книги / Сферическая астрономия
..pdfРис. 5.21. Параллактическое смещение звезды из-за движения Солнца в пространстве.
Влияние движения Солнца на собственное движение звезды по прямому восхождению и склонению можно легко найти, восполь зовавшись формулами (5.115) и (5.116). В этих формулах величи ны Х уУ, 2 — барицентрические координаты Земли, или, если ба рицентр назвать апексом, то Х уУ, 2 — это координаты Земли от носительно апекса. Значит, изменение координат звезды вследствие движения Солнца выражается такими же формулами, но вместо Х у У у2 надо использовать координаты Солнца относительно апекса А (рис. 5.21). Обозначим их как (Х0 , У0 , я©). Тогда:
Ла соз б = 7г(Х0 8 Н1 а —У0 соз а),
=7г(Х0 8Ш б С08 а + У0 81П б 81П а — 20 соз Я).
Дифференцируя эти уравнения по времени и ограничиваясь лишь первыми производными, получим, используя (5.125):
//а соз а = 7г(Х0 з т а —У0 соз а),
(5.131)
Д^ = 7г(Х0 зт^созск + У0 з т й з т а —2® соз б).
Компоненты скорости Солнца относительно апекса можно най ти по формулам:
X0 —У&соз $0 соз су0 ,
УО — 008 *© 8*п а О»
2<0 = У©81ПЙ0 ,
где У0 = 19,5 км/с, а 0 = 271°, <50 = 30°.
5.5.Измерение параллаксов и собственных движений звезд
Собственное движение можно разложить на две составляющие: параллактическую —//а , и пекулярную —/ А , /А :
[Ла С08 6 = С08 5 + /Л,” а С08 6 ,
№ = /4 + /А -
Пекулярное собственное движение является следствием движе ния звезд в пространстве и содержит компоненту, вызванную галак тическим вращением. Как и Солнце, ближайшие звезды вращаются относительно центра масс Галактики со скоростями около 250 км/с.
Для исключения галактического вращения используют привяз ку собственных движений звезд каталога к галактикам, которые можно считать практически неподвижными. Для этого проводится фотографирование галактик в две разные эпохи, а затем определяет ся кажущееся смещение галактик/7^, 77^ относительно группы опор ных звезд. Если /7$ —измеренное среднее собственное движение группы опорных звезд, то систематическая поправка для данной об ласти неба равна:
ДМа=7^-Ма, |
Д/45 = 1*6 — 7* 6 - |
Этот метод позволяет абсолютизировать собственные движения звезд, расположенных вблизи галактик. Так как галактики распре делены по небу неравномерно, то получить поправки Д/ма, А/л6 для всех звезд каталога невозможно, и их приходится интерполировать. Если в результате такой процедуры окажется, что суммарная по правка к системе собственных движений не равна нулю, это будет означать вращение системы координат, определяемой данным ка талогом. Для исключения подобного вращения при уточнении соб ственных движений накладывается условие равенства нулю сум марной поправки по всему небу.
Проблема определения параллаксов звезд является одной из са мых сложных в астрометрии из-за малости эффекта. Для определе ния параллаксов широко использовался метод Шлезингера.
В течение нескольких лет фотографируется одна и та же область неба со звездами, параллакс которых измеряется, и одна из фотопла стинок называется стандартной. Вокруг каждой из интересующих
нас звезд выбираются опорные звезды, параллакс которых считается равным нулю. Таким образом предполагается, что координаты опор ных звезд изменяются лишь из-за собственного движения. Исполь зуя измерения опорных звезд на пластинках, находят коэффициен ты связи координат этих звезд из стандартной пластинки с коорди натами звезд из других пластинок. Используя теперь найденные па раметры связи, можно пересчитать координаты измеряемых звезд со всех пластинок к системе стандартной пластинки. Далее предпола гается, что координаты измеряемых звезд отличаются из-за их соб ственного и параллактического движения. Решая систему условных уравнений методом наименьших квадратов, можно найти значения 7г и для исследуемых звезд.
Так как решение получается при условии равенства нулю па раллаксов опорных звезд, то найденный параллакс не является аб солютным. Точность фотографического метода определения парал лаксов характеризуется среднеквадратичной ошибкой ±0','01.
Революционный прорыв в проблеме измерения параллаксов про изошел в результате выполнения космического проекта ГИППАРКОС. В течение ~ 3,5 лет наблюдались ~ 118000 звезд, причем каж дая в среднем 20 -т- 40 раз. В результате наблюдений и обработки результатов опубликован каталог, включающий 117955 звезд. Сред няя точность наблюдений для звезд ярче девятой звездной величи ны характеризуется следующими среднеквадратичными ошибками: ±0,87 мс дуги по а, ±0,64 мс дуги по 6; ±0,88 мс дуги/год по //а, ±0,74 мс дуги/год по //«$, ±0,97 мс дуги по параллаксу.
Расстояние до 20853 звезд измерено с относительной ошибкой менее 10% и до 49399 звезд —с ошибкой менее 20%. Несомненным достижением проекта ГИППАРКОС является то, что параллаксы измерены абсолютным способом. Благодаря этому оказалось воз можным построить трехмерную карту распределения звезд в окрест ности Солнца.
5.6. Отклонение луча света в гравитационном поле
Свет от звезд распространяется в гравитационном поле, которое создается другими звездами, Солнцем, планетами и т. д. Для точ ного вычисления гравитационного отклонения луча света необхо
димо знать массу тела, расстояние до него от Земли и его коорди наты на небесной сфере. Для тел Солнечной системы эти парамет ры известны, и вычисление отклонения луча света в поле тяготения Солнечной системы не представляет особой сложности. Учет грави тационного поля звезд нашей Галактики на распространение света или радиоволн не может быть выполнен достатдчно точно из-за то го, что расстояние до большинства звезд неизвестно, а массы извест ны весьма приблизительно. Кроме видимых звезд, существует тем ные, невидимые тела, которые составляют значительную долю мас сы Галактики. Так как гравитационное поле темных тел также вли яет на распространение света (этот эффект называется в литерату ре микролинзированиеМу так как темные тела являются гравитацион ными линзами), то точные астрометрические наблюдения могут по мочь решить проблему «скрытой массы» Галактики.
Для вычисления гравитационного отклонения луча света вос пользуемся метрикой (4.45) и запишем выражение для квадрата ин тервала в виде:
Лз2 = с 2 (1 — 2ф)сН2 —(1 + 2ф)дг2,
где ф = И/с2, V — С М /г — гравитационный потенциал на расстоя нии г от тела с массой М. Так как событием является прием сигнала, распространяющегося со скоростью света, то йз2 = 0 и
( — V |
= 2 1 - 2<А |
\<и ) |
1 + 2ф |
или, пренебрегая членами порядка с”4, получим
ж = ч / ^ “ с<1" 2й' |
(5132> |
Назовем величину V = йг/<й координатной скоростью фотона: То гда, согласно уравнению (5.22),
V |
1 |
-с = |
п п « 1 + 2ф, |
где п —показатель преломления. В результате, локальная скорость фотона зависит от локального гравитационного потенциала. Грави тационное поле проявляет себя, можно сказать, как среда с показа телем преломления п = 1 + 2ф.
Вид траектории фотона определяется условием (2.47). Началь ная скорость фотона равна скорости света. Мы будем рассматри вать ситуации, когда гравитационные поля являются слабыми, т. е. с2 > 217, или ф <С 1. Следовательно, фотон в слабом гравитацион ном поле движется по гиперболической орбите.
Если вместо фотона рассмотреть фронт плоской волны (поверх ность постоянной фазы), проходящей через гравитационное поле, то отличие показателя преломления от единицы приведет к повороту фронта на некоторый угол.
Рассмотрим плоский фронт волны, распространяющейся в на правлении оси Ох в момент времени I (рис. 5.22). Будем считать, что гравитационное поле создается телом, расположенным в точке О. В момент времени I нормаль п к фронту волны параллельна оси Ох.
Рис. 5.22. Поворот фронта волны в гравитационном поле.
Согласно принципу Гюйгенса каждый элемент поверхности, ко торой достигла в данный момент времени волна, является центром элементарных волн, огибающая которых будет волновым фронтом в следующий момент времени. Так как в гравитационном поле ско рость света зависит от локального гравитационного потенциала, то волна, проходящая вблизи тела, создающего гравитационное поле, распространяется медленнее, чем волна, проходящая вдали от те ла. Следовательно, поворот фронта волны обусловлен уменьшени ем фазовой скорости волны при увеличении гравитационного поля: нормаль п(1 + Д2) уже не будет параллельна оси Ох.
у(уо + Ау)А1 - у(уо)А1
(5.133)
А у
где у = д,х/<И — координатная скорость света в направлении х, зави сящая от координаты у. Деля обе части выражения (5.133) на А х и находя предел выражения при А х —>0, получим дифференциальное уравнение:
(10 |
1 (1у |
йх |
(5.134) |
у йу |
Применим теперь это уравнение для вычисления величины от клонения луча света в поле тяготения сферически-симметричной массы. Траектория фотона в этом случае лежит в плоскости. Будем считать, что начало системы координат О совпадает с центром тела; в плоскости, в которой лежит траектория фотона, определяем оси Ох, Оу. Пусть луч света распространяется вдоль оси Ох, а мини мальное расстояние траектории фотона от тела О, называемое при цельным параметром, равно г0 (рис. 5.23).
Рис. 5.23. Координаты, принятые при расчете отклонения света в гравита
ционном поле.
Интервал для света в сферически-симметричном поле (решение Шварцшильда) можно записать в виде (4.44):
(1з2 = о = с2 ^1 — |
с ) |
------- ~~~2й ” г 2 ( ^ 2 + 8*п2 &<кр2)- |
\ |
1 ” |
5.6.Отклонение луча света в гравитационном поле
23 Зак. 286
Так как луч света при распространении в сферически-симметрич- ном гравитационном поле не выходит из плоскости Оху, то $ = 90° и (Ы) = 0. Тогда
0 « с2 ( 1 —2ф)сИ2 - йг2{1 + 2 ф) - г2Ф<р2.
Это уравнение перепишем в следующем виде, учитывая, что измене ние <1увдоль траектории мало, а (1 —2ф)~1 « 1 + 2ф:
|
|
2 |
0 « с2 ( 1 |
—2 ф)(Н2 — ( |
( 1 + 2 ф)(1х2 —г2 ( - у - |
|
|
с1х |
Так как г = |
^/х2 + г/2, р = |
агссоз (у/\/ж 2 + г/2), то |
с2г\ 2 __ / # \ 2
= \ г / ’
Теперь
0 « с2(1 -—2</>)Лф)сИ2 -
/ V * 2 = |
|
Vй х) |
г4 |
аг (1 + 2ф-^)(1х2.
Координатная скорость света г; вдоль оси х:
ах |
1к-11ю__11/2 |
Лч/ л Г |
|
|
_1 + 2ф $ т |
^ с |
- * о + й 1 |
йх2.
(5.135)
Отклонение луча в зависимости от х найдем по формуле (5.134):
ав |
~ |
1 (1у |
. ( Ъх2у |
|
ах |
V ау |
^ ^ ( —5— *" |
г2) |
|
|
\ г4 |
Интегрируя это выражение от —оо до +оо по переменной х унайдем угол в — угол отклонения света в гравитационном поле:
+ о о |
|
-ЛЛ ^ |
' |
Чтобы вычислить интеграл, будем считать, что координата у фото на меняется вдоль траектории незначительно, т. е. у = г*о. Тогда х = го р, Лх = го зес2 р ар, г = го/ сое р. Переходя к интегрирова нию по р, заменяем пределы интегрирования от —оо до +оо на —7г/2 и 7г/ 2, соответственно. В результате получим:
^ _ &М г (з 8}п2 <р + 1} с08<р ар = |
. |
(5.136) |
С2 Го |
с2г0 |
|
- т г /2
Величина
2 С М
Г, = ~
имеет размерность длины; ее называют гравитационным радиусом тела. Для Солнца СУМ© = 1, 32712442076 х Ю20м3с""2, и г9 « 2,95 км.
Максимальное отклонение будет при касании лучом поверхно сти Солнца. Так как Д© ~ 700000 км, то в = 2г9/К 0 » Iх,'75.
Отклонение луча света в гравитационном поле было вычислено на основе ОТО А. Эйнштейном в 1915 г. и впервые измерено А. Эд дингтоном в 1919 г. во время солнечного затмения. Теория Ньютона также предсказывает этот эффект. Однако величина отклонения лу ча света по Ньютону получается вдвое меньшей.
Для измерения отклонения луча света в гравитационном поле Солнца фотографировали звездное.поле во время солнечного затме ния. Измерение сдвигов изображений звезд и сравнение с их поло жениями на снимках, сделанных по прошествии ~ 6 месяцев, пока зало, что угол в находится в пределах Iх,'3 2х,'7, что согласуется с ОТО в пределах 25%. Этот эксперимент явился триумфальным под тверждением эйнштейновской теории тяготения — общей теории относительности. В настоящее время для проверки ОТО использу ется наблюдения квазаров на РСДБ, и результаты измерений отли чаются от теоретической оценки менее, чем на 1%.
5.7.Изменение координат опорного источника
вгравитационном поле Солнца
Впредыдущем параграфе мы показали, что при прохождении фотоном гравитационного поля массивного тела
1)координатная скорость фотона оказывается зависящей от его координат и
2)траектория движения фотона искривляется.
Изменение скорости фотона вдоль траектории приводит к изме нению времени прохождения расстояния между двумя точками про странства по сравнению с ньютоновской теорией, т. е. к дополни тельной гравитационной задержке сигнала. Следовательно, этот эф фект важен при измерении не только координат, но и временных ин тервалов.
5.7. Изменение координат опорного источника в поле Солнца
23*
Искривление траектории движения фотона приводит к тому, что наблюдатель измеряет видимые координаты источников, так как по ложение источников определяется вектором, касательным к траек тории фотона в точке наблюдения. Изменение гравитационного по ля во времени из-за движения в пространстве тел — гравитацион ных линз —относительно опорных источников приводит к движе нию видимых изображений источников. Поэтому при редукции по зиционных наблюдений эти смещения должны быть учтены.
Используя полученный выше результат, найдем изменение ко ординат звезды или радиоисточника сначала в векторном виде, а за тем в сферических координатах.
Строгое решение этой задачи может быть получено лишь в рам ках ОТО. Здесь мы лишь укажем путь решения этой задачи.
Движение свободной материальной частицы в рамках теории от носительности определяется принципом наименьшего действия, со гласно которому частица движется так, что ее мировая линия меж ду двумя заданными мировыми точками является экстремальной. В ньютоновской механике в плоском трехмерном пространстве этому соответствует прямолинейное равномерное движение. В гравитаци онном поле частица движется по мировой линии, которая также яв ляется экстремальной и называется геодезической. Но так как про странство не является плоским, то пространственное движение ча стицы уже не является прямолинейным и равномерным. Геодезиче ская линия свободной частицы является времяподобной, а фотона,— нулевой.
В трехмерном пространстве решение уравнений Ньютона запи сывается в виде: х — х(1), у — у(1), г = г{1). Координаты х ,у ,г
ивремя ^ входят в формулы совершенно неравноправным образом. Чтобы восстановить симметрию, введем произвольный параметр Л
иопишем движение точки в четырехмерном пространстве-времени четырьмя функциями:
Гх = ж1 (Л), у = х2(Х), г = х3(А),
гсЬ = ж4(А),
или в более короткой записи, хг = хг(А), г = 1 4; А называется аф финным параметром. Аффинный параметр может быть выбран про
извольным образом. В частности, им может быть интервал 5, кото рый определяется метрическим тензором д^\
6з2 = д^6хг6х^.
Вформуле подразумевается двойное суммирование по индексам г и
Дкоторые принимают значения 1 —4. Так как д^ является ковариантным тензором ранга 2, а дифференциалы 6хг компонентами контравариантного вектора, то 6з2 является скалярной величиной.
Геодезическая определяется функциями хг = хг(з), которые удо влетворяют следующим дифференциальным уравнениям:
62хг |
{ |
6хк 6х1 _ |
(1з2 |
ы |
(5.137) |
6,8 6з |
где Тгк1 —символы Кристоффеля, которые выражаются через метри ческий тензор.
Решение уравнений (5.137) в форме х 1 = х*(з) позволяет найти четырехмерный вектор, касательный к геодезической. Именно этот вектор определяет направление на источник.
Используем здесь приближенный, более простой метод решения задачи. Заметим, что в качестве тел — гравитационных линз —мо гут выступать Солнце, планеты, звезды. Сначала получим уравне ние гравитационной линзы.
Чтобы упростить решение задачи, будем считать, что вдали от тела-линзы фотон движется по прямой линии. Если звезда находит ся в точке 5, а наблюдатель в точке О, то траектория фотона может быть представлена двумя прямыми линиями 8 В и ВО, угол между которыми и показывает насколько отклоняется свет в поле тяжести тела Ь (рис. 5.24). Видимое изображение звезды Д находится на ли нии ВО.
В редких случаях наблюдатель может увидеть второе изображе ние Д , когда лучи от звезды пройдут по другую сторону тела Ь и по падут в точку О.
Введем следующие обозначения. Расстояние от звезды 5 до тела Ь обозначим как Изь, расстояние от наблюдателя О до Ь —как Д&. Угол между направлением на тело Ь и истинным направлением на звезду 5 равен в, между Ь и видимым изображением Д — в\. Угол а