книги / Сферическая астрономия
..pdfРис. 5.1. Явление рефракции.
ционных наблюдений. Единственным способом решения проблемы является вынос оптических телескопов за пределы земной атмосфе ры. Успешное завершение проекта Н1РРАКСОЗ, результатом кото рого стал высокоточный каталог ~ 118000 звезд, является подтвер ждением этого вывода. Если наблюдения проводятся в радиодиапа зоне (на радиоинтерферометрах со сверхдлинными базами или пу тем приема сигналов со спутников), то применяются специальные методы учета радиорефракции. Так как РСДБ и глобальные навига ционные системы ОРЗ и ГЛОНАСС составляют основу современ ных астрометрических и геодезических сетей, методам учета радио рефракции мы уделим особое внимание.
5.1.1. Учет рефракции в оптическом диапазоне
Простые формулы для учета рефракции можно получить, если рассмотреть плоскопараллельную модель атмосферы Земли. В этой модели атмосфера разбивается на плоскопараллельные слои, при чем показатель преломления п считается постоянным в слое и ме няется скачкообразно на границах слоев (рис. 5.2). Показатель пре ломления у поверхности Земли равен по.
Запишем закон Снелля для (г + 1)-ого и г-ого слоев:
П г+ 1 81П 2г+1 = Щ 81112*,
Рис. 5.2. Рефракция в атмосфере, состоящей из плоскопараллельных слоев,
для г-ого и (г - 1)-ого слоев:
Щ 81П = Щ - 1 8 1 П ^ _ 1 , |
|
т. е. |
|
П;+1 8т2г+1 = Щ- 1 8Ш2*_1. |
(5.1) |
Если в самом верхнем слое с номером N показатель преломле ния п равен 1, и зенитное расстояние равно я, то, продолжая цепоч ку уравнений (5.1), имеем:
1 • 81П 2 = Щ81П С-
Так как показатель преломления у поверхности земли по > 1, всегда С < 2 . Это означает, что рефракция приводит к смещению звезды к зениту.
Если показатель преломления п не зависит от азимута, то луч света не выходит из вертикальной плоскости, и, следовательно, ази мут рефракцией не искажается. Так как г = д-1- С, получим:
8111(2+С) =п031пС-
Учитывая, что величина рефракции не превышает нескольких ми нут дуги, и, следовательно, з т р « р, соз^ « 1, получим величину рефракции в радианах:
(п0 - 1)*еС- |
(5.2) |
Величина рефракции зависит, таким образом, от зенитного рассто яния звезды и от показателя преломления у поверхности Земли. Упрощение строения атмосферы Земли приводит к простому вы воду: для вычисления рефракции требуется знать лишь показатель преломления в точке наблюдения.
Значение показателя преломления по у поверхности Земли за висит от местных метеорологических параметров. При нормальных условиях (давление равно 760 мм рт. ст. и температура 0°С) по = 1,0002926. Если ввести обозначение ко = по - 1, то при нормаль ных условиях и длине волны Л = 0,575 микрон ко = 0,0002926, что в градусной мере равно 60','343; иногда коэффициент ко называется постояннойрефракции. Если условия отличаются от нормальных, то показатель преломления может быть найден по закону ГладстоунаДэйла, согласно которому величина п —1, которая иногда называ ется индексом рефракции, пропорциональна плотности воздуха р: п — I = зр, з = ко/ро & 0,266. Если выразить плотность воздуха через давление и температуру, то закон изменения показателя пре ломления от давления и температуры определяется формулой:
, Р |
273° |
(5.3)
П~ ~ ко760 ' Ь° + 273°’
где Р — приземное атмосферное давление в мм рт. ст., *° —темпера тура воздуха в градусах Цельсия.
В действительности показатель преломления по у поверхности Земли зависит не только от приземного давления и температуры, но также и от состава воздуха (главным образом, от количества водя ного пара) и от длины волны света. Влияние водяного пара на ре фракцию в оптическом диапазоне довольно мало (по сравнению с точностью формулы (5.2)), а в радиодиапазоне, напротив, доволь но значительно. Забегая вперед, укажем, что невозможность точного определения содержания водяного пара в нижних слоях тропосфе ры вдоль луча по направлению к радиоисточнику является основ ной причиной, которая ограничивает точность радиоастрометриче
ских наблюдений. Зависимость показателя преломления по от дли ны волны Л существенна даже в оптике. Приведенное выше значение п0 = 1,0002926 соответствует центру V -полосы (для длины волны Л = 0,575 мкм), используемой для определения визуальной звезд ной величины звезды. В общем вйде зависимость по - 1 от длины волны Л может быть представлена в виде:
где а = 2,871 • 10-4, 6 = 0,00567, а длина волны Л выражена в мик рометрах. Величина по - 1 изменяется примерно на 2% в диапазоне видимого спектра, что приводит к изменению постоянной рефрак ции. В результате свет звезды будет разлагаться в спектр вдоль вер тикального круга, причем красный конец спектра будет ближе к го ризонту. Это означает, что при наблюдении звезд разных классов (или звезд одного класса, но с разными фильтрами) возможны си стематические ошибки при определении координат, вызванные за висимостью по от Л.
Формула (5.2) является очень грубой и верна лишь в предпо ложении плоскопараллельного строения атмосферы. Более точная формула, учитывающая сферичность атмосферы, будет получена ниже. Формулой (5.2) можно пользоваться, если зенитное рассто яние мало. При г > 70° формула (5.2) уже неприменима, даже если не требуется высокой точности. Значительно более точный учет рефракции можно выполнить, если рассмотреть сферическисимметричную атмосферу.
Допустим, что свет от звезды распространяется в плоскости стра ницы. Разделим атмосферу на тонкие сферические слои (рис. 5.3), центром которых является центр Земли (точка О).
Плотность воздуха и, следовательно, показатель преломления будет зависеть лишь от высоты (от расстояния до центра Земли). По закону преломления света имеем на границе г-ого и (г —1)-ого слоев:
811121 |
Щ-1 |
81П Гг |
Щ |
Разность углов 2 * и гг обозначим через Д ^:
Д& = - П.
Если А щ = Щ —Пг_ь ТО
Щ81П 2,{ = (Щ — Ащ ) 81п(^ —Д&)* Учитывая малость величины Д&, получим:
Пг$т2г « (щ - Д п ^ З Ш ^ - (щ — Ащ ) С08 2 ; Д ^ .
Пренебрегая членом второго порядка малости А&Апг, получим:
АЛд г = ---------- 4-
щ
Суммируя по всем слоям от 0 до И, получим значение полной ре фракции:
При уменьшении толщины каждого слоя (Ащ —>с1щ) и увеличении числа слоев (И —►оо) сумма стремится к интегралу, то есть
По
Интегрирование проводится от поверхности земли, где п = щ до верхнего слоя N атмосферы, где п = 1. Меняя пределы интегриро вания, получим:
в = |
(5.4) |
Так как значение г вдоль пути луча неизвестно, вполне естественно заменить г на функцию, зависящую от видимого зенитного рас стояния С- Это легко сделать, используя закон синусов:
|
Яг |
_ |
81п(180° - 2{~х) |
|
|
Я г - 1 |
|
|
81П |
Но 81П Гг = - г 1- |
ЗнаЧИТ |
|
|
|
И» — 1 |
|
|
|
|
|
Я{ |
_ |
Щ- 1 |
81П^_1 |
|
Я г - 1 |
|
Щ |
81П 2>г |
Продолжая цепочку уравнений от (г — 1)-го слоя до поверхности Земли, получим:
ЯгЩЗ1П2г = Яг-хЩ-Х 81П2;_1 = . . . = Д0По8тС |
(5.5) |
И ЛИ |
|
Яопо . |
|
81П 2г = Т ;------81ПС. |
|
ЯгТЬг |
|
Уменьшая толщину слоев, получим формулу, связывающую г с С:
=
^ 1 - ( ^ з1пС)2
Значит, рефракция в сферически-симметричной атмосфере равна:
По |
Ап |
81ПС |
|
|
(5.6) |
|
п |
Формула (5.6) —точная. Интеграл (5.6) называется интегралом ре фракции. Если бы функция п = п(Я) была известна, то рефракцию д можно было бы вычислить численным интегрированием.
5.1.2. Формула Лапласа для вычисления рефракции.
На практике интеграл в (5.6) вычисляется, если разложить в ряд параметр ( К / Н о ) 2 с использованием соотношения: К / К о = 1 + р, р < 1. Это справедливо, если считать, что толщина атмосферы со ставляет 100-150 км. Выше этого уровня плотность воздуха очень мала, и оптическая рефракция практически отсутствует.
Перепишем формулу (5.6) в виде:
9 = К о т зтС ^ |
|
Ап |
1/2 |
(5.7) |
|
1 |
(Н2п2 —#0П08^п2 С) |
п |
Знаменатель подинтегрального выражения может быть разложен в ряд:
[п 2( 1 + р ) 2 - |
П 2 81П2 С] _1/2 « 4 “ [ п 2 - П 2 81П2 С + 2П 2р \ _1/2 |
Ко |
Ко |
« -=5-(п2 —п281П2С) |
1/^2X |
|
|
|
|||
Ло |
п2р |
|
3 / |
2п2р |
|
\ 2 |
|
П2- |
|
|
|
||||
81П2С |
8\п2- п%81П2С' |
|
|||||
Следовательно, интеграл (5.7) может быть представлен в виде |
|||||||
суммы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 = 91 - 92 + |
23 - |
..., |
(5.8) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По |
|
^ |
|
йп |
|
д\ = по 8 т С § |
|
|
|
|||
|
(п2 —Пд81П2 с)1/2 |
П ’ |
|||||
|
|
|
1 |
||||
|
• |
. |
'г |
п2р |
|
<1п |
|
|
в2 = По 81ПС ^ |
— ------:---- „ |
. ,/о ~~ и т. д. |
||||
|
|
|
1 |
(п2 - П§81П2С)3/2 |
п |
||
Разложение в |
ряд |
(5.8) |
справедливо, если только |
||||
2п2р <. п2 - |
п28Ш2 С- Так как п, по близки к единице, то это усло |
||||||
вие выполняется, когда С не превосходит 70°, т. е зтС значительно отличается от единицы.
Вычислим интегралы в (5.8). Первый интеграл д\ является таб личным и имеет вид:
А х |
1 |
а |
------ _= = |
- ЗГССОЗ —. |
|
х у / х 2 — а 2 а |
х |
Следовательно,
Ап
д\ = По 81Пт с /
1/2 п
(п2 —Пп 81П 0
= агссоз (зт () —агссоз (по з т С).
Так как отличие показателя преломления по у поверхности Земли от единицы мало, то считаем, что по = 1 + к, к < 1 . Разлагая как функцию к в ряд Тэйлора и пренебрегая членами, содержащими А;2, А:3 и т. д., получим:
б\ « к;Ъ%( или р\ = (п0 1 ) С- |
(5.9) |
Для интеграла р2 воспользуемся законом Гладстоуна-Дэйла, на основании которого можем записать, что Ап — зАр, з « 0,226. Тогда
|
Ро |
прАр |
|
|
Р2 = 8П о 81П |
</■ |
С) |
||
(п2 —ПХ 81П |
||||
|
|
|
3 /2 ’ |
ро — плотность воздуха у поверхности Земли. Так как величина р мала и по « п = 1 , то
|
|
|
ро |
рйр |
|
но |
Р2 |
« 8 |
“ «I- |
= 8 |
Сзес2С § рАр. |
||
81П |
|
|||||
|
|
|
О(1-8т2С)3/2 |
|
||
Интегрируя по частям, получим:
РО |
О |
На±т |
/ РФ = рр\Ро - |
^ |
рЛр = рр\ра + $ рйр, |
О |
^аЬт |
о |
где Нагт ~ верхняя граница атмосферы, на которой р = 0. Так как при р — ро (у поверхности Земли) к = 0 , торр|^° = 0 . Интеграл
агт |
агт |
Но ^ |
рЛр = ^ рЛ(Нор) |
представляет собой массу столба воздуха от поверхности Земли до верхней границы атмосферы Наш • Если обозначить величину (*/Во х массу столба воздуха) как В , то рефракция
0 = («о - 1)*еС - |
с2С |
или |
|
р = А ^ ё С - ВЬё3 С, |
(5.10) |
где А = (по —1) —В. Формула (5.10) называется формулой Лапласа.
Коэффициенты А и В зависят от давления, температуры у по верхности в месте наблюдения, длины волны, высоты обсерватории над уровнем моря. При Р = 1013,25 мбар, I = 15°С, А = 0,590 мкм, р = 0 — коэффициенты А и В в формуле Лапласа: А = 57','085; В = 0','0666.
Формула Лапласа лежит в основе теории Гильдена, развитой им для вычисления «Пулковских таблиц рефракции». Эти табли цы впервые были изданы в 1870 г., затем переиздавались в 1905 г., 1930 г., 1956 г. В таблицах приводится рефракция для средних ме теорологических условий {I = 9 , 3°С , Р = 751,5 мм. рт. ст., парци альное давление водяного пара е = 6 мм. рт. ст.) с поправками, учи тывающими отклонение условий наблюдения от средних. Послед нее (пятое) издание таблиц вышло в 1985 г. В новых таблицах со хранена традиционная форма представления рефракции в виде:
1&д — Ро Н~ А7 + АВ + С -г Р + Р + Н у
где 1§ до —логарифм средней рефракции, А7 — поправка за темпера туру воздуха, АВ, С, В, В, Н —поправки за влажность воздуха, дли ну волны излучения, широту и высоту места наблюдения. Таким об разом, в новых таблицах учитывается хроматическая рефракция.
При наблюдениях на больших зенитных расстояниях (г > 75°) и вблизи горизонта следует использовать более точную формулу.
Приведем формулу для вычисления рефракции, которая сообще на автору К. В. Куимовым. Она может быть использована до види мого зенитного расстояния С, равного 90°. Напомним, что величина рефракции равна разности истинного и видимого зенитного рассто яний: д = г -
Используем формулу, предложенную А. Данжоном:
где к = п - 1 —индекс рефракции. Входящие в выражение величины и функцию Ф(ж) можно вычислить по следующим формулам, исход
ными параметрами для которых являются температура воздуха I (в градусах Цельсия) и давление Р (в Па) в точке наблюдения:
Л |
к |
в = |
КТ |
соз С |
а —3 |
------ , |
----------------- , |
х = —-— - |
|
Р |
2 ’ |
р |
доМаК®' |
|
где К = 8314,41 Дж/(кмоль • К) — универсальная газовая посто янная, Т = Ь + 273?15 — температура воздуха в градусах Кельви на, Ма = 28,9645 кг/кмоль — молекулярная масса сухого возду ха (см. табл. 5.2), до = 9,80665 м/с2 — ускорение силы тяжести, Яф = 6371000 м —средний радиус Земли.
Индекс рефракции может быть вычислен по эмпирическим фор
мулам Оуэнса: |
|
|
|
|
683939,7 |
4547,3 \ |
|
к = |
[(2371'м + шГЖ + зм - А 2У А* |
||
+ |
58,058 |
0,71150 |
0,08851ч |
(б487,31 + |
А4 |
) ' Д ] • 10- 8 , |
|
|
А2 |
А6 |
|
где Л —длина волны света в микрометрах. Коэффициенты Оа и Д,, зависят от температуры, давления сухого воздуха Ра и парциального давления водяного пара Рю:
Аг = ^ |
1 |
|
8 |
9,3250 • 10-4 |
|
0,25844ч |
+ Р<г(57,90-10-8 - |
Т |
^ |
Т 2 ) |
|||
|
|
|
|
|||
А , = ^ |
[1 |
+ Р „ ( 1 + 3 ,7 |
• Ю - 4 Ри,) • |
|
|
|
(-2,37321 • Ю-з + ^ |
6 6 |
_ 1 ^ 9 2 + |
|
|
||
причем Ра = (Р - Р™)/100 (в миллибарах). Парциальное давление водяного пара Р^ (в миллибарах) может быть найдено по эмпириче ской формуле:
Рю =
где V —относительная влажность воздуха (0 < V < 1), Кш —удель ная газовая постоянная водяного пара (5.42),
Ф(<) = -5,32917 + ф , 0688825 + *(-2,9815 • 10-4 + 1,39 • 10_6<)].