Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1267 вузов, 4648 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Сборник задач по курсу математического анализа

..pdf
Скачиваний:
36
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
19.54 Mб
Скачать
☆

 

§ 3. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

311

 

 

 

 

 

 

 

 

4187.

 

- у ) 2 = 0.

4188. m r -v jp lrf-g ').

В задачах 4189-4199 найти частные решения уравнений при

указанных начальных условиях:

 

 

 

 

4189.

у“\х2+ l) = 2жу';

у|х=0= 1,

У'1«о = 3 '

 

4190.

ху'+ х(у')2 - у '= 0; у|х=2= 2 ,

у'|х=2 = 1.

 

4191.

y" = £ + f ;

J/L =2=°'

» ' L

 

= 4 -

 

4192.

2у" = Зу2 ;

у|х=_2=1,

y

^ ^

- l .

 

4193. yy" = {y’f - ( y ' f ;

у|х=1 = 1,

i''|a;=i= -!•

 

4194.

у9у" = -1 ; У|1=1 = 1.

!/l= i = 0 -

 

4195.

у4 - у*у" = 1; l/Lo = ^

 

 

= X -

 

4196.

у" = е2у; у|х=0= 0 , у'|1=0=1.

 

4197.

2(у')2 = У % -1 );

? L

= 2'

 

 

 

4198*.

xiy" = (у -

x y 'f ; у|х=1=1,

 

у'|х=1=1.

 

4199.

у" = ху' + у + 1; у|х, 0 = 1, И *.о= 0 -

 

4200*. Какая линия обладает тем свойством, что радиус кривизны в любой ее точке пропорционален длине нормали? Принять коэффициент пропорциональности k = -1 , +1, -2 , +2.

4201. Найти линию, для которой проекция радиуса кривиз­ ны на ось Оу есть величина постоянная, равная а.

4202. Найти линию, проходящую через начало координат, у которой отношение площади треугольника МТР (рис. 57)

образованного касательной в какой-

 

нибудь точке М линии, ординатой

/

этой точки МР и осью абсцисс, к

площади криволинейного треуголь­

 

ника ОМР равно постоянному числу

 

h (* > 1 ).

 

4203. Найти линию, длина дуги

 

которой, отсчитываемая от некото-

Рис. 57

 

3 1 2

 

 

ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

рой точки, пропорциональна угловому коэффициенту касатель­

ной в конечной точке дуги.

 

 

 

4204.

 

Точка массы т вертикально брошена вверх с началь­

ной скоростью v0. Сила сопротивления воздуха равна kv2. По­

этому,

если

принять вертикаль за ось Оу, то при движении

вверх

имеем

d*y

,

2

dry

т—тг = -mg - kv

, а при падении

m—f = -mg +

 

 

 

dt2

 

 

di

+ kv2,

где

v - ^ - . Найти

скорость, которую будет иметь тело

 

 

 

at

 

 

 

в тот момент, когда оно падает на землю.

4205. Тонкая гибкая и нерастяжимая нить подвешена за оба конца. Какую форму в равновесии примет нить под действием нагрузки, равномерно распределяющейся по проекции нити на горизонтальную плоскость? (Весом нити пренебрегаем.)

4206. Найти закон прямолинейного движения материальной точки массы т, если известно, что работа силы, действующей в направлении движения и зависящей от пути, пропорциональна времени, протекшему с момента начала движения. Коэффици­ ент пропорциональности равен Л.

4207*. Луч света из воздуха (показатель преломления т0) падает под углом а 0 с вертикалью в жидкость с переменным

показателем преломления. Последний линейно зависит от глу­ бины и постоянен в плоскости, параллельной горизонту; на поверхности жидкости он равен т\, а на глубине h он равен Найти форму светового луча в жидкости. (Показатель прелом­ ления среды обратно пропорционален скорости распространения света.)

Частные случаи уравнений более высоких порядков

В задачах 4208-4217 найти общие решения уравнений:

4208.

у'" = J-.

4209.

у = cos 2*.

4210. ух = еа‘ .

4211.

x2y’ = (y’ f -

4212.

xyv = ylv .

4213.

у"' = ( y " f .

4214.

у у " = 3 (y'f.

4215.

уу"' - у'у" = 0.

4216.

y’ [l + (y'f\=Z yb’ Y-

4217.

( / ) * - / » " = (£)*.

__________________ § 3. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

313

Приближенные решения

 

4218. При исследовании колебания материальной системы с одной степенью свободы встречается дифференциальное урав­

нение вида у" = Д(л:)+ /г Ы + /3(2/0* Решить это

уравнение гра­

фически, если

 

 

 

 

 

 

 

 

!)/i(*)=0,

/2 (2/

)

=

fsil/ ) = ®>5у'

и у \х=0 = У'\х=о = 0;

2)

А (*)= “ *.

/2(2/)= °»

/з(2/0= -

ОД2/' - ОДг//3 и

2/|г=0=2/'|х=0= 1 -

4219.

у" = уу' - х2;

у\х=0=1,

У'\х=0 = 1-

 

 

1) Решить данное уравнение графически.

 

 

2)

Найти несколько

первых

членов

разложения

решения

в степенной ряд.

 

 

 

 

 

 

 

 

4220.

Найти шесть первых членов разложения в ряд реше­

ния дифференциального уравнения 2/# = ~

удовлетворяю­

щего начальным условиям у\х=1= 1 ,

= 0 .

 

 

4221.

Найти в форме степенного ряда частное решение урав­

нения

у" = х sin у' ,

удовлетворяющее

начальным

условиям

у\х=1= 0 ,

 

 

(Ограничиться шестью первыми членами.)

4222.

Найти в форме степенного ряда частное решение

у = f(x)

уравнения

у 0= ху у \ удовлетворяющее начальным ус­

ловиям

f (О) = 1,

f (О) = 1.

Если

ограничиться

пятью

первыми

членами разложения, то будет ли этого достаточно для вычис­ ления / ( - 0,5) с точностью до 0,001?

4223. Найти семь первых членов разложения в ряд решения

дифференциального уравнения уу0 + у' + у = 0,

удовлетворяю­

щего начальным условиям 1/|Л=0 = 1 * У1Х=0= 0 .

Какого порядка

малости будет при JC —> 0 разность у - (2 - х - е"*)?

4224. Найти 12 первых членов разложения в ряд решения

дифференциального уравнения

у” + уу - 2 = 0,

удовлетворяю­

щего начальным условиям у|

0= 0, у,|х=0= 0 .

Вычислить ин­

теграл ^ydx с точностью до 0,001. Вычислить

i/|x_06 с точно-

о

 

 

стью до 0,00001.

 

 

314 ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4225*. Электрическая цепь состоит из последовательно со­ единенных индуктивности L = 0,4 Гн и электрической ванны. В ванне находится литр воды, подкисленной небольшим коли­ чеством серной кислоты. Вода разлагается током, при этом меняются концентрация, а следовательно и сопротивление раствора в ванне. Напряжение на клеммах поддерживается постоянным (20 В). Количество вещества, выделяющееся при электролизе, пропорционально току, времени и электрохими­ ческому эквиваленту вещества (закон Фарадея). Электрохими­ ческий эквивалент воды равен 0,000187 г/Кл. Сопротивление раствора в начале опыта Л0 = 2 Ом, начальный ток 10 А.

Найти зависимость (в форме степенного ряда) объема воды в сосуде от времени.

4226*. Электрическая цепь состоит из последовательно со­ единенных индуктивности L = 0,4 Гн и электрической ванны, первоначальное сопротивление которой 2 Ом. В ванне в литре воды растворено 10 г хлористого водорода. Кислота разлагается током, при этом меняется концентрация раствора (ср. с преды­ дущей задачей, где количество растворенного вещества не ме­ нялось, а менялся объем растворителя). Напряжение на клем­ мах цепи 20 В, электрохимический эквивалент k хлористого водорода равен 0,000381 г/Кл, начальный ток 10 А. Найти за­ висимость (в форме степенного ряда) между количеством соля­ ной кислоты в растворе и временем.

§ 4. Линейные уравнения

4227. Функции хг и *4 удовлетворяют некоторому однород­ ному линейному дифференциальному уравнению второго поряд­ ка. Убедиться, что они образуют фундаментальную систему, и составить уравнение.

4228. То же для функций ех и х2ех.

4229. Функции х, хъ и ех образуют фундаментальную систе­ му решений линейного однородного уравнения третьего поряд­ ка. Составить это уравнение.

4230. Функции х2 и х3 образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения второго порядка. Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям у\х=1=1, У1 Х=1= 0.

§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

315

4231. Функции cos2 х и sin2 х удовлетворяют некоторому линейному однородному уравнению второго порядка:

а) проверить, что они составляют фундаментальную систему решений; б) составить уравнение; в) показать, что другой фун­ даментальной системой этого уравнения являются функции 1 и cos 2х.

4232*. Если у\ есть частное решение уравнения y' + y'P(x)+yQ(x)= О,

ТО

 

 

 

у2 = СухГ e~^P^ dx

(С - постоянная)

 

 

 

 

 

 

J

 

 

Ух

 

 

 

 

 

 

тоже является решением. Показать это тремя способами:

1)

непосредственной

проверкой,

2)

заменой у = yYz , 3) из

формулы Остроградского.

 

 

 

 

 

 

 

 

4233.

Пользуясь формулой задачи 4232, найти общее реше­

ние уравнения |l - х2^у" - 2ху' + 2у = 0,

зная

его частное ре­

шение ух = х .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4234.

Решить уравнение

у" + ^у' + у = 0,

зная его частное

решение уг =

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4235.

Уравнение

\^х - я2 J у" + |дс2 - 2^у' + 2 (l -

х) у = 0 име­

ет решение у = ех.

Найти решение

уравнения, удовлетворяю­

щее начальным условиям у'|

 

= 0,

y'\x=l = 1.

 

 

 

4236*. Найти необходимое и достаточное условие для того,

чтобы

уравнение у" + у'Р (я) - yQ (я) -

0

имело

два

линейно

независимых

решения

у\

и

у2 , удовлетворяющих

условию

У1У2 = 1-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4237*.

Найти

общее

решение

уравнения

( l - * 2)z/#-

-ху + 9у = 0,

если его частное решение есть многочлен третьей

степени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В задачах 4238-4240 легко подобрать одно частное решение

(не считая тривиального

у = 0 ) для данного уравнения. Найти

общие решения этих уравнений:

 

 

 

 

 

 

4238.

у" - tg х •у' + 2у = 0.

4239. у" - у' + ^ = 0.

 

316

ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4240.

!/" - - | £- у ' + 4 £7 = 0.

 

 

х2+1

4241.

Найти общее решение уравнения х3у” -З х 2у'+ 6ху'-

-6 у = 0,

зная частные решения ух = х и у2 = х2.

В задачах 4242-4244 найти общие решения неоднородных

уравнений:

 

4242.

х2у" -х у ' + у = 4х3.

4243.

у " - - ^ у ' + - ^ У = х - 1 -

4244.

(зле + 2х2)у* -

6 (l + х) у + 6у = б .

4245.

Уравнение

(l + х2)у' + 2ху' - 2 у - 4х2 + 2 допускает

частное решение у = х2. Найти решение этого уравнения, удов­ летворяющее условиям у\х=_х= 0, 1/,|х=_1 = 0 .

4246. Найти шесть первых членов разложения в степенной

ряд решения дифференциального уравнения у" - |l + х2^у = О, удовлетворяющего начальным условиям у|х=0= -2 ,, у'\x=Q=2 .

4247. Найти девять первых членов разложения в степенной

ряд решения дифференциального уравнения

у" - х2у - у',

удовлетворяющего начальным условиям у\х_0= 1,

У'\х=0= 0.

4248. Записать в виде степенного ряда частное решение

уравнения у " - х у ' + у - 1 = 0; J/|x=0= 0 , у'|х=0= 0 .

 

4249. Записать в виде степенного ряда общее решение урав­

нения у" = уех. (Ограничиться шестью первыми членами.)

4250. Записать в виде степенного ряда общее решение урав­

нения у" + ху' - х2у = 0. (Ограничиться шестью первыми чле­ нами.)

Уравнения с постоянными

коэффициентами

В задачах 4251-4261 найти общие решения уравнений:

4251.

у" + у '-2 у = 0.

4252.

у " - 9 у = 0.

4253.

у" - 4у' = 0.

4254.

у " - 2 у , - у = 0 .

 

§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3 1 7

4255.

3у" - 2у' - Ъу = 0.

4256.

у" + у = О.

 

4257.

у" + 6у' + 13г/ = 0.

4258.

4у" - Ъу' + by = О.

 

4259.

у " -2 у ' + у = 0.

4260.

4 - ^ - 2 0 - ^ - +25* = 0.

 

4261.2у" + у' + 2 sin2 15° cos2 15°-z/ = 0.

В задачах 4262-4264 найти решения уравнений, удовлетво­ ряющие указанным начальным условиям:

4262.

у" - 4z/' + Зу = 0;

И „ о = 6 -

И ,= о = 10-

 

у" + ±у' + 29у = 0 ;

4263.

ОII О

И , = 0 = 1 5 -

4264.

4у" + 4z/' + у = 0 ;

 

И *= 0 = 2 ,

И ^ о ' 0 -

 

 

4265.

Дано частное решение некоторого линейного однород-

ного уравнения второго порядка с постоянными коэффициента­ ми уу = етх. Дискриминант соответствующего характеристиче­

ского уравнения равен нулю. Найти частное решение этого дифференциального уравнения, обращающееся вместе со своей производной в 1 при х = 0.

4266. Найти интегральную кривую уравнения у" + 9у = 0, проходящую через точку М (л, - 1) и касающуюся в этой точке прямой у +1 = х —п .

4267. Найти интегральную кривую уравнения у" + ky = 0, проходящую через точку М (х0, у0) и касающуюся в этой точке прямой у - у 0 = а (х - *0).

В задачах 4268-4282 составить общие решения неоднород­ ных уравнений, находя их частные решения либо подбором, либо методом вариации произвольных постоянных:

4268.

2у" + у' ~ У = 2ех .

4269.

у" + а2у = ех.

4270.

у" -

7у' + 6у = sin х .

4271.

у" + 2у* + Ъу = - Ц- cos 2х.

4272.

у" - 6z/' + 9у = 2х2 -

х + 3.

 

 

4273.

у" - 2у' + 2у = 2х.

4274.

у" + 4у' - Ъу = 1.

4275.

у*- 3у +2у = f(x) t если f (г) равна:

 

1)

10е~х ;

2)

Зе2*;

3) 2sin x;

4 )2 x 3 - 3 0 ;

5 )2 e x cos-|;

6)

х - е ~ 2х +1;

7)

е*(3- 4 * ); 8) 3x + 5sin2x;

9) 2ех -еГ 2х;

10)

sin^sin2jc;

11)

эЬл:.

 

 

318

ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4276. 2у" + by = f (ас), если

/(* ) равна:

 

 

1)

5х2 - 2 х - 1; 2) ех ;

3)

29cos*;

4)

cos2 х;

5)

ОДе~2,6х - 2 5 sin2,5л;

6)

29*sin *;

7)

100*е'х cos * ;

8)3 ch | * .

4277.

у " -4 у ' + 4y = f(x),

если f(x) равна:

 

 

1)1;

2) е~х ;

3 )3 е2х;

4) 2 (sin2* + х);

5)

sin х cos 2х;

6) sin8# ;

7) 8^х2 +е2х+sin2xj;

8) sh2л:;

9)

shx + sin x;

10) ех —sh (JC—l ) .

 

 

 

 

 

 

 

4278.

у" + у = f(x),

если

f(x )

равна:

 

 

 

l ) 2 x s - x

+ 2;

2)

-8cos3x;

3)

cosx;

4)

sin x - 2e~x ;

5)cos*cos2x; 6) 24sin4* ; 7) chx .

4279. by" - Gy' + by = / (ж), если f (я) равна:

1)

be** ;

2) sin—* ;

3) e2x + 2x3 - x + 2; 4) e*

cos*;

5)

e * sin-g-*;

6)

13ex ch * .

 

4280.

y" + y + ctg2 * = 0.

4281. y" - 2 y' + y =

.

4282.

y " - y ' = f{x),

если /(* ) равна:

xz+l

 

1)

 

2)

e2xJ l - e 2x ; 3)

e2xcosex .

 

В задачах 4283-4287 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

4283.

4у " + 16у' + 15у = 4е' ¥ ;

И .=о=3 - 4

4284.

у " - 2у' + 10у = 10хг +18*+ 6;

у|1=0=

4285.

У" - у ' = 2(1 -л :) ; И „ « = 1 '

4

=о= 1 -

4286.

у " - 2 у' = ех(х2 +дс-3) ;

4

= »= 2, 4

4287.

у " + у + sin 2х =

 

 

 

 

° :

 

 

 

§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

319

4288*. Показать, что частное решение у

уравнения

аоУ + « iУ +а2У = Аерх (а0, аъ а2 - постоянные коэффициенты,

р и А - действительные или комплексные числа) имеет вид

У ~ ~<pfpjePX’ если Р не является корнем характеристического уравнения <р (г) = а0г2 + арг + а2 = 0; у = Щр]еРХ* если Р ~ ПР°"

стой корень характеристического уравнения; у = ерх, если

р—двойной корень характеристического уравнения.

Взадачах 4289-4292 найти общие решения уравнений Эй­

лера:

4289.

х2у" - 9ху' + 21у = 0.

4290. х2у"

+ ху' + у = х.

4291.

у" - У- + -3L =

4292.

х2у" - 2xyf

+ 2у + х - 2х3 = 0.

4293. Если ось вала турбины расположена горизонтально и если центр масс диска, насаженного на вал, не лежит на оси, то прогиб у оси вала (рис. 58) при его вращении удовлетворяет

уравнению - со2)у = geos cat + о)2а, где т - масса дис­

ка, а - постоянное число, не зависящее от рода закрепления концов А и В; со - угловая скорость вращения, е - эксцентри­ ситет центра масс диска. Найти общий интеграл этого урав­ нения.

4294. Материальная точка массы 1 г отталкивается вдоль прямой от некоторого центра с силой, пропорциональной ее расстоянию от этого центра (коэффициент пропорциональности равен 4). Сопротивление среды пропорционально скорости дви­ жения (коэффициент пропорциональности равен 3). В начале движения расстояние от центра равно 1 см, а скорость - нулю. Найти закон движения.

4295. Частица массы 1 г движется по прямой к точке А под действием некоторой силы притяжения, пропорциональной

расстоянию ее от точки А. На

 

расстоянии

1 см действует сила

 

10-6 Н.

Сопротивление

среды

 

пропорционально скорости дви­

 

жения и равно 4 10”

Н при

 

скорости

1

см/с. В момент

Рис. 58

 

 

 

 

3 2 0

ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

t = 0 частица расположена на расстоянии 10 см от точки А и скорость ее равна нулю. Найти зависимость расстояния от вре­ мени и вычислить это расстояние для t = 3 с (с точностью до 0,01 см).

4296. Материальная точка массы тп движется по прямой из А в В под действием постоянной силы F. Сопротивление сре­ ды пропорционально расстоянию тела от В и в начальный мо­ мент (в точке А) равно f (f < F). Начальная скорость точки равна нулю Сколько времени точка будет двигаться из А в В

(АВ = а)?

4297. Тело массы 200 г подвешено на пружине и выведено из состояния покоя вытягиванием пружины на 2 см, после чего отпущено (без начальной скорости). Найти уравнение движения тела, считая, что сопротивление среды пропорционально скоро­ сти движения. Если тело движется со скоростью 1см/с, то среда оказывает сопротивление 10-3 Н; сила напряжения пружины при растяжении ее на 2 см равна 100 Н. Весом пружины пре­ небрегаем.

4298. Деревянный цилиндрический чурбанчик (5 = 100 см2, h = 20 см, у = 0,5 г/см3) полностью погружен в воду и отпущен

без начальной скорости. Считая, что сила трения пропорцио­ нальна высоте погруженной части, выяснить, каков должен быть коэффициент пропорциональности ft, чтобы в результате первого подъема над поверхностью воды показалась ровно поло­ вина чурбанчика.

Сколько времени (f^) будет продолжаться первый подъем?

Каково будет уравнение движения при первом подъеме? 4299*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угло­

вой скоростью со вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси. В начальный момент на расстоянии а$ от оси внутри труб­ ки находился шарик массы т. Считая, что в начальный момент скорость шарика относительно трубки была равна нулю, найти закон движения шарика относительно трубки.

4300. Решить предыдущую задачу в предположении, что шарик прикреплен к точке О пружиной. Сила действия пружи­

ны на

шарик пропорциональна деформации пружины, сила

ft •10"5

Н вызывает изменение длины пружины на 1 см. Длина

пружины в свободном состоянии равна а0*

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности