книги / Сферическая астрономия

Подставляя вместо то, по полученные выше значения, находим разложения для прецессионных величин га , 0а >Са -

Са = 230672181* + 0730188*2 + 0 " 017998*3,

гА = 230672181* + 1709468*2 + 07018203*3,

Международный астрономический союз рекомендовал исполь­ зовать разложения (6.5-67) и (6.21), начиная с 1984 г.

Заметим, что матрицу прецессии можно найти, используя фор­ мулы (6.5-67) для вычисления углов х, г', где го = 23°26/21/,'448 на эпоху 32000.0. Используя рис. 6.4, получим, что для преобразова­ ния координат от эпохи То на эпоху Т нужно выполнить четыре вра­ щения. Значит матрица

Матричные уравнения (6.19) и (6.22) являются точными, но вы­ числения трудоемки. Для приближенных вычислений раньше ис­ пользовались более простые формулы. Допустим, что звезда на эпо­ ху То имеет экваториальные координаты ао, ^о и эклиптические ко­ ординаты /?о,Ао, а на эпоху Т — а, 6 и /3, А, соответственно. Если предположить, что за короткий промежуток времени между двумя эпохами То и Т положение эклиптики не меняется, то, очевидно, эклиптическая широта звезды не меняется. Так как точка весенне­ го равноденствия смещается из-за прецессии навстречу движению Солнца (см. рис. 6.5), то эклиптическая долгота звезды увеличится на величину р\(Т —То), если разница эпох т = Т —То измеряется в годах. Таким! образом, изменение эклиптических координат из-за лунно-солнечной прецессии:

А(3 = Д - /? 0 = 0,

ДА = А —Ао — р\т.

Чтобы найти изменение экваториальных координат, воспользу­ емся уравнением (2.11):

81П 6 = С08 (3 8 Ш А 81П 6 + 81П (3 С О 8 6 .

Предположим, что за промежуток времени т наклон эклиптики к эк­ ватору не меняется, т. е. е = е' (рис. 6.5). Тогда изменение склонения

связано с изменением эклиптической долготы посредством уравне­ ния:

со$8А8 = соз/?со8 АзтгДА.

Воспользовавшись уравнением (2.9)

С08 /3С08 А = С08 8 С08 а ,

найдем, что изменение склонения

Д<* = р\т со8 а з т е.

Дифференцируя (2.9), получим:

соз 88Ш а Д а = соз /38 т АДА —8 т 8сое а А8

или, после подстановки А8 и ДА:

С0 8 881П а Д а = Р1 Т(с0 8 /?8 Ш А —81П 8 С0 8 2 а&те).

Исключить эклиптические координаты можно, используя формулу подобия (2.14). После преобразований получим, что изменение пря­ мого восхождения звезды

Д а = р1 т(со8 С + 1%С т а е т е ) .

Таким образом, если звезда находится достаточно далеко от по­ люса мира и интервал времени т мал (порядка года или меньше), то для перевода экваториальных координат от эпохи То к эпохе Т мож­ но использовать формулы:

а —ао = га + п <5' 8т а ' ,

8 — 8о = п сое а '.

Повторим, что эти формулы приближенные. Поэтому они могут использоваться лишь для оценки прецессионного изменения коор­ динат звезд.

Правые части вычисляются итерациями: на первом шаге пола­ гают о! = ао, 89 = 8о и определяют а(°), 8^°\ Результатом пер­ вой итерации являются полусуммы: а '^ = 1/2(ао + а(°)), Я'^1) = 1/2(8о + <$(°)). Значения а'^1), подставляют в правые части урав­ нений и выполняют вторую итерацию, и т. д., пока результаты к-ои

При наблюдениях внегалактических радиоисточников считает­ ся, что их собственные движения равны нулю. Следовательно, отли­ чие от нуля правой части уравнения (6.23) означает неточность тео­ рии прецессии. Приравнять правую часть (6.23) нулю можно, изме­ нив постоянные прецессии. На этом принципе основано уточнение этих постоянных из радиоинтерферометрических наблюдений.

6.3.Прецессионные параметры в теории 1АШ000

С1 января 2003 г. по решению Генеральной Ассамблеи МАС

2000 г. рекомендуется использовать новую теорию прецессии-нута­ ции 1АШ000 взамен теории ГАИ1980. На основе анализа 20-летних наблюдений на РСДБ были определены поправки к ф\ (к дуге

эклиптики эпохи 52000.0 между средними экваторами эпох Т и 5 2 0 0 0 .0 ) и углу е' между эклиптикой эпохи 5 2 0 0 0 . 0 и средним эк­ ватором эпохи Т (см. рис. 6.4). Обозначим эти поправки как Д^х и Ае', соответственно. Согласно принятой МАС теории 1А112000 эти поправки равны (см. «Стандарты МСВЗ»):

Аф\ = (-0,29965 ± 0,0004)"/столетие,

Ае* = (-0,02524 ± 0,0001)"/столетие.

Заметим здесь, что точность определения поправок Аф\ и Ас' силь­ но завышена. На основе сравнения нескольких теорий прецессиинутации можно сделать вывод, что значения Д^х и Ае' различаются на 3-4 мс дуги.

Добавив поправку Д^х к фх (6.5), а Ае' к е' (6.8), получим пре­ цессионные параметры, согласованные с теорией 1АII2000:

Величина прецессии от планет х не меняется. Матрица прецессии, соответствующая теории 1АШ000, может быть найдена по форму­ ле (6.22), где ф\ и е' находятся по разложениям (6.24-6.25).

Если для вычисления матрицы прецессии (6.18) используются прецессионные величины то их изменение можно найти следующим образом.

Пусть т! = то + А т , п' = по + Ага. Тогда

га' = 100[(р1 + Ар) со8(е' + Ае') —дх], п' = 100[(рх + Д р)зт(г' + Дё'),

Ар = Д^х/100. С т о ч н о с т ь ю до первого порядка имеем:

Ат = 100(Арсо8^' —рхДг'зте'),

Ап = 100(Арзте' + рхДг'созе').

Значит поправки к прецессионным величинам -гд, 0а , Са равны:

Ага = АСд = 0? 5Дга, Д0д = Ап.

Это приближенные значения. Для вычисления Прецессионных величин гд,0д,Сд с микросекундной точностью требуется исполь­ зовать следующие выражения, полученные Н. Капитайн и соавтора­ ми и рекомендуемые МСВЗ:

Сд = 2','5976176 + 230670809506* + 073019015*2

гд = -275976176 + 2306','0803226*+ 1','0947790*2

+070182273*3 + 070000470*4 - О'/ООООООЗ*5.

6.4.Математическое описание прецессии

Рассмотрим вращающуюся систему координат Охуг, жестко свя­ занную с Землей, и инерциальную систему О Х У 2, которая связа­ на с эклиптикой, фиксированной на момент То. Ориентация земной системы координат относительно О Х У 2 полностью определяется углами Эйлера. Для преобразования координат точки из системы Охуг в инерциальную систему необходимо выполнить три поворо­ та: первое вращение, соответствующее изменению угла прецессии Ф, происходит вокруг оси 0 2 с угловой скоростью ке; • ЛФ/<Й; второе вращение, Которое приводйт к изменению угйа нутации ©, происхо-

кости экватора. Проекции вектора к е на к и У равны соз © и з т 0, соответственно, т. е.

к е = к соз 0 4- У з т 0.

Проекция к е на 1' равна нулю. Проецируя вектор У на оси О х и О у получим:

пользуя таблицу направляющих косинусов и уравнение (6.28) полу­ чим:

Уравнения (6.29) называются кинематическими уравнениями Эйлера. Они устанавливают связь между проекциями вектора угло­ вой скорости П на оси земной системы координат, углами Эйлера и их первыми производными по времени.

Для полного описания вращения тела в пространстве кинема­ тических уравнений Эйлера недостаточно, так как в три уравнения входят шесть неизвестных величин: проекции мгновенной угловой скорости шх,шу,и;г на оси земной системы координат и производ­ ные углов Эйлера Ф, ©, Ф, представляющих движение оси вращения относительно инерциальной системы координат.

Поэтому для определения положения тела в пространстве в зави­ симости от сил, приложенных к телу, необходимо использовать ди­ намические уравнения Эйлера. Совместное использование кинемати­ ческих и динамических уравнений Эйлера дает возможность опре­ делить положение осей системы координат, связанной с Землей, в пространстве (т. е. описать прецессию и нутацию), а также найти по­ ложение мгновенной оси вращения относительно земной системы координат (т. е. описать движение полюса и неравномерность вра­ щения Земли).

Рассмотрим явление прецессии-нутации более подробно. Для этого предположим, что Земля является деформируемым телом. С Землей тем или иным способом жестко связана система координат,

которая вращается с угловой скоростью Л относительно инерциаль­ ной системы координат.

Определим вектор момента импульса (или углового момента) Земли Н следующим образом:

где г, г — радиус-вектор и скорость элемента массы <1Мв земной си­ стеме координат. Так как для твердого тела г = Л х г, где Л —вектор угловой скорости вращения Земли, то, вычислив двойное векторное произведение г х (Л х г), получим:

есть компоненты тензора инерции /, 6^ —символ Кронекера, индек­ сы г, ,7, к принимают значения 1,2,3. Здесь для краткости записи мы положили, что проекции векторов на ось Ох отмечаются индексом 1, соответственно проекции на оси Ог/, Ог —индексами 2 и 3.

В векторном виде имеем (6.2):

называется тензором инерции. Матрица I симметрична: / ^ = 1^. Поэтому можно выбрать оси системы координат таким образом, что матрица I станет диагональной (см. § 1.2) :

Оси выбранной таким образом системы координат называются глав­ ными осями инерции, а Д В, С — главными моментами инерции. Ино­ гда ось системы координат, совпадающую с максимальным момен­ том инерции Суназывается осью фигуры Земли. Далее будем счи­ тать, что оси системы координат О хугусвязанной с Землей, совпада­ ют с главными осями инерции. Тогда относительно этих осей урав­ нение (6.2) записывается в виде:

Вращение тела под действием момента сил I» в системе, связан­ ной с телом, описывается уравнением (6.3):

бШ

+ П х Н Ь.

ей Учитывая уравнения (6.31), получим:

Н х —А и > Х у Н у —В сО у у Н % —С си ^ у

где точка означает дифференцирование по времени. Тогда вектор­ ное уравнение (6.3) относительно главных осей инерции можно за­

которая была получена Эйлером. Уравнения (6.32) называются ди­ намическими уравнениями Эйлера и являются основными уравне­ ниями, описывающими вращение тела. Первые два уравнения (6.32) описывают изменение положения вектора угловой скорости вра­ щения П в теле Земли, т. е. движение полюса. Третье из уравне­ ний (6.32) отражает вариации угловой скорости вращения Земли при воздействии на нее аксиального (направленного по оси Ог) мо­ мента сил. Исследование этого уравнения представляет особый ин­ терес, однако эта задача выходит за рамки данного учебника (см., на­ пример, монографии Г. Морица, А. Мюллера (1992); Н. С. Сидоренкова (2002)).

Рассмотрим первые два уравнения (6.32).