книги / Сферическая астрономия
..pdf
причем С2 = —/р / 2 = - 4 0 ,3]Уе [Гц2]. Дифференцируя (5.29), полу чим:
|
(5.30) |
(5.25), находим: |
|
ЬдТ - 1 - 2 /12 - |
(5.31) |
Таким образом, фазовый и групповой показатели преломления от личаются от 1 на одинаковую величину, но разного знака:
С2 |
Т1дг 1 — |
С2 |
Т1рк 1 = “72 ^ |
^ 0 . |
Назовем интеграл от показателя преломления п
8 =
51
взятый вдоль траектории между точками ионосферы, радиусы-векторы которых 8 1 и 8 2 , оптической длиной пути (рис. 5.7); 6,8 — элемент ду ги, соединяющей точки А и В.
Рис. 5.7. Ионосферная рефракция.
Геометрическое расстояние между концами векторов 8 1 и 8 2 рав
но:
|®1 - 8г| = «О =
где бзо —элемент прямой линии, соединяющей точки А и В (рис. 5.7).
5.1. Рефракция
19 Зак.286
Определение 5.1.1. Разность з — $о = ргоп называется задержкой радиосигнала в ионосфере (или ионосферной рефракцией):
82 82
ргоп = 5 — 50 = ^ пЗз —^ дзо-
51 51
Для фазовой скорости ионосферная рефракция равна:
р1Т = ] ( 1 |
+ Щ)<ь - ] * 0 . |
( 5 .3 2 ) |
|
51 |
^ |
51 |
|
Аналогичное выражение можно написать для групповой скорости:
5 2 |
82 |
|
р \7 = |
р 5о- |
(5.33) |
51 |
51 |
|
Таким образом, задержка монохроматического сигнала в ионосфере отрицательна, рг°^ < 0, так как его фазовая скорость больше скоро сти света, а задержка пакета гармонических волн — положительна (р$Г > 0).
Чтобы упростить выражения (5.32) и (5.33), предполагают, что дз = Ззо, то есть интегрирование по кривой заменяют интегрирова нием по прямой линии, соединяющей точки А и В. В этом случае имеем: Ззо = Зх/ созг', где Зх — приращение высоты, г' —зенитное расстояние источника в точке А (рис. 5.7). Используя эту аппрокси
мацию, получим, что задержка в ионосфере равна: |
|
|||||
РрН = / |
зес г '^ с Ь , |
р1°гп = - |
|
вес г '^ с Ь . |
(5.34) |
|
81 |
|
^ |
|
81 |
^ |
|
При наблюдении источника в зените (г! = 0) находим |
|
|||||
РрН |
= - |
ТЕС, |
= ^ Т Е С , |
|
||
где
52 ТЕС = $ ЛГе<& (5.35)
«1 есть полное содержание электронов (1оЫ е1ес1:гоп соп1еп1) в зените.
Обычно ТЕС измеряется в единицах 1016 электронов/м2.
1200
5осо 800 —
с:
т
г-4
О
т-4
ш400
0
10-июн-98 12-ИЮН-98 14-июн-98 16-июн-98 18-июн-98 20-июн-98
Рис. 5.8. Изменение содержания электронов в ионосфере (с разрешения Ю.П.Илясова).
В качестве примера на рис. 5.8 показано изменение ТЕС в те чение полутора недель. Измерения сделаны в Калязине и Кашиме (Япония) с 10 по 21 июня 1998 г. Хорошо видна суточная периодич ность содержания электронов, а также случайные изменения ТЕС. Средней величине ТЕС = 3 • 1016 эл-в/м2 на частоте 1,4 ГГц соот-
5.1. Рефракция
19*
ветствует задержка сигнала в ионосфере АтгОП = ргд°гп/с = 2,1 нс, а на частоте 2,2 ГГц — 1 нс. Неучет поправки АтгОПв виде синусо иды с периодом в сутки и амплитудой, равной 1 нс, приведет к су точным вариациям координат радиоисточника на величину ~ 0','01 при наблюдении на интерферометре с базой 7000 км. Очевидно, что без учета ионосферной задержки высокой точности при наблюдени ях на РСДБ достигнуть нельзя.
В случае наблюдений в одном частотном диапазоне ионосферная задержка может быть представлена в виде модели:
(5.36)
Интегрирование в (5.32) и (5.33) проводится по прямой линии. По этому, пренебрегая изменением зенитного расстояния 2! вдоль тра ектории луча, т. е. считая, что г & г', получим выражение для функ ции Ф(г) в виде:
а д = |
у/В? сое2 г + + 2Д/12 —у/В? сов2 г + Н\ + 2КН\ |
||
Ь>2 |
— |
||
|
|||
где К —средний радиус Земли, Нъ Н2 —высота нижней и верхней границы ионосферы.
Из рис. 5.8 видно, что кроме регулярных изменений ТЕС имеют ся случайные вариации. Они приводят к нерегулярным изменени ям задержки ТгОП, которые могут достигать ~ 3 нс. Это очень боль шая величина для РСДБ. Аппроксимация задержки моделью (5.36) позволяет лишь частично учесть эти вариации. Поэтому для исклю чения ионосферной рефракции применяется особый прием: наблю дения проводятся одновременно на двух частотах, например X и 5 диапазонов (/х —8,4 ГГц, / 5 = 2 ,2 ГГц). Тогда задержка сигнала в этих диапазонах равна:
тх ~ То + Тг*п,
Та то И- т^огг,
где то — задержка сигнала, не зависящая от ионосферы. Вычитая из одного уравнения другое, получим:
—т = т- |
_ /т? |
(5.37) |
1 х 1 з 1 г о п |
1 го п |
где Ь = 40, ЗТЕС/с. Задержки тх,т3 определяются при корреляци онной обработке магнитных лент. Тогда ионосферная задержка в Х-диапазоне может быть найдена из уравнения:
(5.38)
/ в |
^ x |
Проводя наблюдения на двух далеко разнесенных частотах, можно определить ионосферную задержку с ошибкой менее 10 пкс.
Помимо ионосферы, радиоволна распространяется через меж звездное пространство, которое также является плазмой. Поэтому уравнение (5.37) в общем виде выражает дисперсию радиосигнала при его прохождении от источника до наблюдателя. При рассмотре нии теории пульсарного тайминга мы уже встречались с этим явле нием (рис. 4.14).
5.1.6. Рефракция и задержка радиосигнала в тропосфере
Влияние нейтральной атмосферы (т. е. неионизованной части ат мосферы) на распространение радиоволн приводит к тропосферной рефракции и задержке сигнала. Нейтральная атмосфера является недисперсионной средой для радиоволн с частотой до 15 ГГц, и, сле довательно, распространение волн не зависит от частоты, если ча стота наблюдений ниже 15 ГГц. Рефракция и задержка сигнала в тропосфере определяется составом газов в ней. Основную неопреде ленность в вычисление этих величин вносит, главным образом, наше незнание количества водяного пара в столбе тропосферы в направ лении источника.
Рассмотрим этот вопрос подробно, так как именно ошибка вы числения задержки в тропосфере ограничивает точность современ ных систем, таких как РСДБ и СРЗ. Наблюдения на этих систе мах проводятся в сантиметровом и дециметровом диапазонах и ча сто на больших зенитных углах. Поэтому подынтегральное выраже ние в (5.4) путем замены переменной следует преобразовать таким образом, чтобы интеграл был хорошо определен при приближении г
к 90°.
о
вычисляемому вдоль траектории распространения света, где п —по казатель преломления среды на участке Зз. Будем считать, что в точ ке О находится наблюдатель, а в точке В — источник. Пусть Ко и К в — геоцентрические радиусы-векторы, проведенные в точки О и В , соответственно.
Разность оптической длины пути и расстояния между точками О и В по прямой линии равна:
АО = 0 - \ К о - К в 1
которую обычно представляют в виде двух слагаемых:
вв
А О = ^ ( п — 1) З з + ^ З з —|Ко —К в|.
Введем обозначения:
6 0 = ] \ п - 1)<&; 61 = 4в - |Ко - Кв|-
Значит АО = <Ш + 51. Величина 6 0 определяется отличием ско рости света V в среде от скорости в вакууме с, так как п = с/У , а 61 — кривизной траектории распространения света. В атмосфере Земли величина 61 значительно меньше <Ш, и далее мы ее учитывать не будем.
Как говорилось выше, V является фазовой скоростью волны, и, поэтому, величину <Ш часто называют фазовым набегом. В случае немонохроматического света, строго говоря, мы должны использо вать групповую скорость и соответствующий ей групповой показа тель преломления. Однако тропосфера не вносит дополнительной задержки в групповую скорость сигнала, и, поэтому, мы не будем в этом параграфе делать различия между фазовым и групповым по казателями преломления воздуха. Задержка сигнала в тропосфере
АтЬг = А Б /У « 6 0 IV.
В подинтегральное выражение (5.4) входит функция Зп/п. Так как показатель преломления п вещества согласно формуле ЛоренцЛорентца (если молекулы являются неполярными)
п2 |
—1 |
а М |
(5.39) |
п2 |
+ 2 |
или формуле Ланжевена-Дебая (для вещества с полярными моле кулами)2*зависит от отношения р/М, то нашей задачей является вы вод выражения, связывающего п с плотностью составляющих воз дух газов. В формуле Лоренц-Лорентца (5.39) р —плотность, М — молекулярная масса, а —так называемая молекулярная рефракция.
В основе вычисления фазового набега лежит уравнение состоя ния влажной атмосферы, находящейся в гидростатическом равнове сии. Для его вывода предположим, что воздух состоит из смеси су хих газов (табл. 5.2) и небольшого количества водяного пара.
Таблица 5.2. Состав сухого воздуха у земной поверхности.
Газ
Азот
Кислород
Аргон
Углек. газ
Неон
Гелий
Криптон
Водород
Ксенон
Озон
Сух. воздух
Объемное
содержание*,
г,%
78,084
20,946
0,934
0,0314
1,818-10—3
5,239-Ю-4
|
О |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1— |
|
|
5-10-5 |
|||
ОО |
—)1 О |
|
о> |
|
|
1 |
|
10“ 6 н-10-5
100
Молекулярная Плотность
масса, отн-но
М, кг/кмоль |
воздуха |
28,0134 0,967
31,9988 1,105
39,948 1,379
44,00995 1,529
20,183 0,095
4,0026 0,138
83,800 2,868
2,01594 0,070
131,300 4,524
47,9982 1,624
28,9645 1,000
* Отношение объема (в %), занимаемого данной газовой составляющей, к общему объему смеси при условии приведения их к одинаковым давлениям и температурам.
2 В полярных молекулах «центр тяжести» электронного облака не совпадает с «центром тяжести» положительных зарядов ядер атомов, в отличие от неполярных молекул. К последним относятся молекулы простых веществ (Нг, N2 ) и др. Молеку лы сложных веществ могут быть как полярными, так и неполярными. В частности, молекулы СО2 — неполярны, а воды (Н 2 О) — полярны.
Состояние каждого из атмосферных газов зависит от трех пара метров: температуры Т, давления р и плотности р. Для идеального газа эти величины связаны уравнением состояния:
р К Г |
(5.40) |
Р = |
|
М |
’ |
где К —универсальная газовая постоянная, М —молекулярная мас са. Численное значение К = 8314,41(26) ДжДкмоль • К).
В атмосфере Земли основные газы, входящие в состав воздуха, ведут себя практически как идеальные газы. Поэтому уравнение со стояния какого-либо газа имеет вид (5.40):
р%ВТ |
(5.41) |
Р г = ~ ж |
Для водяного пара уравнение (5.40), строго говоря, непримени мо, так как удельная газовая постоянная = К /Мю пара зависит от температуры и его парциального давления. Однако для интервала температур от 0 до 40° С свойства водяного пара близки к свойствам идеального газа. Принятое значение молекулярной массы водяного пара равно Мт = 18,0152 кг/кмоль. Тогда уравнение Клапейрона для пара имеет вид:
р^Уы = КшТ, |
(5.42) |
где рм —парциальное давление пара, ут —его удельный объем. Ес ли в удельном объеме влажного воздуха у содержится га кг водяного пара и (1 - Тп) кг сухого воздуха, то = у/т . Удельный объем сухо го воздуха равен уд = у/( 1 —га). Напомним, что удельный объем — это объем газа, приходящийся на единицу массы.
По закону Дальтона общее давление смеси газов равно сумме парциальных давлений. Поэтому
Р = Рс1 + Р г и , |
(5.43) |
где индексы <2, гс обозначают сухую и влажную составляющие возду ха. Так как давление сухого воздуха рд = р - рт, то имеем:
Р6.Щ = К([Т, |
(5.44) |
где К д = К / М д , М д = 28,9645 кг/кмоль. Складывая (5.42) и (5.44), получим уравнение состояния влажного воздуха:
р у = К д Т 1 + т{^ Мд_
которое, учитывая что V = 1/р, |
= 1/ ри„перепишем в виде: |
Р = |
рК% |
(5.45) |
где Ту —так называемая виртуальная температура:
Ту = |
т . |
(5.46) |
Из формулы (5.43) и уравнения состояния (5.41) выразим плот ность влажного воздуха через плотность его составляющих:
Р _ |
р<1 , |
Руо |
М ~ |
Мл |
Мт |
Содержание водяного пара в атмосфере характеризуется очень большой изменчивостью (рис. 5.9). На рисунке показано количе ство осажденной влаги у поверхности Земли для января и июля; оно близко к нулю в высоких широтах и может достигать 60 кг/м2 (или 4% по объему) в экваториальной зоне. Количество водяного пара очень быстро уменьшается с высотой. В слое воздуха от 0 до 2 км содержится около 55% всего его количества, в нижней тропосфере (в слое 0-5 км) —уже 90%. В верхней тропосфере (от 5 до 11 км) водяного пара менее 10%, а в стратосфере его количество составляет десятые или даже сотые доли процента. Это обстоятельство мы ис пользуем в дальнейшем: при расчете вклада водяного пара в задерж ку радиосигнала мы будем полагать, что воздух, начиная с высоты тропопаузы, равной 11 км, состоит из смеси только сухих газов.
Получим теперь дифференциальное уравнение для влажной ат мосферы, находящейся в гидростатическом равновесии. Это пред положение означает выполнение условия:
йр — —дрйк. |
(5.48) |
Изменение давления йр происходит не только из-за изменения вы соты йк, но и из-за зависимости ускорения силы тяжести д от высо ты. Чтобы упростить уравнение (5.48) и исключить зависимость йр от д, вводят так называемую шкалу динамических или геопотенциальных высот у согласно уравнению:
дйк —до&У)
5.1. Рефракция
18 Зак. 286