книги / Сферическая астрономия

В штрихованной системе координат мировая линия фотона опре­ деляется уравнениями:

и

дх1 ду' дг1

и =

А г’ А*"

Скорость фотона в обеих системах координат должна равняться скорости света: с = у/ = у /и \+ и \ + г/§, однако проек­ ции скорости в разных системах различаются; эти различия опре­ деляются законом преобразования (5.94). Для того, чтобы выразить вектор и через V, выразим г(2) - К(^) из (5.102) и подставим в (5.96):

г '( 0 = [у + ( 7 - 1 ) ( у - У ) ^ - 7у ]*.

Из последнего уравнения можно исключить I, используя (5.97):

7 ( 1 - ^ - V)

и дифференцируя г'(^) по I1, получим в векторном виде:

Пусть в' —единичный вектор в направлении видимого положе­ ния источника, во —единичный вектор источника для наблюдате­ ля, находящегося в покое относительно барицентрической системы в точке О', а п — единичный вектор в направлении апекса. Тогда V = -с8о>и = —сз', V = Уп и (5.104) имеет вид:

Эта формула определяет точное направление на источник из точки О'. Так как предполагалось, что источник фотонов неподвижен от­ носительно системы Ь, то формула (5.105) дает величину звездной аберрации.

Если ограничиться членами порядка У2/с2, то

Подставляя эти выражения в (5.105), находим, что

После несложных преобразований получим, что (сравните с (5.83))

Рассмотрим теперь вековую аберрацию. Выше мы предполагали, что звезды находятся в покое относительно барицентрической системы координат 1СКР. Это, конечно же, не так. Звезды движутся относительно центра Галактики. Так как для большей части звезд радиальная компонента скорости движения неизвестна, то наблю­ датель может измерить лишь проекцию скорости на плоскость, пер­ пендикулярную к лучу зрения и касательную к небесной сфере (кар­ тинную плоскость). Как говорилось выше, это движение называет­ ся собственным движением звезд. Исправляя видимое положение звезды за суточную и годичную аберрацию и параллакс, наблюда­ тель не получит реального положения звезды в пространстве, так как за время распространения света т от звезды к наблюдателю звез­ да сместится. Чтобы получить истинное положение звезды на мо­ мент наблюдения, необходимо учесть это смещение, т. е. умножить собственное движение на т. Кроме этого, Солнечная система обра­ щается вокруг центра Галактики со скоростью примерно 220 км/с и за время т переместится в другую точку пространства.

Оба эффекта имеют вековой характер и потому обычно называ­ ются вековой аберрацией. Однако на практике учет вековой аберра­ ции не производится, так как, с одной стороны, велика неопреде­ ленность расстояний до звезд и, следовательно, величины т. С дру­ гой стороны, направление скорости Солнечной системы практиче­ ски не меняется на коротких промежутках времени, и, значит, веко­ вая аберрация постоянна. Она приводит к постоянному смещению звезд на небесной сфере. Если Солнечная система движется со ско­ ростью 220 км/с, то вековая аберрация составляет 2,5'.

5.2. Аберрация

20 Зак. 286

Применяя формулы (5.86), получим, что вековая аберрация при­ водит к следующему изменению галактических координат 6, 1звез­ ды:

А1 СОЗ Ь = К С08 Ьо8И1(/ — /())>

ДЬ = /фтбсоз&о соз(/ —/о) —соз&зт&о],

где к — —У/суЬо^о — координаты апекса. Если Ьо = 0°, /о = 90°, то постоянная часть вековой аберрации равна:

Д/созЬ = —ксоз1,

АЬ = -Н&зт&зт/.

Как говорилось выше, э т о т эффект приводит к постоянному сме­ щению звезд на небесной сфере и поэтому измерить его невозмож­ но. Если мы предположим, что Солнце движется вокруг центра Га­ лактики по круговой орбите, то годичное изменение направления на апекс (или поворот вектора скорости Солнца за год) (Но/<11 = п, где п — 2п/Т « 2,6 • 10-8 год-1 — среднее движение, Т = 240 • 106 лет — период обращения. Тогда изменение координат звезды за год вслед­ ствие изменения апекса равно:

5(А1созЬ) = —кпзт1,

6(АЬ) = +кпзтЪсоз1.

Коэффициент КП ~ 4 мкс дуги. Максимальное изменение галакти­ ческой долготы I будет наблюдаться для звезд с Ь « 0°, I « ±90°. Максимальное изменение галактической широты Ьбудет иметь ме­ сто для звезд с координатами: Ь « ±90° и I и 0° или 180°.

В настоящее время измерить годичное изменение координат изза вековой аберрации невозможно. Однако в будущем при постро­ ении высокоточных каталогов по проектам СА1А и других, когда координаты звезд будут измеряться с микросекундной точностью, учитывать вековую аберрацию обязательно будет нужно.

Подчеркнем, что величина коэффициента кп — 4 мкс дуги соот­ ветствует годичному изменению вековой аберрации. За 25-летний промежуток наблюдений коэффициент будет равняться уже 100 мкс дуги, и, в принципе, обращение Солнца относительно центра Галак­ тики можцо попытаться обнаружить уже сейчас на основе имеющей­ ся базы РСДБ наблюдений.

В действительности, наблюдаемые в момент I фотоны пришли от планеты, когда она находилась в точке Р' в момент I — т, при­ чем радиус-вектор равен К ' = К 'б '. Если скорость Земли равна У Е — ге , то видимое положение планеты, исправленное за годич­ ную аберрацию, определяется единичным вектором за, который со­

Если пренебречь ускорением планеты за промежуток времени т, то РР' = тгр. Тогда

К ' б ' = К б — т гр

или

так как К' = ст. Умножая векторно последнее уравнение дважды на з, получим:

8-(8-8,) - 8 , = - - 8 Х ( 8 Х Гр).

Аберрационное смещение положения планеты зависит только от относительной скорости Земли и планеты.

Предположим теперь, что точка В совпадает с барицентром Сол­ нечной системы, а точка О с геоцентром. Тогда К —это барицентри­ ческий радиус-вектор центра Земли. Определим годичный параллакс р как угол между векторами г' и г. Тогда

В,

з т р = — зт Е, (5.111)

г

где Е = /.ВОЗ. Если Е = 90°, то используя стандартное обозначе­ ние 7г вместо р, получим:

Величина п называется тригонометрическим параллаксом.

Параллакс ближайших звезд не превышает 1", 8Ш7г « 7г и

Таким образом определение параллакса эквивалентно определению расстояния до звезды. Совместно с измерениями координат звезд на небесной сфере это дает трехмерную картину распределения звезд в пространстве. Поэтому тригонометрический параллакс является од­ ним из важнейших астрометрических параметров. Он является ос­ новой для всех остальных способов определения расстояний во Все­ ленной.

Определение 5.3.1. Если К равно 1 астрономической единице (1а. е.)у то расстояние до звезды, равное 1 парсеку, соответствует парал­ лаксу 7г равному 1".

Парсек —расстояние до объекта, тригонометрический параллакс которого равен 1": 1 парсек = 206264,8 а. е. = 3,0857 • 1013 км = 3,2616 световых лет.

Если точку В, в которую перемещается наблюдатель, назвать апексом, то можно сформулировать следующие правила изменения координат звезды.

1.Параллактическое смещение происходит по большому кругу, проведенному через апекс движения наблюдателя и звезду 5;

2.Параллактическое смещение приводит к кажущемуся движе­ нию звезды от апекса; это ясно из изменения направления век­ торов з' и з (рис. 5.15);

3.Параллактическое смещение пропорционально синусу угла между направлениями на звезду и апекс (5.111).

5.3.1. Оценка расстояния до звезд Ньютоном

Парсек является одной из основных единиц измерения расстоя­ ний во Вселенной. Величина парсека определяется величиной аст­ рономической единицы. Следовательно, ошибка в определении аст­ рономической единицы приводит к ошибке, большей в ~ 2 • 105 раз, в величине парсека. Повышение точности определения астрономи­ ческой единицы (помимо увеличения точности масштаба во Вселен­ ной) имеет гораздо бблыпее значение при изучении динамики Сол­ нечной системы, так как для вычисления точных эфемерид необхо­ димо знать масштаб расстояний. До появления радиолокационных методов измерения расстояний до планет Солнечной системы в ос­ нове определения астрономической единицы были измерения эква­ ториального горизонтального параллакса Солнца (см. ниже).

Как говорилось во «Введении», еще Аристарх Самосский пред­ полагал, что обращение Земли вокруг Солнца должно приводить к параллактическому смещению, но из-за большого расстояния до звезд и низкой точности наблюдений это смещение не наблюдается. Первые достоверные измерения параллаксов звезд были выполнены Бесселем, Струве и Гендерсоном лишь в середине XIX века. Тем не менее, правильную оценку расстояния до звезд сделал еще Ньютон.

Как Ньютон оценил расстояние до звезд? Он использовал тот факт, что освещенность в фокальной плоскости телескопа, создава­ емая Сатурном, близка к освещенности от некоторых звезд. Пред­ положив, что эти звезды похожи на Солнце, он проделал следу­ ющие вычисления. Он считал, что на диск Сатурна падает около 1 /2 ,1 • 109 части солнечного света. Расстояние от Солнца до Сатур­ на Ньютон вычислил с помощью третьего закона Кеплера. Радиус Сатурна можно было вычислить, зная его угловые размеры. В дей­ ствительности, отношение площади полусферы Сатурна к площа­ ди сферы с радиусом К (К — расстояние до Сатурна от Солнца) равно в = пг2/47гК 2, где г — радиус Сатурна. При г = 60000 км

и К = 9,539 а. е. получим в = 1/2,263 • 109, что очень близко к оценке Ньютона. Далее Ньютон предположил, что Сатурн отража­ ет 1/2 падающего на него солнечного света, что в точности соответ­ ствует современной оценке. Тогда отраженный полусферой Сатурна свет будет составлять 1/4,2 • 109 часть света, испущенного Солнцем. Уменьшение количества приходящего к наблюдателю света пропор­ ционально квадрату расстояния от светящегося тела. Если бы Солн­ це было на расстоянии в д/4,2 ♦109 « 6 , 5 - 104раз большем от Земли, чем Сатурн, оно имело бы такую же яркость, как Сатурн, и светило примерно как звезда первой величины. Таким образом, расстояние, с которого Солнце светило бы как звезда, близкая по яркости к Са­ турну, приблизительно в 6,5 • 104 раз больше расстояния до Сатурна, т. е. равнялось бы ~ 6 • 105 а. е. или ~ 3 парсекам. Параллакс Солнца был бы равен ~ 0','3.

5.3.2.Изменение координат звезды из-за параллактического смещения

Из-за движения Земли вокруг Солнца направление на звезду (вектор в' на рис. 5.15) постоянно меняется. Это означает, что ко­ ординаты звезды вследствие годичного движения Земли будут из­ меняться. Приблизительные формулы влияния параллакса на эква­ ториальные координаты звезд можно получить, используя уравне­ ние (5.110). Получим из (5.110):

А з = § ' - 8 « 7Г8 X (§ X К) = 7Г(8 • (К • б ) — К).

Компоненты векторов з и К в прямоугольной системе координат:

К = (Х,У,2),

где Х ,У ,2 —барицентрические координаты Земли (в а. е.). Диффе­ ренцируя (5.114) по а и <5, получим:

Из третьего уравнения сразу получается величина А6:

Умножив первое уравнение на —з т а , а второе —на соз а , затем сло­ жив их, исключим члены с А6. В результате, после преобразований получим:

Формулы (5.115) и (5.116) отражают влияние годичного параллак­ са на прямое восхождение и склонение звезд в секундах дуги, если параллакс выражен в секундах дуги, а X, У, 2 —в а. е.

Найдем теперь изменение эклиптических координат звезды изза параллакса. В этом случае векторы з и К имеют компоненты:

8= (соз /3 СОЗ Л, СОЗ (3 81П Л, 81П /?),

К.= (X, V, 0).

Мы предполагаем, что эклиптическая широта Земли равна нулю и, следовательно, 2 = 0. Дифференцируя эти уравнения по А и /? и вы­ полняя вычисления, аналогичные сделанным выше, получим:

А/?

X соз А + У з т А,

7Г 81П (3

ДА соз (3

X з т А —У соз А.

7Г

Возводя оба уравнения в квадрат и складывая, найдем, что види­ мое положение звезды описывает на небесной сфере эллипс с боль­ шими полуосями, соответственно равными тгип з т /?:

/ДЛсоь в \ 2 + / _ Д ^ \ г _ х 2 + у г _ 1

5.3.3. Суточный параллакс

Будем считать теперь, что точка В на рис. 5.15 является центром Земли, а точка О — местом расположения наблюдателя на поверх­ ности Земли. В этом случае формула (5.110) описывает явление су­ точного параллакса, т. е. изменение направления на небесное тело при перемещении наблюдателя с поверхности в центр Земли или обратно. Векторы К и г являются геоцентрическими радиусамивекторами наблюдателя и небесного тела, соответственно. Если на­ блюдатель перемещается из центра Земли в точку на земной поверх­ ности, то апексом является геоцентрический зенит; при обратном переходе апексом является геоцентрический надир.