книги / Сферическая астрономия
..pdfФункцию Ф(ж) можно вычислить по формулам:
У= (((((((((((((((+3,328130055126039 • 1(Г10« - 5,718639670776992 • 1(Г10)г* - 4,066088879757269 • 1<Г9)и
+ 7,532536116142436 |
• |
10_9)м + 3,026547320064576 |
• 1<Г8)г* |
- 7,043998994397452 |
• |
1(Г8)и - 1,822565715362025 |
• 1<Г7)г* |
+ 6.575825478226343 • Ю“7)и + 7,478317101785790 • Ю_7)« - 6,182369348098529 • 10“6)и + 3,584014089915968 • 1(Г6)г* + 4,78983822669598 • 710“5)и - 1,524627476123466 • Ю_4)«
-2,553523453642242 • 1(Г5)г» + 1,802962431316418 • 10_3)г*
-8,220621168415435 • 10_3)« + 2,414322397093253 • 1<Г2,
где
,7,5
П|ж| + 3,75'
Тогда функция Ф(ж) равна:
Ф(ж) = ^л/тг,
где
V= ( ( ( ( ( у • « - 5,480232669380236 • 1<Г2)и
+1,026043120322792 • Ю-1)« - 1,635718955239687 • Ю-1)«
+2,260080669166197 • Ю-1)и - 2,734219314954260 • 10_1)«
+1,455897212750385-1СГ1.
Результаты вычислений приводятся в таблице 5.1.
5.1.3.Восход и заход светил с учетом рефракции
В момент восхода и захода рефракция традиционно полагается равной 34'. Следовательно, в момент восхода и захода зенитное рас стояние звезды равно, г = 90° + 34'. При наблюдениях Солнца или Луны момент восхода или захода относится к верхнему краю, т. е. зе нитное расстояние центра Солнца или Луны равно г = 90° + 34' + Д, где Д — видимый радиус диска Солнца (меняется в течение года от 15'45" до 16'16") или Луны (меняется в течение месяца от 14'45" до 16'30").
Таблица 5.1. Рефракция д для разных видимых зенитных расстояний С при Р = 1013, 25 мбар,2 = 0°С, Л = 0, 575 мкм и разной относительной влаж ности воздуха V.
с.
градусы
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
II о со
0
10,63
21,93
34,79
50,54
71,72
104,05
164,25
330,80
2271,16
д, сек дуги
со сГ II
0
10,62
21,93
34,78
50,52
71,70
104,02
164,21
330,71
2270,48
II |
со |
0
10,62
21,92
34,77
50,51
71,68
104,00
164,16
330,62
2269,79
Время восхода или захода небесного тела при учете рефракции вычисляется из уравнения:
СОЗ г — 8Ш (р 8111 б + С 08 (р СОЗ б С 08 I,
при г = 90°34' (для звезд, планет) или г — 90° + 34' + К (для верх него края Солнца или Луны). Рефракция изменяет время восходазахода на несколько минут; продолжительность дня, когда Солнце находится над горизонтом, увеличивается приблизительно на 10 ми нут.
5.1.4. Влияние рефракции на прямое восхождение и склонение звезды
Вычислим влияние рефракции на экваториальные координаты звезды. Для этого рассмотрим параллактический треугольник Рп2 8 (рис. 5.4), причем будем считать, что 5 —истинное положение звез ды. Зенитное расстояние звезды (дуга 2 8 ) равно г. В результате рефракции изображение звезды смещается в точку 5' вдоль верти кального круга по направлению к зениту наблюдателя. Проведем че рез точку 5 параллель и опустим перпендикуляры из точки 5' на па-
г
Рис. 5.4. Изменение координат из-за рефракции.
раллель —8 'А и на круг склонений —8 'В. Учитывая, что дуга 5 5 ' равна А г и равна рефракции руа треугольники 8 '8 В и 8 '8 А можно считать плоскими, получим:
8 В = А6 = Дгсозд,
8 А = Д а соз <5= Аг&тд.
Значения з т д и соз д получим из формул параллактического тре угольника:
8Ш 2; 81П д |
= |
СОЗ р 81П I, |
|
|
С08 г |
= |
81П 8 8Ш р |
+ С08 6 С08 р |
СОЗ I, |
8Ш г СОЗ д = |
СОЗ 881П р |
— 81П 8СОЗ р |
СОЗ I. |
|
Тогда
А8 |
Дг |
р —81П 8 СОЗ СОЗ ^ ), |
(5.11) |
( с о з 8 81П |
|||
|
з т г |
|
|
Д а соз 8 = |
Дг с о з з т |
2. |
(5.12) |
|
з т я |
|
|
Используя уравнение (5.2): р = А г = (по - 1)^ ёС ^ (п о — 1)^8 г, получим окончательные выражения:
СОЗ 6 8П1 р |
— 81П <5 С08 (р С08 I |
|||
А б = ( щ — 1) |
6 81П (р + |
СОЗ 6 СОЗ р |
(5.13) |
|
8Ш |
СОЗ I ’ |
|||
Д а соз 6 = (по —1) |
СОЗ (р 81П I |
|
||
|
+ |
СОЗ 6 СОЗ р |
СОЗ I |
|
81П б 81П р |
||||
При наблюдениях в меридиане зт2 = 0, и изменение координат изза рефракции равно:
А6 = (п0 - 1)Ъ&(р - б) = (п0 —1) г = р,
Д а соз (5 = 0.
Значит при меридианных наблюдениях рефракцию нужно учиты вать только при определении склонений звезд.
5.1.5. Рефракция при наблюдениях в радиодиапазоне
Изложенная в предыдущем параграфе теория рефракции приме няется при наблюдениях в оптическом диапазоне. Рассмотрим те перь особенности радиорефракции. В отличие от света преломление радиоволн различно при их распространении в ионизованной среде (в космической плазме, ионосфере Земли) или в нейтральной сре де (в тропосфере Земли). Поэтому для учета влияния атмосферы на точные позиционные наблюдения в радиодиапазоне необходимо учесть вклад ионосферы и тропосферы в распространение лучей.
Одним из основных методов наблюдений в современной астро метрии является радиоинтерферометрия со сверхдлинными базами (РСДБ). Два радиотелескопа, находящиеся на большом расстоянии друг от друга, одновременно наблюдают радиоисточник на цикли ческой частоте ш = 27т/. База (расстояние между телескопами) мо жет равняться нескольким тысячам километров. Поэтому состояние ионосферы и тропосферы в местах размещения телескопов может различаться существенно, и влияние радиорефракции в результате может быть значительным.
Если обозначить один из телескопов первым, а другой —вторым, то вектор В (рис. 5.5), равный В = В.2 —К ь называется вектором базы, где К ^ К г —радиусы-векторы телескопов. Если вектор В из-
Рис. 5.5. Схема радиоинтерферометра.
вестей точно, а 8 —единичный вектор в направлении наблюдаемого источника с известными координатами, то
В • 8 = стду |
(5.14) |
где с —скорость света, тд — геометрическая задержка сигнала.
Сигналы, принятые телескопами, записываются на магнитные ленты, которые впоследствии перевозятся в центр обработки, где выполняется корреляционный анализ. В результате обработки лент вычисляется кросскорреляционная функция сигналов1. Производ ная фаза кросскорреляционного сигнала Фо по отношению к цикли ческой частоте ш
Таг~ вы
называется групповой задержкой сигнала. Если бы координаты те лескопов и источника были известны точно, отсутствовала бы ат мосфера, то групповая задержка тдг точно равнялась бы геометри
ческой задержке тд (5.14): тдг |
= тд. В действительности уравне |
|
ние (5.14) имеет вид: |
|
|
В - 8 = с(тд + Д т), |
(5.15) |
|
1Для комплексных сигналов 5 1 (2 ), |
кросскорреляционная функция определя |
|
ется выражением: |
Т |
|
1 |
|
|
В ( т) = ~*°° ^ |
—Т |
|
где * означает операцию комплексного сопряжения. Корреляционная функция опре деляет связь между двумя функциями 51 (<), 52 (*) в зависимости от сдвига т: действи тельная часть Ке[В(т)] равна амплитуде, а мнимая часть 1т[В(т)] — фазе.
где поправка сАт включает ошибки координат телескопов и источ ника, ошибки теории прецессии и нутации и т. д., в том числе за держку сигнала в атмосфере Дта*т . Основы теории редукции на блюдений на РСДБ мы рассмотрим более подробно в главе 7.
В данном параграфе изучим влияние рефракции.
Рефракция в радионаблюдениях сводится не только к измене нию направления на источник (т. е. направления вектора я), но и к изменению длины пути луча в атмосфере (или, по-другому, к набегу фазы). Дополнительный набег фазы зависит от состояния ионосфе ры и тропосферы в пунктах 1 и 2, которое определяется временем года и суток, локальными условиями. Отсутствие сведений о коли честве свободных электронов на пути волны в ионосфере и содержа нии водяного пара в нижних слоях атмосферы приводит к погреш ностям вычисления задержки Дта*ш. Именно эти погрешности огра ничивают точность позиционных наблюдений на РСДБ.
Рассмотрим монохроматическую плоскую радиоволну с часто той / и длиной волны Л, распространяющуюся в пространстве в на правлении х. Уравнение бегущей в направлении х волны можно за писать в виде:
и (х, I) = Асоъ(и1 — кх), |
(5.16) |
где и = 27г/, к = 27г/А —волновое число. Волновое число к — это число волн на единицу длины в пространстве. Оно характеризует колебания в пространстве, тогда как циклическая частота и — коле бания во времени. Фаза волны ф(х, I) = шЬ —кх. Беря полный диф ференциал от ф(х, *) и полагая его равным нулю, легко найти соот ношение между координатой х и временем I для точек постоянной фазы:
дф |
дф |
|
— кАх. |
Аф — — А + — Ах — шв.1 |
|||
д1 |
ох |
|
|
Приравнивая (1фнулю, имеем: |
|
|
|
|
Ах |
ш |
(5.17) |
|
г)х = !* = |
к' |
|
|
|
||
Так как ш = 2п /, к = 2тт/ \, получим |
|
|
|
|
урн — Ух ~ АУ*. |
(5.18) |
|
Скорость ьрн перемещения плоскости постоянной фазы волны
(<р = сопз!) называется фазовой скоростью.
Если направление ^ составляет с х угол а (€ = х / соз а) (рис. 5.6), скорость перемещения фазы в этом направлении превышает ух, по скольку = ух/ соз а. Фазовая скорость не является векторной ве личиной в обычном смысле и может превышать скорость распро странения света с.
Зависимость фазовой скорости урн о т частоты ш определяет дис персию волн. При наличии дисперсии волны разных частот распро страняются с разными фазовыми скоростями.
Рассмотрим теперь набор, или пакет, гармонических волн с ча стотами в интервале ио —А и < и < ио + Аи. Если среда, через которую распространяются волны, не обладает дисперсией, то все гармонические волны распространяются с одной и той же фазовой скоростью, и пакет волн ведет себя как монохроматическая волна — его групповая скорость равна фазовой. Гармоническая волна посто янной амплитуды и частоты не может нести какую-либо информа цию (кроме того, что мы знаем о существовании передатчика, излу чающего эту волну). Каждый период волны является точной копи ей предыдущего периода. Чтобы передать определенную информа цию, необходимо волну промодулировать, т. е. изменить какой-либо ее параметр —амплитуду, частоту или фазу - в соответствии с пере даваемой информацией.
Для простоты рассмотрим волну и(х, 2) как суперпозицию (сум
му) двух волн одинаковой амплитуды с частотами |
= шо — |
и |
|
^2 = |
+ Аи>: |
|
|
и ( х , I ) = А с о з ( и ^ — к \ х ) + А с о з ^ * — к 2х ) .
Складывая косинусы, получим: |
|
|
|
|
|
|
/ ш\ “Ь с^2 |
&1 + ^2 |
|
|
и ( х , I ) = Ат о <Дж, I ) соз^ ------ -----1 |
|
|
|
где амплитуда модулированного сигнала |
|
|
||
|
■^■тпобК*^ 0 = 2Асоз^ |
~ ^ |
А?1 - к2 х ). |
|
Скорость |
распространения |
модулированного |
сигнала |
|
ЛполОМ) легко найти из условия постоянства амплитуды (напри мер, сохранения ее максимального значения). Для этого необходи
мо, чтобы аргумент |
— ^ 2) 1 / 2 —( к \ —к 2) х / 2 оставался постоян |
||
ным, т. е. |
|
|
|
|
( Ш 1 - Ш 2 , |
к х - к 2 \ |
|
4 |
— г - ( — |
г— |
= °- |
Это условие означает, что мы отслеживаем постоянную фазу сигна ла. Если условие удовлетворяется, то скорость перемещения моду лированного колебания равна:
(1х —и>2
(И —а?2
В пределе (при —>с^) получим скорость распространения моду ляции или групповую скорость удг сигнала:
(5.19)
9Т |
<1к |
й \ ' |
Соотношение между фазовой и групповой скоростью получим, вы числив полный дифференциал от (5.18):
(1урн = \в / + /(IX. |
|
||
Деля на (1ХУнаходим: |
|
|
|
в/ |
(1урн 1 |
(5.20) |
|
Ж ~ Х~Ж~~ А* |
|||
|
|||
Подставляя (5.20) в (5.19), получим:
+ /А
или в окончательном виде:
х(%Урк |
(5.21) |
г)дг —Урк — |
Это уравнение называется уравнением Рэлея.
Если фазовая скорость не зависит от длины волны (то есть среда не является диспергирующей), то
У д Г --- |
У р к ' |
Для радиоволн, распространяющихся в вакууме, групповая и фазо вая скорости равны скорости света
с = 299792458 м/с.
При распространении света через среду с показателем преломления
п скорость волны
с
V — — .
П
Применяя эту формулу к фазовой и групповой скорости, получим:
Удг — |
(5.22) |
п дг, Пръ —соответствующие показатели преломления. Дифференци руя по Л фазовую скорость, получим:
йурк |
с с1т1р}1 |
|
(5.23) |
Подставляя (5.22) и (5.23) в (5.21), получим:
с |
с |
С |
(1т1р}1 |
ТЪдг |
*Я>рк |
+ Лп2 |
(5.24) |
АХ |
|||
|
|
%рк |
|
Преобразуем (5.24) следующим образом:
1 йпрн \ -1
ТЪд<р --- 'Н’р к ( 1 ~Ь А
ТЪрк ^ /
ограничиваясь только линейными членами:
п д г « П р н ^ 1 - л Д |
= П р к - А йХ |
(5.25)
Используем полученные уравнения для учета распространения радиоволн через ионосферу Земли. Ионосферу образуют верхние слои земной атмосферы, в которой газы частично ионизованы под влиянием ультрафиолетового и рентгеновского солнечного излуче ния. Ионосфера является электрически нейтральной плазмой, т. е. она содержит равное количество положительных и отрицательных частиц. Число электронов ЛГе в кубическом метре (плотность элек тронов) меняется по высоте сложным образом, достигая максимума на высотах от 250 до 400 км, где ЛГе равно примерно 1012 м-3. Рас пределение плотности электронов зависит от времени суток, време ни года, уровня солнечной активности. Величина Ые в одно и то же время от точки к точке ионосферы может меняться на порядок.
От плотности свободных электронов зависит частота колебаний плазмы: _______
47г/Уее2
га
где ей га —заряд и масса электрона. Частота шр называется ленгмюровской или плазменной частотой. Для ионосферы она находится в пределах от 3-5 до 10 МГц и равна:
/ Р = ^ = 8, 978^ |
[гц]. |
Под действием радиоволны в ионосфере могут возникать как вы нужденные колебания электронов и ионов, так и различные виды коллективных собственных колебаний (плазменные колебания). В зависимости от частоты радиоволны шосновную роль играют те или другие из них и поэтому электрические свойства ионосферы различ ны для разных диапазонов радиоволн. Волны с частотами ш < ир не могут распространяться в ионосфере и отражаются от нее. Волны с частотами ш > ир проходят через ионосферу, но фазовые скорости сильно зависят от частоты.
Приближенное дисперсионное соотношение для радиоволн в ионосфере можно получить, если воспользоваться определениями показателя преломления (5.22) и волнового числа (5.17). Имеем:
<?к2