)

1 йх < 4; 4)

-| < х < 2 и 2 < х < -н»;

5) область определения состоит только

из одной точки х = 1; 6) -1< х< 0

и 1<х<2; 2<х< +оо; 7) 3- 2л < х < 3- л

и 3 < х <4;

8)

-4 < х < -я и 0<х<я;

9)

2*я< х < (2А +1)я,

где к - целое

число; 10)

4<х<5

и 6<х< +~;

Ц) нигде не определена; 12)

-1 < х < 1 и

2 < х < 3; 13) вся числовая ось; 14) 4 < х < 6;

15)

2< х < 3.

49. 1) Да; 2) тож­

дественны на любом интервале, не содержащем точку х = 0;

3) тождественны

на полуинтервале [0,+»); 4) тождественны на интервале

(0,+«).

50. 1) На­

пример, у = 1/4-х 2;

2) например,

у = — -1-

; 3) например,

У = - ^ +"^з +

•rv4 -х 2

51. 1) 1<х<3; 2) 0^х<+«»

для двух ветвей и

15х<+°°

для двух

других ветвей. 52. -«о < х < -н»; 53. 1)

у

> 0 при х > 2; у <

0 при х < 2; у = 0

344

ОТВЕТЫ

при х

= 2; 2)

у >

О при х < 2 и х > 3; у < 0 при 2 < х < 3;

у = 0 при х г =

2

и х 2 =

3; 3) у

> 0 в интервале (-со,+со), функция корней не имеет; 4) у > 0

в

интервалах (0,l),

(2,+°°); у < О

в интервалах (-°°,0) и (1,2);

у = 0 при х, = О,

х 2 = 1,

х3 = 2;

5)

у > 0 при х *

0; у = 0 при х = 0. 54. 1), 3), 8), 10), 11), 15)

четные. 55. 1) у = (г2 +г)+3х;

2) у = (l-x4)+(-x3 -2х5); 3) у

= (sin2x + tgx) +

«o sf. 57 .1 )У= ^ 1 +^

ь

» Г _ у - * Г . 59.

82. у = - f * 2 + 5

на интервале(-°°, - 3),

на отрезке[- 3, 3],

Jx ~ 2

на отрезке[3, б].

лы у2=7х +25. 106. Если Ъ2 - А а с > 0

и а > 0, то функция определена на

всей числовой оси, кроме интервала

Xj < х < х2,

где х х и х2 -

корни трех­

члена.

При Ь2 - 4ас >0

и

а < 0

функция

определена

только

при

х, < х < х2.

Если

Ъ2 -

А а с <0

и

а > 0,

то

функция определена

на

всей числовой оси. Если

Ь2 - 4ас < 0

и а < 0, то функция нигде не опре­

делена.

Наконец,

при

Ь2 -

А а с

= 0

функция будет определена на всей

числовой оси, кроме одной ее точки

х = —

если а

> 0,

и

нигде

пе

Рис. 68

определена, если а

< 0 .

ОТВЕТЫ

3 4 5

107. f(x + 1) - 2хг + 5х+ 3.

108*. Пусть

= = т , где т -

произвольное

действительное число; тогда (m- l)x2+ 2(2m-l)* + c(3m-l) = 0.

Аргумент х

должен быть действительным числом,

следовательно,

(2m -lf-

-(m-l)(3mc-c)> 0, или

(4-3c)/n2 + 4(c-l)m -(c-l)>0; но так как т-

при условии, что 4 - Зс > 0,

4(с- if +(4- Зс)(с- 1)< О. отсюда 0 < с < 1,

но по

условию

с* О, следовательно,

0<c<L 117. 1) у = х;

2) у

= J-;

3)

у

= — -‘,

4)

y = ±J x -1;

5)

y =

6)

у =

7)

у = 1±</ГГГ;

8)

у = ±Vx3 -1;

9) y = Ig^; Ю)

у = -2 +10*"1;

11)

X

2

13)

у = ± lg ^ ;

у = 2*; 12) I/ = 1о&

14)

у = -i-arcsin-|;

15)

у =

16) y = ±cos-J (0<х<2я).

119.

d = -а.

122.

1 < х < 3;

у = 1 +21'*2.

123.

у = arcsinVx-x2-2.

128.

Если

у, = хл,

у2 = \/х,

то при

л > 1

для

0 < х < 1

У! < у2,

а для 1 < х < +°°

у1> у,; при

О< п< 1

для 0 < х < 1

у, > у2,

а для 1 < х < +°° у, < у2; при

-1 < л < 0 для

О< х < 1

у1< у2, а для 1 < х < +оо У1 > у2, при л< -1 для 0 < х < 1 у х < у 2, &

для 1 < х < +оо ух<у2

135.

л = 15.

136. Исходя из определения гиперболиче­

ских функций,

можно

доказать,

что

sh(-x)=-shx,

th(-x)=-thx,

у = а*~£ х. 146. Область определения (0, л).

Площадь будет наибольшей при

х = А. 155*. 1) Период у. На отрезке [0,2л]

функция может быть представ­

лена так: у = sin(x)+cos(x)

на отрезке [0, л/2],

у = -sin(x)+ cos(x) на отрезке

[я/2, я],

у = -sin(x)-cos(x)

на отрезке [л, Зя/2],

у = -sin(x)+cos(x) на отрез­

ке [Зя/2,2л]. 2) Период 2л. На отрезке [0,2я]

функция может быть представ­

лена так:

у = tgx на полуинтервале [о,у),

у = 0 на полуинтервале

(§-,я],

у = —tgх

на полуинтервале [я,-^5-), у = 0 на полуинтервале (4р2я].

156. 1)

* t

±1.

±2,... 161. 1)

-1<х<1;

y=arcsin(sinx)

2)

0 < х < 1; 3)

0 < х < 1;

4)

-1 < х < 0; 5)

0 < х < +оо;

6)

-<» < х < 0; 7)

0 < х < +оо;

8)

< х < 0; 9)

-оо < х < 1;

10)

1 < х < +°°.

163*. Период 2л. График см. на рис. 69. Указание. На интервале

< х < -2-

ему (последнее при

n = 2k+1,

где

k = 0, 1,

2,

...).

180. lim ип= 1;

л > 14;

Е

зме

если

в

л = 0,

в

182. л >

n>log2i.

181. п > ± Ж

е<-|;

если е>-|-

последовательность ипубывающая. 183.

lim и

= 0;

о„ достигает своего предела

л—*-

при л = т +1, так как, начиная с этого значения л,

и„

= 0. 185. 0. 186. 1) Нет.

2) Да. 189. При а -

0 этот предел может равняться любому числу или не су­

ществовать.

190. 5< л/4 + е - 2;

5< 0,00025.

191.

5< 2- >/з.

192.

5 < ^

193.

arcsin0,99 = 0,133.

194.

N > J j-1 ,

если е< 1;

N = 0, если

е> L 195.

N >

если е <

;

N = 0

,

если е > j .

196. л >

лютной величине больше

1. 1 9 8 .---- ]—<х<—

■ 199.

ЛШШ.< х <

090

ю4+2

ю4-2

J°01

200.

б < -^Lr = 0.0L 201.

log2 0,99 < х < log21,0L

202.

М > 10N= Ю100.

203.

sinx, cosx и все обратные тригонометрические функции. 205. Нет. Да.

206. Нет. 207. 1) Например, хп= i +2пп и хя = 2лл.

2) Нет. 209. Если а > 1,

то функция при х -> +оо

не ограничена (но не бесконечно большая);

при

ОТВЕТЫ

3 4 7

При а = 1

функция ограничена на всей числовой оси. 210. 1), 3) и 5) нет; 2) и

4> да-

« 3 .

< *<

ееёэ■

2 Ы -

215.

1)

» = l t - J - j

2)

У = -2+-^ ~ 2+ij

3) У = -1 +'^ 2’'

216*

°Рапнить ип с суммой членов геометри­

ческой прогрессии

■*•,

i

, -L.

220.

3. 221. Да.

222.

/(х)=9л

при

О< х < 5;

f(x) = 4л

при

5 < х < 10;

f{x) = п

при

10 < х < 15.

Функция раз­

рывна при

х = 5 и при

х = 10.

223.

а= L 224.

А = -1,

В = L 225. х = 2;

х = -2.

226. у.

227. Функция у =

имеет в точке х = 0

устранимый раз­

рыв, у =

-

разрыв второго рода (бесконечный). 228. Функция разрывна

при х = 0.

229. Функция имеет три точки разрыва. При х = 0

разрыв устра­

нимый, при х = ±1

разрыв второго рода (бесконечный). 230. Нет. Если х -»0

справа, то f(x)-»-|,

если х -> 0

слева, то f(x)-»~j. 231. Функция разрывна

при х = 0.

232. 0. 234. Нет. Если х -»1

справа, то у -> 1;

если х -»1 слева,

то у -» 0.

235. Если х -» 0 справа, то

у -»1;

если х -»0

слева, то у -» -L

241*. Записать многочлен в виде х"^а0 +— +

j и исследовать его пове­

дение

при

х —»±оо

244*. Построить схематично график функции

у =

*-Aj

+-Щ—+ —у—,

исследовав ее поведение в окрестности точек Хи Л2 и

1-Л2

Xa 245.1. 246.

1. 247. 3. 248.

«.

249. 0. 250. 0. 251. -Ц, 252. 1 253. 0. 254. 4.

255.

1. 256. 0. 257. 0. 258. 0. 259. 1. 260.

261. £.

262.

263. -1. 264*. 1.

Заметить, что ^

г =

£>

265.

266. 1. 267. 0. 268. 9. 269.

270.

271.

0.

272.

0.

273.

274.

±

275.

6.

276. ~.

277. -1.

278.

». 279. 0.

280.

f .

281. 0. 282.

283.

284. -1. 285. 0. 286.

287. -1.

288. 100.

289.

-1. 290. 1. 291.

~.

292.

0. 293. 0. 294. «.

295.

4.

296.

±

297.

3.

298.

если х>0;

°°,

если х = 0. 299.

300. |. 301.

- ^ = .

302.

f .

303*. — К числителю прибавить и отнять единицу. 304.

305. Один ко­

рень стремится к -у,

другой -

к

». 306. 0. 307. 0. 308. 0, если х -* +°°;

оо,

если х —> -со.

309.

если х -» +«»; -со, если х —>

310.

если х -» -к»;

о», если х -»

311.

±|.

312. 0. 313. 1. 314. 3. 315. А. 316. f . 317.

£. 318. 0,

если

п>т; 1, если п = т;

оо, если

п< т

319. у.

320.

321. у.

322.

3 4 8

323.

о».

324. -1.

325.

i.

326.

~.

327. 0.

328.

% 329.

330.

331. 1.

332. |.

333.

334.

- к

335.

336.

2. 337.

338. -2.

339.

-2 sinа.

340.

341.

co s'а

342.

343. -sina. 344. -Мм.. 345.

346. 1.

347. 6. 348.

349. -1. 350*.

-щ. Положить

arcqosx = у.

351. к

352. к

353. 1. 354.

етк

355.

е®.

356.

е~*. 357.

ег.

358. 0, если х -> +~;

»,

если

х _> —во.

359. оо, если х-»+<*>;

0, если

х—

360. 1. 361. «>, если

х->+«>;

0, если

х->-~.

362.

е2.

363.

е.

364.

365. к. 366.

к

367. а.

368. к

369. Inа. 370.

371. е. 372*. -|;

к числителю прибавить и отнять единицу.

373.

2.

374.

1.

375.

а-Ъ. 376. 1. 377. 0, если х ->+<»;

оо,

если

х

378.1, если х -» +~; -1, если х ->

379. 1)

а"; 2) 0, если А * 0, а",

если

Л = 0 и а * 0, и оо, если

А = а= 0; 3) yjj.

380. 0, если

х -» -к»; -°о,

если

х —> —о°.

381. При а > 1

предел равен 1, если

х - » +~,

и 0, если х -> -оо. При

а < 1

предел .равен 0,

если х - » -н»,

и 1, если х -» -«о.

При

а = 1

предел

равен ^

382. При а>1

предел равен 1, если

х -> -н»,

и -1,

если

х -> -оо.

При а < 1 -

наоборот. При а= 1 предел равен 0. 383. 0. 384. 0. 385. 1. 386. 0.

387.

-cosa.

388.

389. j. 390*. •s^ .

Умножить и разделить на sin-^-.

391. j. 392.0.393*. - j .

Воспользоватьсяформулой arctgbarctga = arctg-j^-.

394.

395*. Y

Заменить arcsinx

на

arctg-j-x— и воспользоваться указани­

ем к задаче 393. 396.

оо,

если

л<1;

е,

если

л = 1;

1,

если л > L

397*. 1.

Взять вместо cosx выражение l-(l-cosx). 398. —|.

399. к

400. е. 401. еаЬ

402.

v„ высшего порядка малости. 403. и„ и vn - эквивалентные бесконечно

малые. 405. Одного порядка. 406. При х = 0

порядок малости различен. При

х =

величины Ду

и

Дх эквивалентны. 407. Нет. 408. Третьего порядка.

409. 1) 2; 2) ±;

3) 1; 4) 10. 410. х =

411. а= к

412. Нет. 414. 1)

2) g-; 3)

4) эквивалентная бесконечно малая; 5) эквивалентная бесконечно

малая; 6) 1; 7) эквивалентная бесконечно малая; 8) 2; 9) 2; 10) 1; 11)

12) 2.

415.

а2ч/з.

416. 2яЯ2;

4Д2. 418. Из того, что ломаная линия стремится к

ся к длине отрезка. 419. а. 420. a,

421.

2л(Д+г). 422. И отрезок и угол

имеют порядок 1.

425. 1) 10,25; 2) 30,2; 3)

16,125; 4) 40,4; 5) 0,558; 6) 0,145.

426. 1) 10,16; 2)

20,12; 3) 1,02;

4) 4,04.

427. 1а1,01« 0,01; In1,02 = 0,02;