книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf§ 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КООРДИНАТАМ
281
(1. 1)
3811. Г ху dx + {у - x)dy вдоль линии 1) у = х, 2) у = х г , (о, о)
3)У2 - х у 4) у = х3 .
(1, 1)
3812. I 2xi/ dx + x2dz/ вдоль линии 1)
(0, 0)
у = х , 2) у = х2,
3)у = *3 , 4) у2 = х .
3813. |
j у dx + х dy, |
где L - четверть окружности |
х = J?cos t , |
|||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у - R sin £ от |
= 0 до £2 = \ • |
|
|
|
|
|
||||
3814. |
jy d x - xdy, |
где I, - |
|
эллипс |
x = acos£, |
y = fcsin£, |
||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пробегаемый в положительном направлении. |
|
|||||||||
3815. |
f у d*~x9dy , |
где L |
- |
полуокружность |
х = acos £, |
|||||
|
J |
|
дг+jr |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = £>sin£ от £x = 0 до t2 = п. |
|
|
|
|
|
|||||
3816. |
J(2а - y)dx - |
(а - y)dy, |
где L - |
первая (от начала ко- |
||||||
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ординат) арка циклоиды х = a (t - sin t), |
у = a(l - cos £). |
|||||||||
3817. |
J *2* Г Уг --, |
где L - |
четверть астроиды |
x = R cos3 £, |
||||||
|
L |
X3+l/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i/ = R sin8 £ |
от точки |
{R, 0) до точки |
(о .д ). |
|
||||||
3818. |
j xdx + ydy + (x + у - l)dz, |
где L - отрезок прямой от |
||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки (l, 1, l) |
до точки |
(2 ,3 ,4 ). |
|
|
|
|
||||
3819. |
jyzd x + zx dy + xydz, |
|
где L - |
дуга винтовой линии |
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = R cos £, |
у = R sin £, |
z = ~ |
от точки пересечения линии с |
|||||||
плоскостью |
2 = 0 до точки ее пересечения с плоскостью z = а. |
|||||||||
282 |
|
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
3820. |
(4.4Г4) |
xdx+ydy+zdz _ |
вдоль ПрЯМой линии. |
|
а 11) <x2+y2+z2~x-y+2z |
|
|
3821. |
Jy2dx + z2dy + x2dz, |
где L - линия пересечения сфе- |
|
L
ры х2 + у2 + z2 = R2 и цилиндра х2 + у2 = Rx (Л > 0 , z > 0),
обходимая при интегрировании против часовой стрелки, если смотреть из начала координат.
Формула Грина
В задачах 3822-3823 криволинейные интегралы по замкну тым контурам L, взятые в положительном направлении, преоб разовать в двойные интегралы по областям, ограниченным эти ми контурами.
3822. J (L - х 2)у dx + x (l + y2)d y .
L
3823. J (exy + 2x cosy)dx + (exy - x2sin y)dy.
L
3824. Вычислить двумя способами интеграл задачи 3822, если контуром интегрирования L служит окружность
х2 + у2 = R2 :
1) непосредственно, 2) с помощью формулы Грина. 3825. Вычислить J(ху + х + y)dx + (ху + х - y)d y ,
L
где L: 1) эллипс iy + iY = l ; 2) окружность х2 + у 2 = а х . а Ь
Интегрирование ведется в положительном направлении. (Вычисление провести двумя способами: 1) непосредственно,
2)с помощью формулы Грина.) 3826. Доказать, что интеграл
J (ух3 + ey)dx + (ху3 + хеу - 2y)dy
L
равен нулю, если L - замкнутая линия, симметричная относи тельно начала координат.
§ 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КООРДИНАТАМ |
283 |
|
3827. С помощью формулы Грина вычислить разность меж ду интегралами
|
|
h |
= |
\{x + y)Zd x -(x -y )2dy |
|
|
|
|
АтВ |
И |
|
|
|
|
|
|
h |
= |
J(* + y f dx - (* - y fd y , |
|
|
|
|
AnB |
где |
АтВ - |
отрезок |
прямой, соединяющей точки А ( 0 , 0 ) и |
|
B (l, l), a.AnB - дуга параболы у = х2. |
||||
|
3828. Показать, |
что интеграл J{*cos(iV, х)+ ysin(N, x)}rfs, |
||
|
|
|
|
ь |
где |
{N , х) - |
угол между внешней нормалью к линии и поло |
||
жительным направлением оси абсцисс, взятый по замкнутому контуру L в положительном направлении, равен удвоенной площади фигуры, ограниченной контуром L.
3829. Доказать, что величина интеграла
J(2x y -y )d x + x2dy,
L
где L - замкнутый контур, равна площади области, ограничен ной этим контуром.
3830. Доказать, что интеграл J*<p (f/)dx + [*(p'(i/) + x3\dy ра-
L
вен утроенному моменту инерции однородной плоской фигуры, ограниченной контуром L, относительно оси ординат.
Независимость интеграла от контура интегрирования. Отыскание первообразной
В задачах 3831-3835 проверить, что интегралы, взятые по замкнутым контурам, равны нулю независимо от вида функ ций, входящих в подынтегральное выражение.
3831. J<p(*)ck: + i|/(j/)<fy. |
3832. J f (ху)(ydx + x dy). |
L
3833,
L
284 |
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
3834. j\f(x + y) + f(x -y )]d x + \f(x + y ) -f(x - y )]d y .
L
3835. J'f(p2 + у2 + z2)(x dx + ydy + z dz).
L |
|
3836*. Доказать, что интеграл J * |
* взятый в поло |
жительном направлении по любому замкнутому контуру, за ключающему внутри себя начало координат, равен 2п.
3837. |
Вычислить |
|*d-y~ydf |
вдоль окружности х2 + у2 = 1 |
|
|
|
|
J лг+4уА |
|
в положительном направлении. |
|
|||
В задачах 3838-3844 вычислить криволинейные интегралы |
||||
от полных дифференциалов: |
|
|||
|
(2,3) |
( |
|
(2,1) |
3838. |
J ydx + xdy. |
3839. J 2ху dx + x2dy. |
||
|
(-1. 2) |
|
|
(О, 0) |
|
(5,12) |
|
|
|
3840. |
J xdx^ y^y |
(начало координат не лежит на контуре |
||
|
(з.) |
Х+У |
|
|
интегрирования). |
|
|
||
|
Р2 |
|
|
|
3841. |
f - f**- ty i |
где точки Р\ и Р2 расположены на кон- |
||
|
р V* +Г |
|
|
|
|
м |
|
|
|
центрических окружностях с центрами в начале координат и
радиусами, равными соответственно Ri и |
(начало координат |
||
не лежит на контуре интегрирования). |
|
||
|
(2,1.3) |
(3,2.1) |
|
3842. |
J x d x - y 2dy + zdz. 3843. J yzd x -zxd y + xydz. |
||
|
(1,-1,2) |
(1,2,3) |
|
|
(5,3,1) |
|
|
3844. |
J |
dz-yzdx (K0HTyp интегрирования не пере- |
|
( x - y z f
(7,2,3)
секает поверхности z = ^ ).
§ 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КООРДИНАТАМ |
2 8 5 |
|
В задачах 3845-3852 найти функции по данным полным дифференциалам:
3845. |
du = x 2dx + y2dy. |
3846. |
du = 4(x2 - y2\ x d x -y dy). |
||
3847. |
du = (*+2y)d*+Jdy , |
|
|
||
|
|
(x+y)2 |
|
|
|
3848. |
du = |
■d x - |
х‘ +т[х*+у‘ |
||
|
|
yjx‘2+y‘- 2 |
I |
y2l/x2+y2 <ty- |
|
3849. |
du = |
|
|
|
|
3850. |
du = 12 *cosy - y2sin*)d* + (2у cos x - ж2 sinz/jdy. |
||||
3851. |
du = — i— zid *+ |
( |
» |
\ |
|
|
-2-T- + 1 dy. |
||||
|
|
(l+x2) |
Ь * * 2 |
> |
|
3852. du = |
(**VT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3853. Подобрать число n так, чтобы выражение
(x-y)dx+(x+y)dy полным дифференциалом; найти соответ- (х2+у2)"
ствующую функцию.
3854. Подобрать постоянные а и Ь так, чтобы выражение
[y2+2xy+axz)dx-(x^+2xy+by_)dy_ $ыло полным дифференциалом; (* W )
найти соответствующую функцию.
В задачах 3855-3860 найти функции по данным полным дифференциалам:
3855. |
du = dx+iy+d2. |
3856. |
d u |
- ^ |
y y f r . |
||
|
x+y+z |
|
|
|
Vx2+y2+Z2 |
||
3857. |
du = У‘ <ь+»&**Ч<ь. |
3858. |
|
du = 2(” |
4y.x„fe-yxdx) |
||
|
|
l+ary2z2 |
|
|
|
|
{x-yzf |
3850. |
du = ^ |
* ' + a !z ^ £ id Z. |
|
|
|
|
|
3860. |
JL |
i |
'i |
' |
]L |
L |
' |
du = e2dx + «lfetl2 + zeyz |
dy + |
|
i ^ |
+ye^+e'1 dz. |
|||
|
|
г |
|
|
|
|
|
< |
) |
\ |
/ |
2 8 6 |
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
|
|
Применения интегралов |
В задачах 3861-3868 вычислить при помощи криволинейно го интеграла площади фигур, ограниченных замкнутыми ли
ниями. |
|
|
|
3861. |
Эллипсом |
х = a cos t , |
у = Ьsin t . |
3862. |
Астроидой |
х = a cos31, у = а sin31. |
|
3863. Кардиоидой х - 2аcost - a cos21, y=2asint-a sin21. |
|||
3864*. Петлей декартова листа x3 + у3 - 3аху = 0. |
|||
3865. Петлей линии (х + y f |
= ху . |
||
3866. Петлей линии (я + y f |
= х2у . |
||
3867*. Лемнискатой Бернулли [х2 + у2j = 2а2{х2 - г/2|.
3868*. Петлей линии (4х + Jy j = ху .
Работа
3869. В каждой точке плоскости на материальную точку действует сила, имеющая постоянную величину F и направле ние положительной оси абсцисс. Найти работу, совершаемую этой силой, при движении точки по дуге окружности
х2 + у2 = R2, лежащей в первом квадранте.
3870. В каждой точке плоскости на материальную точку
действует сила F, проекции которой на оси |
координат равны |
X = ху, Y - x + y. Вычислить работу силы |
F при перемеще |
нии точки из начала координат в точку ( l ,l ) : 1) по прямой
у = х; 2) по параболе у = х2; 3) по двузвенной ломаной, сторо
ны которой параллельны осям координат (два случая).
3871. В каждой точке М эллипса х = a cos t , у = Ъsin t
приложена сила F, равная по величине расстоянию от точки М до центра эллипса и направленная к центру эллипса, а) Вычис лить работу силы F при перемещении точки вдоль дуги эллип са, лежащей в первом квадранте, б) Найти работу, если точка обходит весь эллипс.
§ 3. ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ |
2 8 7 |
|
3872. Проекции силы на оси координат задаются формулами
X = 2ху и Y = х2 . Показать, что работа силы при перемеще
нии точки зависит только от начального и конечного ее поло жения и не зависит от формы пути. Вычислить величину рабо ты при перемещении из точки ( l , 0) в точку (0,3).
3873. Сила по величине обратно пропорциональна расстоя нию точки ее приложения от плоскости хОу и направлена к началу координат. Вычислить работу при движении точки под действием этой силы по прямой х = at, у = bt, z - c t от точки
М (а, by с) до точки N(2at 26, 2с).
3874. Сила по величине обратно пропорциональна расстоя нию точки ее приложения от оси Oz, перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу силы при движении точ ки под действием этой силы по окружности х = cos t , у = 1,
z = sin t от точки М (l, 1, 0) до точки # (О,1,1).
3875. Доказать, что работа силы тяготения двух точечных масс, совершаемая при перемещении одной из них, не зависит от формы пути. Величина силы тяготения F определяется зако
ном Ньютона: F = й—^ - , где г - расстояние между точками,
г
mi и m2 - массы, сосредоточенные в этих точках, к - гравита ционная постоянная.
§ 3. Интегралы по поверхности
Интегралы по площади |
поверхности |
||
* В задачах 3876-3884 вычислить интегралы: |
|||
3876. |
JJ(z + 2* + | y)dq% где |
S |
- часть плоскости |
f + f + 4 |
= I ’ лежа1Чая в пеРВ0М октанте. |
||
3877. |
JJ xyz dqt где S - часть |
плоскости х + у + г - 1, ле |
|
жащая в первом октанте.
2 8 8 |
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
3878. JJJcdq, где S - часть сферы х2 + у2 + z2 = Д2, лежа-
s
щая в первом октанте.
3879. JJу dq, где S - полусфера z = ^R2 - х2 - у 2.
s
3880. |
JJ^R2 - х2 - y2dq, где S - |
полусфера z = yR 2 - хг - у2. |
|
s |
|
3881. |
j j * 2y2dq, где S - полусфера г = -/к2 - х2 - у2, |
|
|
s |
|
3882. |
JJ-% где S - цилиндр |
х2 + у2 = J?2, ограниченный |
|
s |
|
плоскостями 2 = 0 и z = Н, а г - |
расстояние от точки поверх |
|
ности до начала координат. |
|
|
3883. |
JJ—» гДе «5 - сфера х2 + у2 + г2 = Д2, а г - расстоя- |
|
|
s Г |
|
ние от точки сферы до фиксированной точки Р (О, 0, с) (с> R).
3884. JJ~> где S - часть поверхности гиперболического s
параболоида z = ху, отсеченная цилиндром х2 + у2 = Д2, а г - расстояние от точки поверхности до оси Oz.
3885*. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от некоторого фиксированного диаметра сферы.
3886. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки от неко торого фиксированного диаметра сферы.
Поверхностные интегралы по координатам
В задачах 3887-3893 вычислить поверхностные интегралы.
3887. JJх dy dz + у dx dz + z dx dy, где |
S - |
положительная |
s |
|
|
сторона куба, составленного плоскостями |
д = 0, |
у - 0, 2 = 0, |
х = 1, у = 1, 2 = 1. |
|
|
|
|
|
§ 3. ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ |
2 89 |
||||
|
|
J |
Jx2y2z dx dy, |
|
|
|
||
3888. |
где S - |
положи- |
|
|
||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
тельная сторона нижней половины сферы |
|
|
||||||
х 2 + у2 + г2 = R2. |
|
|
|
|
|
|||
3889. |
JJzd xd y, |
где S - внешняя сто- |
|
|
||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 2 |
у2 |
z 2 |
|
|
|
рона эллипсоида ■^- + -2т + ~- = 1. |
|
|
|
|||||
|
|
J |
а* |
гг |
сг |
|
|
|
3890. |
Jz2dxdy, |
где S - |
внешняя |
сторона эллипсоида |
||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
^i + l l + id = i |
|
|
|
|
|
|||
_2 ~ |
L2 ~ |
2 |
А* |
|
|
|
|
|
а |
о |
с |
Jxz dx dy + ху dy dz + yz dx dz, где S - |
|
||||
3891. |
J |
внешняя сто- |
||||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
у = 0, г - 0 |
рона пирамиды, составленной плоскостями |
д = 0, |
|||||||
и x + y + z = 1.
3892. J Jyz dx dy + xz dy dz + xy dx dz, где S - внешняя сто
рона поверхности, расположенной в первом октанте и состав
ленной |
из |
цилиндра х2 + у2 = R2 и плоскостей |
х = 0, у = 0, |
z - 0 и |
z = Н . |
|
|
3893. |
JJy2z dx dy + xz dy dz + x2y dx dz, где |
S - внешняя |
|
s
сторона поверхности, расположенной в первом октанте и со ставленной из параболоида вращения z = х2 + у2, цилиндра
х 2 + у 2 = 1 и координатных плоскостей (рис. 55).
Формула Стокса
3894. Интеграл J(i/2 + z2)d^+(jc2 + 22)di/ + (jc2 + i/2)dz, взятый
L
по некоторому замкнутому контуру, преобразовать с помощью формулы Стокса в интеграл по поверхности, «натянутой» на этот контур.
10-2525
2 9 0 |
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
3895. Вычислить интеграл |
J х‘2ys dx + dy + z dz, где контур |
|
|
L |
|
L - окружность x2 +y2 = R 2, |
z = 0: а) непосредственно |
и |
б) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности |
по |
|
лусферу z = +V-R2 - X2 - у2 . Интегрирование по окружности в
плоскости хОу ведется в положительном направлении.
Формула Остроградского
3896. Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности преобразовать с помощью формулы Остроградского в тройной интеграл по объему тела, ограниченного этой поверхностью:
J Jx2dy dz + y2dx dz + z2dx dy. Интегрирование ведется по внеш- s
ней стороне поверхности S.
3897. Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности преобразовать с помощью формулы Остроградского в тройной по объему тела, ограниченного этой поверхностью:
1 № + у2+22{cos(i7, *)+cos(N, y)+cos(iV, z)}da, s
где N - внешняя нормаль к поверхности S.
3898. Вычислить интеграл задачи 3897, если S - сфера ра диуса R с центром в начале координат.
3899. Вычислить интеграл
Я !** cos (N, х ) + у3 cos (N, у)+z3 cos (N, z)]<ia, s
где S - сфера радиуса R с центром в начале координат, а. N - внешняя нормаль.
3900. Вычислить интегралы в задачах 3891-3893, применяя формулу Остроградского.