книги / Сферическая астрономия

Солнце пройдет 360° по эклиптике. Поэтому другое название пре­ цессии — предварение равноденствий. Ясно, что звездный год, или время, требующееся Солнцу для совершения полного оборота по эк­ липтике, будет длиннее тропического года (времени между двумя последовательными прохождениями Солнца через точку весеннего равноденствия) на

50','3 1296000" 365,2422 0,01417 суток.

За 0,01417 суток Солнце проходит дугу в 50"3, которая называется прецессионным смещением точки весеннего равноденствия.

На прецессионное движение оси вращения Земли накладывает­ ся колебательное движение: полюс мира описывает за 18,6 года эл­ липс с осями 18"4 и 13"7 относительно среднего положения. Это дви­ жение было названо нутацией. В результате полюс мира описывает волнистую линию на небесной сфере (рис. 6.1 и рис. 1).

Причиной прецессии и нутации является несферичность Земли и несовпадение плоскостей экватора и эклиптики. В результате гра­ витационного притяжения Луной и Солнцем экваториального утол­ щения Земли возникает момент сил, стремящийся совместить плос­ кости экватора и эклиптики (рис. 6.2). Как будет показано ниже, лунно-солнечный момент сил, вызывающий прецессию, пропорци­ онален г-3, где г —расстояние от Земли до Солнца или Луны. Из-за

близости Луны к Земле главную роль в прецессионном и нутацион­ ном движении полюса мира играет не Солнце, а Луна: влияние Лу­ ны примерно в два раза больше.

Из рис. 6.2 видно, что так как ЗА < 8 0 < 8 В , то \Т?а \ > 1*01> |Гв| и из векторных равенств Г 1 = Г^ - Го, Г 2 = Гв - Го следует, что пара сил Г 1 и Г 2 стремится повернуть плоскость экватора АВ по часовой стрелке. Из-за вращения Земли такого поворота не про­ исходит, но ориентация оси вращения изменяется: она описывает в пространстве конус. Угол между осью вращения Земли и осью ОЩг равен углу наклона эклиптики к экватору: е « 23?5.

Направление движения оси определим из следующих соображе­ ний. Воспользуемся для этого теоремой Резаля, используемой при построении теории гироскопов2. Эта теорема, по существу, является интерпретацией теоремы об изменении углового момента тела (6.1). Так как производная сСН/сИ представляет собой «скорость» конца вектора Н, то можно сформулировать теорему Резаля следующим образом: скорость конца вектора углового момента тела равна мо­ менту внешних сил, приложенных к телу.

Пусть к оси вращения гироскопа приложена сила Г, как пока­ зано на рис. 6.3. Если тело не вращается, то под действием силы Г ось Ог тела будет перемещаться в сторону действия силы. Если тело вращается, то действие силы вызывает прецессию оси. Для просто­ ты будем считать, что ось Ох направлена вдоль оси главного момен­ та инерции гироскопа, и вектор вращения П также совпадает с этой осью. Момент силы Е относительно неподвижной точки О (центра гироскопа) будет направлен перпендикулярно плоскости, проходя­ щей через линию действия силы и точку О. Согласно теореме Ре­ заля, конец вектора Н начинает двигаться в направлении момен­ та силы Е со скоростью <Ш/<Й. Вектор угловой скорости прецессии шрг направлен по нормали к плоскости, содержащей вектор Е (или сШ/<Й), так как согласно формуле <й/<й = П х г для скорости точки твердого тела скорость конца вектора Н равна:

<Ж<й —(л)рг х Н .

2Гироскопом называется твердое симметричное тело, вращающееся вокруг оси симметрии с угловой скоростью, которая значительно превышает угловую скорость изменения положения самой оси симметрии в пространстве. Как мы увидим ниже, Земля, как вращающееся тело, в соответствии с этим определением может считаться гироскопом.

н

Рис. 6.3. Определение скорости прецессии.

Тогда, учитывая, что Н = (О, О, СП)Т (С —главный момент инер­ ции), получим

I» = и)рг х Н

или

(6.4)

где ф —угол между векторами Н и угловой скорости прецессии шрг.

Применительно к рис. 6.2 вектор Ъ момента пары сил Г 1 и Г 2 на­ правлен перпендикулярно плоскости листа в сторону от читателя. В ту же точку направлен и вектор скорости сСН/сИ. Следовательно, вектор и)рг направлен в точку южного полюса эклиптики П5. Угол ф равен 180° —е, т. е. з т ф = з т е. Это означает, что прецессионное дви­ жение оси ОРн происходит по часовой стрелке, если смотреть с се­ верного полюса эклиптики. Рис. 6.2 отражает расположение Земли и Солнца вблизи момента зимнего солнцестояния: в северном полу­ шарии — зима, в южном —лето. Нетрудно проверить, что для летне­ го солнцестояния (Солнце будет располагаться на рис. 6.2 слева от Земли) момент сил будет направлен в ту же сторону: перпендику­ лярно плоскости листа от читателя. В моменты солнцестояний мо­ мент сил, действующий на экваториальное утолщение Земли, мак­ симален; следовательно, угловая скорость прецессии максимальна.

Во время равноденствий момент сил равен нулю; значит, скорость прецессии равна нулю.

В действительности, мгновенная угловая скорость прецессии складывается из двух частей: первая обусловлена моментом сил притяжения Солнца, вторая —Луны. В результате этого суммарно­ го эффекта северный полюс мира описывает на небесной сфере кри­ вую, близкую к окружности, с угловым радиусом е « 23?5. Период оборота равняется 1296000"/50','3 « 25765 лет.

Изменение расстояния между Землей и Солнцем, Землей и Лу­ ной, наклон орбиты Луны к эклиптике приводят к изменению сил, действующих на экваториальное утолщение Земли. В результате ве­ личина угла между осями ОРп и ОЩг меняется: появляются вариа­ ции е с периодами, равными 18,6 лет, 9,3 года, 1 и 0,5 года, 13,7 суток и т. д. Это —нутационное движение оси вращения Земли.

Притяжение планетами экваториального утолщения Земли так­ же должно вызывать прецессионно-нутационное движение оси ми­ ра. Однако из-за большого расстояния и малой по сравнению с Солнцем массы влияние планет мало. Максимальные по амплитуде нутационные гармоники не превышают 0,25 мс дуги. В теории нута­ ции МАС 1980 г. этот эффект не учитывался. В новых, более точных теориях, планетная нутация обязательно учитывается.

Гораздо большее влияние планеты оказывают на положение плос­ кости эклиптики в пространстве. По определению, плоскость эклип­ тики — это плоскость, которая перпендикулярна к вектору орби­ тального углового момента системы Земля-Луна, причем скорость барицентра этой системы вычисляется относительно инерциальной системы отсчета. Влияние планет проявляется в возмущении орби­ ты Земли, т. е. в изменении положения вектора орбитального уг­ лового момента системы Земля-Луна в пространстве. В результа­ те полюс эклиптики смещается примерно на 0','5 в год (рис. 6.1). Смещение полюса эклиптики (прецессия от планет) приводит к до­ полнительному движению точки весеннего равноденствия навстре­ чу Солнцу на 12" в столетие и уменьшению наклона эклиптики к эк­ ватору, в настоящее время — на 47" в столетие.

Таким образом, лунно-солнечная прецессия приводит к поворо­ ту плоскости экватора Земли и, следовательно, небесного экватора относительно эклиптики. Прецессия от планет приводит к измене­ нию положения эклиптики в пространстве. На рис. 6.4 изображе-

Рис. 6.4. Лунно-солнечная прецессия и прецессия от планет. Положения плоскостей экватора на эпохи То и Т обозначены как А о и А , плоскостей эклиптики — как Е о и Е . Дуга эклиптики Т оТ ( ф х ) называется лунно­

солнечной прецессией за промежуток времени * = Т —То. Дуга Т Т 1 (х) среднего мгновенного экватора А называется прецессией от планет.

ны положения плоскостей эклиптики Ео, Ей экватора Ло, Л на две эпохи То и Т. Одну из точек пересечения плоскости эклиптики Ео и плоскости экватора Ло, заданных на начальную эпоху То —точку весеннего равноденствия —обозначим как То. В результате прецес­ сии от планет эклиптика изменяет положение (на рисунке это поло­ жение обозначено буквой Е) и пересекает мгновенный экватор Л на эпоху Т в точке Т \. Определим еще точку Т как точку пересечения эклиптики начальной эпохи Ео и мгновенного экватора Л.

По определению, системы координат, задающие плоскости эк­ липтики и небесного экватора, являются средними системами коор­ динат, а точки весеннего равноденствия Т, То, Тх называются сред­ ними. Термин «средняя система координат», используемый в астро­ метрии, подразумевает, что изменение положения осей систем коор­ динат относительно инерциальной системы при преобразовании от одной эпохи к другой происходит только из-за прецессии. Если учи­ тывается нутация, то система координат называется истинной.

Положение экваториальной системы относительно эклиптиче­ ской может быть задано тремя углами Эйлера: Угол фх ра­

вен дуге эклиптики ТоТ и называется лунно-солнечной прецессией за промежуток времени 1 = Т —Го. В результате лунно-солнечной пре­ цессии средняя мгновенная точка весеннего равноденствия Т сме­ щается навстречу движению Солнца по эклиптике из-за прецессион­ ного движения экватора. Это, как показано выше, соответствует пре­ цессионному движению северного полюса мира относительно север­ ного полюса эклиптики по часовой стрелке.

Угол х равен дуге ТТх среднего мгновенного экватора А и называ­ ется прецессией от планет. В результате прецессии от планет сред­ няя мгновенная точка весеннего равноденствия Тх смещается вдоль среднего мгновенного экватора. Наклон мгновенной эклиптики Е к экватору А равен е, а эклиптики Ео на начальную эпоху к экватору А равен е'. Если, согласно Ньюкомбу, обозначить через То промежуток времени в юлианских столетиях от эпохи 1900.0, то прецессионные параметры ф\, х, е' определяются следующими разложениями:

фг = (5037','084 + 0"493Т0)* - 1"072*2,

X = (12"473 - 17887Т0)* - 27381*2,

е' = е + (070606 - 070092Т0)*2 - 0700773*3.

При I — 0 , т. е. для любой начальной эпохи, ф\ = 0 , х = 0, г1= е. В начальную эпоху, согласно исследованиям Ньюкомба, средний (по астрометрической, а не математической терминологии) наклон эк­ липтики к экватору равен

е = 23°27'08'/26 - 46"845Г0 - 0''0059Г02 + 0"00181Го3.

Так как последняя формула не содержит Т, то она определяет на­ клон эклиптики любой начальной эпохи То к экватору этой эпохи.

В соответствии с решением МАС (1976 г.), принявшим новые значения астрономических постоянных, коэффициенты разложе­ ний прецессионных параметров Ньюкомба были перевычислены. Если начальная эпоха То совпадает с фундаментальной ^000.0, то разложения имеют следующий вид:

Из-за малости прецессионных постоянныхр\, (71 получим из тре­ угольника ТТоЛГ, который можно считать плоским, соотношения между р ь <71 ига, п:

Величины га, п называются прецессией по прямому восхождению и склонению, соответственно. Значения прецессии по прямому вос­ хождению и склонению для эпохи32000.0:гао = 4612','4362/столетие, по = 2004','3109/ столетие.

Если исключить из постоянной лунно-солнечной прецессии вклад планетной прецессии, то получим годичную величину прецессии по долготе р\

Принятое значение постоянной прецессии по долготе для эпохи }2000.0 равно 50','290965/год = 5029','0965/столетие.

6.2. Определение матрицы прецессии

Явление лунно-солнечной прецессии заключается в повороте плоскости экватора относительно плоскости эклиптики. Если с плос­ костью экватора связана система координат, то это означает, что прецессия приводит к ее вращению относительно инерциальной си­ стемы координат. Чтобы учесть влияние прецессии на координаты звезд, используем матричный метод.

Пусть положение экваториальной системы координат с началом в точке О в эпоху То определяется полюсом мира 2о и плоскостью экватора, которая задается осями О Хо, ОУо* Эпоха То часто совпада­ ет с одной из фундаментальных эпох (например, 32000.0). Ось О Х о направлена в точку весеннего равноденствия То. В результате пре­ цессии экватор поворачивается и в эпоху Т займет другое положе­ ние, определяемое полюсом 2 и точкой весеннего равноденствия Т, в которую направлена ось О Х (рис. 6 .6 ). Положение системы О Х У 2 относительно ОХоУоХо определяется с помощью трех углов Эйлера, которые в обозначениях Ньюкомба имеют вид: (а ^ а ^ а - Согласно определению Ньюкомба: дуга АУ равна ха, АУо = Сл; угол ва равен двугранному углу между плоскостями экваторов. Очевид­ но, что дуга То Л равна прямому восхождению восходящего узла А

Рис. 6.6. Определение прецессионных параметров Ньюкомба Са , х а ^Оа -

экватора эпохи Т на экваторе эпохи То: ТоЛ = 90° —Сл- Соответ­ ственно дуга Т А равна прямому восхождению точки А, отсчитывае­ мому от точки Т по экватору эпохи Т: Т А = 90° 4- гд.

Как уже говорилось, по соглашению, системы координат, изме­ няющие свое положение только из-за прецессии, называются сред­ ними. Следовательно, системы координат ОХоУо^о>О Х У 2 являют­ ся средними на эпохи То и Т. Матричное уравнение

определяет преобразование координат единичного вектора г из сред­ ней системы в эпоху Т к координатам единичного вектора го в эпо­ ху То. Матрица Р называется матрицей прецессии и определяет по­ ворот средней системы за счет прецессии за промежуток времени Т —То. Матрица Р является ортогональной. Поэтому обратное пре­ образование от средней системы в эпоху То к средней системе в эпо­ ху Т легко найти, заменив Р на транспонированную матрицу Р Т:

Явное выражение матрицы прецессии легко найти, воспользо­ вавшись матрицами вращений (2.15). Три правых поворота: пер­ вый — относительно оси 0 2 на угол второй — относительно

линии узлов, с которой совмещается ось ОУ, на угол — 6а , и тре­ тий —относительно оси О2о на угол Сл переводят систему О ХУ 2 в ОХоУо2о. Таким образом матрица преобразования Р координат век­ тора, заданных на эпоху Т, к координатам на эпоху То равна

Следовательно, при переходе от эпохи То к эпохе Г экваториаль­ ные координаты преобразуются по матричному уравнению:

где координаты звезды ао, #о относятся к экватору эпохи То, а а, 6 — к экватору эпохи Т.

Численные выражения прецессионных величин ха,®А, С,А были найдены Ньюкомбом частично на основе теории прецессии, частич­ но из наблюдений, в виде разложений по двум параметрам: I и 2', причем I' = То —32000.0 и Ь = Т —То равны числу юлианских столе­ тий от начальной эпохи до фундаментальной эпохи 3 2 0 0 0 . 0 и произ­ вольной эпохи Т от То. Если начальная эпоха То совпадает с эпохой 3 2 0 0 0 . 0 (при этом I' = 0), разложения принимают более простой вид

С4 = о,5ш0*+ 0','30188*2+ 07017998*3,

вл = п0г - 0742665*2 - 07041833*3,

где то , по —прецессии по прямому восхождению и склонению для эпохи 32000.0. Э т и выражения были получены Лиске и др. на основе разложений Ньюкомба в системе астрономических констант МАС 1976 г.