книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

§ 4. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА

Множество точек называется выпуклым, если мы всегда можем не покидая этого множества, пройти от одной его точки к другой по кратчайшему расстоянию между ними.

•Например, каждое из изображенных здесь множеств выпукло, если считать, что каждое из этих множеств является целой областью на плоскости, а не сводится к одной только границе. В этих мно* жествах из любой точки Р можно добраться до любой другой точки Q, двигаясь по прямой и не выходя за пределы множества. Некоторые примеры этого можно видеть на наших рисунках.

таких его точек Р и Q, которые нельзя соединить отрезком, при­ надлежащим данному множеству.

Чтобы сформулировать все это в более строгой (и «более мате­ матической») форме дадим следующее

Определение

Множество А называется в ы п у к л ы м , если для каждых двух точек Р и О, принадлежащих этому множеству, отрезок PQ цели­ ком принадлежит А.

Множества, о которых мы до сих пор говорили, были «малень­ кими». Но выпуклое множество вполне может быть и большим. Например, каждая плоскость является выпуклым множеством. Далее, прямая I на плоскости разрезает эту плоскость на два мно­

71

жества, каждое из которых выпукло и простирается неограниченно далеко. Эти два множества Н1 и Н2 называются полуплоскостями, или сторонами, прямой /, а I называется ребром каждой из этих полуплоскостей.

Полуплоскости являются выпуклыми, потому что если какиелибо две точки лежат на одной и той же стороне прямой (мы будем говорить: по одну и ту же сторону от прямой), то соединяющий их отрезок никогда не пересечет эту прямую.

Напротив, если Т и U —точки, лежащие по противоположные

стороны от прямой /, то отрезок TU всегда пересекает эту прямую. Соединим теперь предыдущие утверждения в одной аксиоме и

нескольких определениях.

Аксиома д (аксиома разбиения плоскости)

Даны прямая и содержащая ее плоскость. Тогда точки этой плоскости, не принадлежащие данной прямой, образуют два та­ ких множества, что

1°. каждое из этих множеств выпукло;

множества описанные в аксиоме разбиения плоскости, называются

7 2

О том, каким способом прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, наша аксиома говорит следующее:

1°. Если две точки принадлежат одной и той же полуплоско­ сти, то соединяющий их отрезок принадлежит той же полуплоско­ сти и, таким образом, никогда не пересекает данную прямую.

2°. £сли две точки принадлежат противоположным полуплоско­ стям, то соединяющий их отрезок всегда пересекает данную прямую.

В то время как в любой заданной плоскости прямая имеет лишь две стороны, каждая прямая в пространстве имеет бесконечно много сторон. На следующем рисунке мы видим пять из этого бес­ конечного множества полуплоскостей в пространстве, имеющих пря­ мую / своим ребром.

(Вопрос. Существует ли различие между следующими двумя утверждениями?

1°. Точки Р и Q лежат по разные стороны от прямой /.

2°. Точки Р и Q лежат по противоположные стороны от прямой /.) Плоскость разбивает пространство точно таким же образом,

как прямая разбивает плоскость.

я

Два множества, на которые плоскость разбивает пространство, называются полупространствами, или сторонами, данной плоскости. На нашем рисунке они обозначены буквами Нг (полупространство,

73

лежащее над плоскостью) и Н.г (полупространство, лежащее под плоскостью). Каждое из этих двух полупространств выпукло. Если точка R принадлежит одному из этих полупространств, а точка S —

другому, то отрезок RS всегда пересекает плоскость.

Снова соединим это в одной аксиоме и нескольких определениях.

Аксиома 10 (аксиома разбиения пространства)

Точки пространства, не принадлежащие данной плоскости, образуют два таких множества, что

1°. каждое из этих множеств выпукло; 2°. если точка Р принадлежит одному из этих множеств,

а точка Q—другому, то отрезок PQ пересекает данную плоскость.

Определения

Два множества, описанные в аксиоме разбиения пространства, называются п о л у п р о с т р а н с т в а м и , а данная плоскость на­ зывается г р а н ь ю каждого из этих полупространств.

Заметим, что в то время, как каждая прямая в пространстве является ребром бесконечного множества полуплоскостей, каждая плоскость в пространстве является гранью только двух полупрост­ ранств.

Задачи к § 4

( З а м е ч а н и е . Отвечая на вопросы нижеприведенных задач, нужно в ситуа­ циях, не охватываемых структурой наших аксиом, руководствоваться интуитив­

c)Если из прямой удалить одну точку, то будут ли остальные точки обра­ зовывать выпуклое множество?

d)Является ли окружность выпуклым множеством?

e)Является ли круг выпуклым множеством?

f)Является ли сфера выпуклым множеством?

g)Является ли шар выпуклым множеством?

h)Разбивает ли точка плоскость? пространство?

прямую?

i)Разбивается ли плоскость лучом? прямой? от­ резком?

2. Каждая точка отрезка A B на этом рисунке при­ надлежит множеству R . Означает ли это, что К — выпуклое множество? Объясните,

74

3. Является ли каждая плоскость выпуклым множе­ ством? Объясните. Какая аксиома существенна для вашего объяснения?

5.Если из плоскости удалить одну точку, то будет ли оставшееся множество выпуклым?

6.Круги С и D являются выпуклыми множествами.

8.Нарисуйте плоский четырехугольник (фигуру с четырьмя сторонами), внут­ ренность которого выпукла. Нарисуйте плоский четырехугольник, внутрен­ ность которого не выпукла.

9.Является ли множество, состоящее из всех точек сферы и из всех точек, ле­ жащих внутри нее* выпуклым?

10.Является ли тор (барЗнка) выпуклым множеством?

11.Нарисуйте две полуплоскости, имеющие общее ребро и такие, что все при­ надлежащие хоть одной из плоскостей точки компланарны. Нарисуйте две по­ луплоскости, имеющие общее ребро, но не удовлетворяющие этому условию.

12.Нарисуйте две полуплоскости такие, что все их точки компланарны, но полуплоскости не имеют общего ребра.

13.Н 1 и Я 2— две полуплоскости, удовлетворяющие первому условию задачи 12.

Составляет ли объединение # j и Н 2 всю плоскость, если a) H i и I I 2 имеют одно и то же ребро (объясните);

B ) Ребро полуплоскости /і, пересекает ребро полуплоскости Н 2 в единствен­ ной точке (объясните)?

14. а) На сколько множеств точка, принадлежащая прямой, разбивает эту прямую? Какое название напрашивается для каждого из этих множеств?

Ь) Пользуясь терминологией, введенной вами в а), напишите утверждение

оразбиении прямой, аналогичные аксиомам 9 и 10.

15.Чем луч отличается от полупрямой?

16+. Могут ли три прямые на плоскости разбить эту плоскость на три области? четыре области? пять областей? шесть областей? семь областей?

17+ . На сколько множеств разбивают пространство две пересекающиеся плоско­ сти? две параллельные плоскости?

18+. Каково наибольшее число множеств, на которые пространство может быть разбито тремя различными плоскостями? Каково наименьшее число таких множеств?

75

19+ . Верно или ошибочно следующее утверждение: объединение любых двух выпуклых множеств, имеющих хотя бы две общие точки, является выпуклым множеством? Обоснуйте ваш ответ.

2 0 *+ . Напишите аккуратное объяснение причин, в силу которых верно следующее утверждение: пересечение любых двух выпуклых множеств, имеющих хотя бы

содержать отрезок PQ ?)

21 * + . Изобразите на рисунке любое геометрическое тело, ограниченное плоскими поверхностями и обладающее тем свойством, что множество точек, лежащих внутри него, не выпукло.

§ 5. СЕМЬ КЕНИГСБЕРГСКИХ МОСТОВ

Вы можете подумать, что в идее обхода улиц, мостов и т. д. нет ничего интересного. Но в действительности есть известная ма­ тематическая задача, в которой речь идет о таком «обходе» и, пожалуй, ни о чем другом.

Город Кёнигсберг стоял на берегу Балтийского моря в устье реки Прегель. На реке имелись два острова, связанные с матери­ ком и друг с другом семью мостами, как показано на рисунке.

Жители Кёнигсберга, гулявшие по этим островам, обнаружили, что если они начинают свою прогулку на южном берегу, то им никак не удается так ее спланировать, чтобы пройти по каждому мосту ровно по одному разу. Получалось, что им приходится хотя бы один мост пропустить:

или пройти по какому-нибудь мосту дважды:

76

Они вынуждены были признать, что пройти по каждому мосту ровно по одному разу они не могут, но окончательной уверенно­ сти в этом ни у кого не было. Наконец, в 1735 г. кто-то сообщил эту задачу великому математику Леонарду Эйлеру. Эйлер выяснил, что тем, кто еще не оставил своих попыток, пора их прекратить. Он произвел следующий анализ задачи.

Рассмотрим сначала восточный остров: К нему ведут три моста. По условию задачи ваша прогулка на­ чинается на южном берегу и, зна­ чит, где-то вне восточного острова. Поскольку по каждому из трех мо­ стов вы должны пройти по одному разу, кончиться она должна на

восточном острове. (Вот с чем это можно сравнить. Будем поочеред­

кой и розеткой и если вначале свет был выключен, то в конце он будет включен.) Но это значит, что

«Кёнигсбергская прогулка» невозможна, так как нельзя ее кон­ чить в двух местах сразу.

Решение Эйлером этой задачи имело очень большое значение, потому что впервые вообще была решена задача такого характера. Заметим, что если начертить карту островов на куске резины, то эту резину можно будет как угодно растягивать, деформируя очер­ тания островов, но при том вовсе не меняя задачи.

7 7

Из эйлеровского анализа «Кёнигсбергской прогулки» развилась целая ветвь математики, которая занимается такого рода зада­ чами. Эта ветвь математики называется топологией.

(Между прочим, если вы захотите найти Кёнигсберг на карте, то искать его нужно на старой карте. Теперь он находится в Со­ ветском Союзе и называется Калининград. Задача же сохранила свое старое название.)

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707-1783)

Эйлерово решение задачи о семи кёнигсбергских мостах ти­ пично для его проницательности и изобретательности. До него ни­ кому вообще не приходило в голову, что задачи такого рода относятся к математике. С тех пор математика быстро выросла во многих неожиданных направлениях. Эйлеровский анализ задачи о кёнигс­

бергских мостах явился первым ростком новой об­ ласти математики, сегодня известной под названием топологии, которая достиг­ ла своего наивысшего рас­ цвета в двадцатом веке и все еще продолжает разви­ ваться.

Эйлер был не только талантливым, но и чрезвы­ чайно трудолюбивым чело­ веком. Он получал ориги­ нальные математические результаты в таком коли­ честве, что едва ли кто-ни­ будь может в этом с ним сравниться. Собрание его математических работ за­ нимает более шестидесяти больших томов. В двадцать восемь лет он ослеп на один

78

ние. Но его память была баснословна—он знал наизусть всю «Энеиду» Вергилия —и в любой момент он был в состоянии проделать в уме длиннейшие вычисления. Таким образом, он до конца своей жизни сумел продолжать свою работу в том же объеме, что и раньше.

Вопросы и задачи для повторения

c)Могут ли 4 точки быть коллинеарны?

d)Должны ли 2 точки быть коллинеарны?

e)Должны ли 4 точки быть коллинеарны?

f)Могут ли п точек быть коллинеарны?

g)Должны ли 4 точки быть компланарны?

h) М огут ли п точек быть компланарны?

2.Какое из нижеследующих утверждений верно (объясните)?

3.Прокомментируйте утверждение: «Поверхность стола есть плоскость».

4.Изучите изображенную здесь пространственную

фигуру (где точки А, В, С и D компланарны) Е

и ответьте на следующие вопросы:

c)Пересекаются ли отрезки АС и Ш )?

d)Пересекаются ли отрезки АС и DF7

5.Перечислите все изученные нами условия, ко­ торые определяют плоскость. Например, «Пря­

8.Д ве плоскости Е и F пересекаются по прямой AB. Каждая из точек Р и Q принадлежит обеим плоскостям Е и F. Должны ли Р и Q принадлежать

прямой A B ? Объясните.

9.Укажите, верны или ошибочны следующие утверждения:

Н2, то отрезок PQ пересекает прямую I.

f)Любые две полуплоскости компланарны.

10.Какие и з ' обласрей, обозначенных на рисунке прописными буквами', являются выпуклыми множествами?

11.Каким общим свойством обладают полу­ плоскости и полупространства?

12.Запишите определение выпуклого мно­ жества.

79