книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdfГлава XIV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Уравнения первого порядка
Уравнения с разделяющимися |
переменными |
||
В задачах 3901-3910 найти общие решения дифференциаль |
|||
ных уравнений: |
|
|
|
3901. |
[ху2 + x)dx + [у - x2y)dy = 0. |
|
|
3902. |
xyyf = 1 - х 2. |
3903. у у ' = |
. |
3904. |
y ' t g x - у = а. |
3905. ху' + у = у2 . |
|
3906. |
У' + J g - O . |
|
|
3907. |
J l - y 2dx + y y ll-x 2dy = 0. |
|
|
3908. |
e~°(l + -g-) = 1. |
3909. у' = 10*+у. |
|
3910. |
у' + s i n = s |
i i l • |
|
3911. Зависимость между скоростью v снаряда и пройден ным путем I в канале орудия устанавливается в баллистике сле
дующим уравнением: v = -^Ц-, где v = -§■ и п < 1. Найти зави- b+ln
симость между временем t движения снаряда и пройденным расстоянием / по каналу.
3912. Если х - количество иодистоводородной кислоты HJ,
разложившееся к моменту времени t, то |
скорость разложения |
|||
определяется |
дифференциальным |
уравнением |
= |
|
= fti(^ L) |
, |
где kit kz и v - постоянные. Проинтегриро |
||
вать это уравнение, ю*
2 9 2 ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В задачах 3913-3916 найти частные решения дифференци альных уравнений, удовлетворяющие данным начальным усло
виям: |
|
|
3913. |
z/'sinх = у\пу; у| |
2=е. |
3915. |
sin у cos х dy = cos у sin х dx; J/|x=0 = j - |
|
3917. Найти линию, проходящую через точку (2, 3) и обла
дающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, за ключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания.
3918. Найти линию, проходящую через точку (2, 0) и обла
дающую тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью ординат имеет постоянную длину, равную двум.
3919. Найти все линии, у которых отрезок касательной ме жду точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.
3920. Найти все линии, у которых подкасательная пропор циональна абсциссе точки касания (коэффициент пропорцио нальности равен к).
3921. Найти линию, проходящую через точку (a, l) и
имеющую подкасательную постоянной длины а.
3922. Найти линию, у которой длина нормали (отрезок ее от точки линии до оси абсцисс) есть постоянная величина а.
3923. Найти линию, у которой сумма длин касательной и подкасательной в любой ее точке пропорциональна произведе нию координат точки касания (коэффициент пропорционально
сти равен k). |
у = f(x) (f (*) > 0, f(0) |
|
|
|
3924. |
Найти линию |
= 0), |
ограничи |
|
вающую |
криволинейную |
трапецию с основанием [0, х], пло |
||
щадь которой пропорциональна (л+1)-й степени |
f(x). |
Известно, |
||
что / (l) = 1. |
|
|
|
|
3925. Материальная точка массой 1 г движется прямоли нейно под действием силы, прямо пропорциональной времени,
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА |
293 |
|
отсчитываемому от момента t = 0, и обратно пропорциональной скорости движения точки. В момент t = 10 с скорость равня
лась 0,5 м /с, а сила - 4 -1 0 -5 Н. Какова будет скорость спустя минуту после начала движения?
3926. Материальная точка движется прямолинейно, причем так, что ее кинетическая энергия в момент t прямо пропорцио нальна средней скорости движения в интервале времени от нуля до t. Известно, что при t = 0 путь s = 0. показать, что движе
ние равномерно.
3927. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоро
стью |
v = 10 |
км/час. На полном ходу ее мотор был выключен, и |
|
через |
t = 20 |
с скорость лодки уменьшилась до |
= 6 км/час. |
Считая, что сила сопротивления воды движению лодки пропор циональна ее скорости, найти скорость лодки через 2 мин после остановки мотора; найти также расстояние, пройденное лодкой в течение одной минуты после остановки мотора.
3928. В дне цилиндрического сосуда с поперечным сечением S и вертикальной осью имеется малое круглое отверстие пло щадью д, закрытое диафрагмой (как у объектива фотоаппарата). В сосуд налита жидкость до высоты Л. В момент t = 0 диа фрагма начинает открываться, причем площадь отверстия про порциональна времени и полностью отверстие открывается за Т с. Какова будет высота Н жидкости в сосуде через Т с после начала опыта? (См. задачи 2701-2706.)
3929. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурами тела и среды. В задачах 2710-2711 мы считали коэффициент пропорциональности постоянным. При некоторых расчетах считают, что он линейно зависит от време ни: k = &0(l + otf). Найти при этом предположении зависимость
между температурой тела 0 и временем t, полагая, что 0 = 0О при t - 0, а температура окружающей среды 0Х.
3930*. Скорость роста площади молодого листа викториирегии, имеющего, как известно, форму круга, пропорциональна окружности листа и количеству солнечного света, падающего на лист. Последнее в свою очередь пропорционально площади лис та и косинусу угла между направлением лучей и вертикалью. Найти зависимость между площадью S листа и временем ?, если известно, что в 6 часов утра эта площадь равнялась 1600 см2,
2 9 4 |
ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
а в 6 часов вечера того же дня 2500 см2. (Полагать, что наблю дение проводилось на экваторе в день равноденствия, когда угол между направлением лучей солнца и вертикалью можно считать равным 90° в 6 часов утра и в 6 часов вечера и 0° в полдень.)
В задачах 3931-3933 при помощи замены искомой функции привести данные уравнения к уравнениям с разделяющимися переменными и решить их.
3931. |
у = cos(х - у) (положить и = х - у). |
|
3932. |
у' = Зх - 2у + 5. |
3933. у'^1 + х + у - х + у - 1 . |
Однородные уравнения
В задачах 3934-3944 найти общие решения уравнений:
3934. |
у’ = 4 - 2 . |
3935. |
у' = |
х-у |
. |
|
X |
|
9 |
|
|
3936. |
xdy - у dx = у dy. |
3937. |
у'= - г ^ . |
||
|
|
|
|
Xs-у* |
|
3938. |
у' = ■* + ■£. |
3939. |
х у '-у - |
<Jx2 + у2 , |
|
|
9 у х |
|
|
|
|
3940. |
у2 + х2у' = хуу. |
3941. |
у'= е* +*-. |
||
|
|
|
У |
|
X |
3942. |
ху' = у 1п-|. |
|
|
|
|
3943. (3y2+3xy + x2)dx = (с2 + 2xy)dy.
фМ
"“ ' - И в
Взадачах 3945-3948 найти частные решения дифференци альных уравнений, удовлетворяющие данным начальным усло виям:
3945. (ху' - у)arctg j = x; у\х=1 = 0.
3946. {у2 - 3x2)dy + 2xydx = 0; y\x_Q= 1.
3947. у' =
у2-2ху-х2 .
у2+2ху-х2 ’
3948. J / fe )2+ 2 * f - j , = 0! y\^0 = f i .
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА |
2 95 |
3949. Привести уравнение у' = ^ + ср(у) к квадратуре. Како
ва должна быть функция ф(^)> чтобы общим решением данного
уравнения было у = ?
3950. Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсе каемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.
3951. Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной равна соответствующей поднормали.
3952. Найти линию, у которой длина полярного радиуса любой ее точки М равняется расстоянию между точкой пересе чения касательной в точке М с осью Оу и началом координат.
3953*. Какой поверхностью вращения является зеркало прожектора, если лучи света, исходящие из точечного источни ка, отразившись, направляются параллельным пучком?
Линейные уравнения
В задачах |
|
|
|
|
|
|
3954. |
у' + 2у = 4*. |
|
3955. |
у' + 2ху = хе~х . |
||
39S6. |
у' + ^X*у = 1. |
3957. |
|l + x2']jy' - 2ху = (l + ж2)2 . |
|||
3958. |
у' + у = cos х . |
3959.он; |
у' + ау = ет |
|||
3960. |
2у dx + (у2 - 6x)dy = О |
|
|
|||
3961. |
у' = — Ц -. |
|
3962. |
у' = T T JL------. |
||
|
2 |
х -у2 |
|
|
У |
2у\пу+у-х |
3963. х { у ' - у ) = ^ |
+ х2)ех. |
|
|
|||
3964. |
у' + уФ' (я) - |
ф(дс)ф'(л:) = 0, |
где Ф(я) - заданная |
|||
функция.
В задачах 3965-3968 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
3965. |
у' - у tg х = sec х; г/|л=0= 0 . |
3966. |
ху' + у - ех = 0; у\х_а=Ь. |
2 9 6 |
ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|||
|
|
|
|
|
|
3967. ч |
| ^ - 0 . |
|
|
|
3968. t ( l t2)dx+ |
= (x + xt2 - t2)dt; |
* |
|(=1- f = |
|
3969. Пусть yi |
и z/2 “ Два различных |
решения уравнения |
|
y' + P(x)y = Q(x). |
|
|
|
|
|
а) Доказать, что |
у = уг + С(у2 ~ Pi) является общим решени |
||
ем того же уравнения (С - константа). |
|
|
||
|
б) При каком соотношении между постоянными а и (3 ли |
|||
нейная комбинация |
cu/i + (3у2 будет решением данного уравне |
|||
ния?
в) Доказать, что если уз - третье частное решение, отличное
от у\ и г/2» то отношение |
— постоянно. |
|
|
|
|
|
|
|
Уз ~2/i |
|
|
х |
^ |
|
|
|
|
|
||
3970. |
Доказать тождество (см. задачу 2345) |
J егх~г*dz = |
||||
|
|
|
|
|
о |
|
— Г |
4 dz, составив |
для функции / (дс) = |
г |
- 2 |
диффе- |
|
= е 4 J е |
|
егх |
2 dz |
|||
0 |
|
|
о |
|
|
|
ренциальное уравнение и решив его.
3971. Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.
3972*. Найти линию, у которой площадь прямоугольника, построенного на абсциссе любой точки и начальной ординате
касательной в этой точке, есть величина постоянная a2j.
3973*. Найти линию, для которой площадь треугольника, образованного осью абсцисс, касательной и радиус-вектором
точки касания, постоянна |= a2j.
3974. Точка массой, равной ту движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности равен fej), протекшему от момента, когда скорость равнялась нулю. Кроме того, на точку действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости (коэффици ент пропорциональности равен К). Найти зависимость скорости от времени.
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА |
2 9 7 |
|
3975. Точка массой, равной т , движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная кубу времени, протекше го с момента, когда скорость была UQ (коэффициент пропорцио нальности равен k). Кроме того, точка испытывает противодей ствие среды, пропорциональное произведению скорости и вре мени (коэффициент пропорциональности равен k{). Найти зависимость скорости от времени.
3976. Начальная температура тела 0О°С равна температуре
окружающей среды. Тело получает тепло от нагревательного прибора (скорость подачи тепла является заданной функцией времени: ccp(f), где с - постоянная теплоемкость тела). Кроме
того, тело отдает тепло окружающей среде (скорость охлажде ния пропорциональна разности между температурами тела и среды). Найти зависимость температуры тела от времени, от считываемого от начала опыта.
Решить задачи 3977-3978, учитывая, что если переменный электрический ток I = l(t) течет по проводнику с коэффициен
том индуктивности L и сопротивлением J7, то падение напряже
ния вдоль проводника будет равно |
+ RI. |
|
3977. Разность потенциалов на зажимах катушки равномер |
||
но падает от |
Е0 = 2 В до Ег = 1 В в течение 10 с. Каков будет |
|
ток в конце |
десятой секунды, если |
в начал опыта он был |
161- А? Сопротивление катушки 0,12 Ом, коэффициент индук
тивности 0,1 Гн.
3978. Найти ток в катушке в момент t, если сопротивление ее Я, коэффициент индуктивности L, начальный ток / 0 = 0 , электродвижущая сила меняется по закону Е = Е0sin (Of.
Разные задачи (уравнения сразделяющимися переменными,
однородные и линейные)
В задачах 3979-3997 найти общие решения уравнений:
3979. |
у' = х2+ху+У - 3980. x2dy + (3 - 2xy)dx = 0. |
|
х2 |
3981. |
х{р2+ \)у + у = х (l + х2)2. |
298 ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3982. |
у' = |
. |
3983. у' = |
|
. |
|
|
|
х |
|
ху[1+х‘ \ |
||
3984. |
(8у +10x)dx + (5i/ + 7x)dy = 0. |
|
|
|||
3985. |
* У |
= у (уг + ж2). |
3986. &3L = tg £ . |
|||
3987. |
(* -ycos^ -)d* + *cos^dy = 0. |
|
|
|
||
3988. |
у' = в21 - еху . |
3989. |
, ix |
, |
= |
|
3990. |
#!■ = ------- Ц - т - . |
3991. (ж - |
2жу - |
y2)dy + уЧ х = 0. |
||
3992. |
у' + у cos * = sin * cos х . |
|
|
|
||
3993. |
(* + l)z /'-n y = ex(* + l ) n+1. |
|
|
|
||
3994. |
у dx = (z/3 - x)dy. |
3995. |
~{x + y ) ^ +xy = 0. |
|||
3996*. yy'sinx = cos* (sin* - y2). |
3997. |
y' = (x + y)2. |
||||
3998. |
Убедиться в том, что интегральными кривыми урав |
|||||
нения (l - х 2)у' + ху = ах |
являются |
эллипсы |
и гиперболы с |
|||
центрами |
в точке (0, а) и осями, параллельными координат |
|||||
ным осям, причем каждая кривая имеет одну постоянную ось, длина которой равна 2.
В задачах 3999-4002 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
3999. |
J£5Kl = 2 |
, у\ |
=1. |
|
х+уу |
*1х=1 |
|
4 0 0 0 - |
|
= 1+ » L o = 1 - |
|
4001. |
(t + е‘ )уу’ = ev ; |
y\xs0= 0. |
|
4002. |
у' = 3*2y |
+ хъ + x 2; y\x_0= 1. |
|
4003. |
Доказать, что |
только прямые у = kx и гиперболы |
|
ху - т обладают следующим свойством: длина полярного ра
диуса любой |
их точки равна длине касательной, проведенной |
в этой точке. |
|
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА |
2 9 9 |
4004. Найти линию, у которой длина нормали пропорцио нальна квадрату ординаты. Коэффициент пропорциональности равен k.
4005. Найти линию, у которой любая касательная пересека ется с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от начала координат.
4006. Найти уравнение линии, пересекающей ось абсцисс в точке, х = 1 и обладающей таким свойством: длина поднормали в каждой точке линии равна среднему арифметическому коор динат этой точки.
4007. Найти линию, у которой площадь трапеции, образо ванной осями координат, ординатой произвольной точки и ка сательной в этой точке, равна половине квадрата абсциссы.
4008. Найти линию, для которой площадь, заключенная между осью абсцисс, линией и двумя ординатами, одна из ко торых постоянная, а другая - переменная, равна отношению куба переменной ординаты к переменной абсциссе.
4009. Найти линию, для которой площадь фигуры, ограни ченной осью абсцисс, двумя ординатами и дугой ММ' этой линии, пропорциональна дуге ММ' при любом выборе точек М и М '.
4010. Найти линию, для которой абсцисса центра масс кри волинейной трапеции, образованной осями координат, прямой
х = а и линией, была бы равна при любом а.
4011*. Найти линию, все касательные к которой проходят через данную точку (*0 , у0).
4012. Найти линию, проходящую через начало координат, все нормали к которой проходят через данную точку (лг0, у0).
4013. Какая линию обладает следующим свойством: угол, составляемый с осью Ох касательной к линии в любой ее точке, вдвое больше угла, который составляет с той же осью полярный радиус точки касания.
4014. На тело массы т = 1 действует сила, пропорциональ ная времени (коэффициент пропорциональности равен k\). Кроме того, тело испытывает противодействие среды, пропор циональное скорости тела (коэффициент пропорциональности равен kfi. Найти закон движения тела (зависимость пути от времени).
3 0 0 |
ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|
4015. Частица падает в среде, сопротивление которой про порционально квадрату скорости частицы. Показать, что урав
нение движения будет 4jL = g - k v 2, где k - постоянная, g -
ускорение силы тяжести. Проинтегрировать это уравнение и
показать, что v стремится к ^ при £ —»+«>.
4016. Сила трения, замедляющая движение диска, вращаю щегося в жидкости, пропорциональна угловой скорости вращения.
1)Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 3 оборота
всекунду, через 1 мин вращается с угловой скоростью 2 оборота
всекунду. Какова будет его угловая скорость через 3 мин после
начала вращения?
2)Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 5 оборотов
всекунду, через 2 мин вращается с угловой скоростью 3 оборота
всекунду. Через сколько времени после начала вращения он будет обладать угловой скоростью, равной 1 обороту в секунду?
4017. Пуля входит в доску толщиной h = 0,1 м со скоростью
v0 = 200 |
м/с, а вылетает из диска, пробив ее, со скоростью |
L>X = 80 |
м/с. Принимая, что сила сопротивления доски движе |
нию пули пропорциональна квадрату скорости движения, най ти, сколько времени продолжалось движение пули через доску.
4018*. Капля воды, имеющая начальную массу Мо г и рав номерно испаряющаяся со скоростью т г/с, движется по инер ции с начальной скоростью ио см/с. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения капли и ее радиусу.
В начальный момент (f = 0) она равна /0 Н . Найти зависимость
скорости капли от времени.
4019*. Капля воды, имеющая начальную массу M Q г , рав номерно испаряющаяся со скоростью т г/с, свободно падает в воздухе. Сила сопротивления пропорциональна скорости дви жения капли (коэффициент пропорциональности равен k).
Найти зависимость скорости движения капли от времени, протекшего с начала падения капли, если в начальный момент времени скорость капли равнялась нулю. Считать, что k * 2т.
4020*. Решить предыдущую задачу для капли сферической формы, предполагая, что сила сопротивления воздуха пропор циональна произведению скорости капли и площади ее поверх ности. Плотность жидкости у • (Привести к квадратурам.)