книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия
.pdfТеорема 4 .7 (теорема о вертикальны х углах)
Вертикальные углы конгруэнт ны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Нам дано, |
что /_ \ и Z 2 — вертикаль |
||||
ные |
углы, т. е. |
|
|
|
|
. |
1°. АС и АЕ — противоположные |
лучи; AB и A D — противопо |
|||
|
|
ложные лучи. |
|
|
|
Следовательно, |
углы |
и / 2 |
и Z 3 —также смеж |
||
|
2°. /_ \ и Z 3 —смежные |
||||
ные углы. |
|
|
|
||
3°. |
Z 3 £* Z 3. |
пополнениями |
конгруэнтных углов. |
||
4°. |
Z 1 и Z 2 являются |
||||
Всилу теоремы 4.5 отсюда следует, что 5°. Z 1 ££ Z 2.
Теорема 4 .8 |
|
|
|
|
|
Если две пересекающиеся прямые образуют |
один прямой угол, |
||||
то они образуют четыре прямых угла. |
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Маленький квадратик |
около |
вершины |
||
Z 1 на этом рисунке указывает, что Z |
1—прямой |
угол. Это |
|||
дано. Нам нужно доказать, что также и Z 2, |
Z 3 и Z 4 —пря |
||||
мые. Вот главные этапы |
доказательства. |
(Вы |
|
должны суметь |
|
аргументировать каждый |
этап!) |
|
|
|
|
1°. Z 3—прямой угол. |
|
|
|
|
|
2°. Z 2 и Z 1 —пополнительны. |
|
|
|
|
|
3°. т Z 2 + 90= 180. |
|
|
|
|
|
4°. Z 2 —прямой угол. |
|
|
|
|
|
5°. Z 4 —прямой угол. |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
3 |
4 |
|
Существует теорема, на использовании которой основаны на ши шаги 1° и 5°. Основанием для шага 2° послужила одна аксиома, а шаги 3° и 4° основывались на определениях.
102
ДЖОРДЖ ДЭВИД БИРКГОФ (1884-1944)
Д. Д. Биркгоф был од ним из самых разносто ронних и продуктивных математиков своего по коления. За время своей жизни он написал сто девяносто научных ста тей, относящихся к раз личным областям чистой и прикладной матема тики. Собрание его тру дов занимает три боль ших тома. Кроме того, он написал несколько книг по математике и по теории относительности.
Система аксиом гео метрии, принятая в этой книге, является видоиз менением предложенной Д. Д. Биркгофом систе мы аксиом. В течение нескольких столетий идея измерения отрезков
и углов была центральной идеей геометрии. Аксиомы Биркгофа вводят эту идею с самого начала; они описывают методы, кото рыми фактически пользуется каждый. Таким образом, хотя аксиомы Биркгофа не принадлежали к числу его самых больших вкладов в науку, они тем не менее многое сделали более ясным.
Задачи к § 4 (часть 2)
1. |
Дано, |
что Z A B C ^ |
Z D E H и что Z А В С и Z D E H пополнительны. Какое |
|||||
|
заключение отсюда следует? |
К акая |
аксиома, какое определение |
или какая |
||||
|
теорема |
подкрепляют это заключение? |
|
|
||||
2. |
Если Z М и Z |
Л пополнительны, z Р и Z Q пополнительны, а |
Z |
Z М |
||||
|
то что |
можно |
сказать |
об |
Z К и |
Z Р? Какое утверждение |
подкрепляет |
|
|
ваше заключение? |
|
|
|
|
|
||
ІОЗ
4а) Если две прямые пересекаются, то сколько пар вертикальных углов они образуют?
B ) Если мера одного из углов задачи а) равна 62, то чему равны меры остальных углов?
c) Если |
все четыре угла задачи а) конгруэнтны, то чему равна мера каж |
дого из |
них? |
5. Три прямые на этом рисунке пересекаются в одной точке. Дано, что о = 85 и е = 30. Най дите Ь, с, d и /.
6. Если один из образованных двумя пересекающимися прямыми углов имеет меру X, то каковы меры трех остальных, образуемых этими прямыми углов?
7. Докажите теорему 4.3.
8. Докажите теорему 4.4.
9+ . Дана прямая |
AB, отделяющая две |
полуплоскости |
и Н2, такая точка Р |
|||||||
полуплоскости |
Н ъ |
что |
т L |
/М Д = |
30. |
Если Q — точка полуплоскости Нг, |
||||
для которой /, QAB ^ |
L Р А В , |
то точка Р лежит ... L |
PAQ и m ^ P A Q — .... |
|||||||
Если луч ÄQ противоположен лучу ÂР, |
то / |
Р А В ... A Q A B и т z. QAB — .... |
||||||||
10*. |
П усть В А и B E — противоположные лучи |
и в |
|
|||||||
полуплоскости Н (см. рисунок) |
L A B G ^ i . K B G |
|
||||||||
и |
/. K B D ^ |
L |
D B E . |
Найдите |
m £. G BD . |
|
||||
( У к а з а н и е . |
Положите |
m |
L A B G |
= x |
и |
|
||||
m. /. D B E — y.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l t +. Плоскость E на этом рисунке пере
секает плоскость F по прямой AB. Обе
прямые GH и КМ принадлежат плос
кости F и пересекают прямую AB в точке Р.
a) Назовите две пары вертикальных углов
B ) Назовите две пары пополнительных углов.
c) Если GH J . AB, то назовите две пары дополнительных углов.
104
12*+. |
Прямые AB, QR, GH и KM |
|
на |
|||
|
этом |
рисунке пересекаются в |
точ |
|||
|
ке Р. |
|
|
|
|
|
Прямая |
QR принадлежит плоскости Е, |
|||||
а прямые GH и КМ — плоскости F. |
|
|
||||
Прямая |
< |
|
|
|
|
|
A B служит пересечением плос |
||||||
кое гей Е и F. |
|
|
|
|
||
a) |
Какие два |
угла |
пополнительны |
к |
||
|
L A P G ? |
|
|
|
|
|
B ) |
Какие два |
угла |
пополнительны |
к |
||
|
L И Р М ? |
|
|
|
|
|
c) |
Если |
L B P R — L K P G , то какие другие углы должны быть конгруэнтны? |
||||
d) |
Если |
£ R P G — прямой угол, |
то какие другие углы должны быть пря |
|||
|
мыми? |
|
|
|
|
|
§ 5. |
ЗАПИСЬ |
ТЕОРЕМЫ В |
ФОРМЕ «ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ — |
|||
ЗАКЛЮЧЕНИЕ» |
|
|
|
|||
Каждая теорема является утверждением о том, что е с л и верно что-либо одно, то верно и нечто другое. Например, теорема 4.8 утверждает, что е с л и две пересекающиеся прямые образуют один прямой угол, то они образуют четыре прямых угла. Часть «если» в условии теоремы называется предположением', в ней говорится, что дано. Часть «то» называется заключением теоремы; в ней говорится, что требуется доказать. Поэтому теорему 4.8 мы мо жем записать следующим образом:
Теорема 4.8 |
|
|
П р е д п о л о ж е н и е . |
Прямые Іг и /2 образуют один |
прямой |
угол. |
|
|
З а к л ю ч е н и е . Прямые Іх и /2 образуют четыре |
прямых |
|
угла. |
|
|
Аналогично, теорему 4.3 можно записать так: |
|
|
Теорема 4.3 |
|
|
П р е д п о л о ж е н и е. |
А и Z. В — прямые углы. |
|
З а к л ю ч е н и е . / _ А ^ / _ В .
Аксиомы похожи на теоремы и отличаются от последних только тем, что они не доказываются. Большую часть аксиом можно высказать в той же форме «если ..., то», что и теоремы. Например, аксиому сложения углов можно записать так:
Аксиома 13 (аксиома сложения углов).
П р е д п о л о ж е н и е . |
Точка D лежит внутри ВАС- |
З а к л ю ч е н и е , т |
ВАС — т /_ BAD -\-т /_ DAC. |
В некоторых случаях форма «предположение —заключение» неестественна или бесполезна. Например, если мы захотим ска зать, что пространство содержит четыре некомпланарные точки, то запись
П р е д п о л о ж е н и е . |
5 есть пространство. |
З а к л ю ч е н и е . S |
содержит четыре некомпланарные точки |
не имеет никаких преимуществ перед более простой формули ровкой нашего утверждения, с которой мы начинали.
Конечно, вовсе не обязательно, чтобы все теоремы формулиро вались в форме «предположение—заключение». Независимо от формы, в которой записана теорема, должно быть ясно, что дано и что требуется доказать. По большей части, однако, мы должны быть в состоянии, если захотим, сформулировать теорему в форме «предположение —заключение», так как если мы этого сделать не сможем, то есть основания думать, что мы недостаточно ясно по нимаем содержание теоремы.
Задачи к § 5
1.Выделите предположение и заключение для каждого из следующих ут верждений:
a) |
Если |
два |
угла |
дополнительны, то каждый |
из |
ни х—-острый, |
|
B ) |
Если |
а = |
b |
и b — с, то а — с. |
|
|
|
c) |
Если |
а ~ Ь , |
то |
а + с = й + с. |
|
|
|
d) |
Если |
два |
угла |
одновременно конгруэнтны |
и пополнительны, то каждый |
||
|
из них является прямым. |
|
|
||||
e) |
Если |
измерения |
прямоугольника равны а |
и Ь, |
то его площадь равна ab. |
||
{) Если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть прямая.
2. Запишите каждое из следующих утверждений как утверждение вида «Е сл и ..., то
a) Дополнения конгруэнтных углов конгруэнтны.
B ) Площадь треугольника с высотой а и основанием Ь равна ~ ab.
c)Пересечение двух плоскостей есть прямая.
d)Три неколлинеарные точки принадлежат только одной плоскости.
e) Д ва смежных угла являются пополнительными.
§ 6. ЗАПИСЬ ПРОСТЫХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
Очень скоро аккуратная запись найденных вами доказательств составит довольно большую часть всей работы над задачами. По этому стоит еще немного попрактиковаться в записи легких дока
106
зательств до того, как в следующей главе мы займемся более
трудными. Вероятно, |
лучший способ показать, как должны выгля |
|||
деть |
ваши доказательства, — привести еще |
несколько примеров. |
||
П р и м е р |
1. |
|
|
|
Да но . Д Л 5 С и Д Л В Д |
c |
|||
(как |
на |
рисунке), |
причем |
|
Z D A B ^ £ DBA и Z CADg^ Z CBD.
Т р е б у е т с я доказать .
ZC AB QÉ Z CBA.
До к а з а т е л ь с т в о
|
Утверждения |
Аргументы |
|||
1. |
т z D A B — m Z D B A . |
Дано. |
|
||
2. т Z C A D — m Z C B D . |
Дано. |
|
|||
3. |
rn.Z D A B + m Z CAD = |
Правило сложения |
равенств, |
||
|
— m L |
DBA -\ - m z |
CBD. |
|
|
4. |
m z C A B = m |
Z |
CB A . |
Аксиома сложения |
углов. |
5. |
Z C A ß ^ |
Z CB A . |
Определение конгруэнтности углов. |
||
П р и м е р |
2. |
|
|
Да но . |
Точки Л, В, С |
м |
к |
и D (как на рисунке), при |
|
|
|
чем AD —CB.
Тр е б у е т с я д о к а з а т ь . AC —DB.
До к а з а т е л ь с т в о
|
Утверждения |
|
1. |
AC + CD = AD. |
|
2. |
CD + D B = |
CB. |
3. |
AD = CB . |
|
4. |
A C + CD = |
CD + DB. |
5. |
A C — DB . |
|
Аргументы
Определение понятия «между». Определение понятия «между». Дано.
Сопоставление равенств шагов 1, 2, 3. Правила вычитания равенств.
107
П р и м е р 3.
Д а н о . Лучи AB, АС и AD, причем точка С лежит внутри
L BAD и т Д BACA-tn Д CAD = 90.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь. AB_l_AD.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Утверждения Аргументы
1. т Z ßAC + m Z CAD — 90. |
Дано. |
2. т Z ВАС-\-т Z CAD = |
Аксиома сложения углов. |
= m Z BAD. |
|
3.m Z BAD = 90.
4.Z BAD — прямой угол.
5.Aß 1 AD.
Сопоставление шагов 1 и 2. Определение прямого угла.
Определение перпендикулярных лу чей.
Задачи к § 6
1. Перепишите все нижеследующее и дополните доказательство. Д а н о , т Z А =38 и m Z ß = 52.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . |
Z Л дополнителен Z ß. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
|
|
Утверждения |
Аргументы |
1. |
т Z А = ... |
Дано. |
2. |
m z В — ... |
|
3. /и z A +m z ß = ...
4.Z А дополнителен Z ß.
2.Перепишите и проведите доказа тельство.
Да н о . Рисунок, где PQ = RS.
Тр е б у е т с я д о к а з а т ь . PR =
=QS.
108
3. Перепишите и проведите доказательство. |
С |
|
Дано. Рисунок, где гп а С А В —ш |
L С В А |
|
и т L DAB = m Z. DBA. |
|
|
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , m z |
CAD = |
|
= m Z CBD.
4.Перепишите и дополните доказательство.
Да но . Рисунок, где L PMN ^ Z PNM. |
|
|
|
|
|||
Т р е б у е т с я |
д о к а з а т ь . |
/. CMP s |
|
|
|
|
|
^ L DNP. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
М |
N |
О |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
|
|
|
|
||
|
Утверждения |
|
|
|
Аргументы |
|
|
1. |
Z СМР пополнителен |
L PMN. |
Смежные углы пополнительны. |
|
|||
2. |
Z DNP ... |
|
|
Дано. |
|
|
|
3. ... |
|
|
|
|
|
||
4. |
Z СМР ^ |
L DNP. |
|
|
|
|
|
5. Перепишите и проведите доказательство.
Да н о . Рисунок, где L DBC = |
L ЕСВ. |
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , |
z АВС — z АСВ.6 |
6. Перепишите и приведите аргументы.
Да н о . |
Прямые AB, CD и EF пересекаются в |
точке К', |
а — с. |
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . Ь — с.
109
Д о к а з а т е л ь с т в о
Утверждения Аргументы
1. |
Прямые ~Аѣ |
и е Р пересекаются в точке К. |
2. |
L А К Е и L |
В K F —вертикальные углы. |
3. |
L А Ң Е ^ L B K F . |
|
4. |
а = Ь. |
|
5.а — с.
6.Ь — с.
7.Перепишите и проведите доказательство.
Да н о . Рисунок, |
где L А В С с н |
/. AC B . |
Т р е б у е т с я |
д о к а з а т ь . |
z D B F ^ |
^L ECG.
8.Перепишите и докажите.
Да н о . AD i |
FB и L ВАС ^ |
Z DAE. |
Т р е б у е т с я |
д о к а з а т ь . |
L DAC |
^ F A E . |
|
|
Вопросы и задачи для повторения
В задачах 1 —15 дополните каждое из приведенных утверждений.
1.Каждому углу соответствует некоторое действительное число, заключенное между ... и .... называемое мерой этого угла.
2.Инструмент, используемый для измерения углов, называется __
3.Если сумма мер двух углов равна 90, то каждый из этих углов назы вается ... другого.
4.Угол, мера которого меньше 90, называется ....
5.Угол, мера которого больше 90, называется ....
6.Два угла, образованные объединением двух противоположных лучей и неко торого третьего луча, имеющего то же начало, называются ....
7.Углы, имеющие равные меры, называются ... углами.
ПО
8.Каждый из двух дополнительных углов должен быть . . . .
9.Если два угла конгруэнтны, то их пополнения __
10.Каждый из двух одновременно конгруэнтных и пополнительных углов должен быть__
11.Каждый треугольник имеет ... стороны и ... угла; ему принадлежат ...
треугольника, но не принадлежат ... треугольника.
12.Сумма мер двух дополнительных углов равна ..., а сумма мер двух пополнительных углов равна __
13.Сумма мер двух ... углов всегда меньше, чем 180, а сумма мер двух ...
углов всегда меньше, чем ....
14.Если стороны двух углов являются противоположными лучами, то эти углы называются __
15. Точка М |
лежит внутри |
L GHK, если точки М |
и ... лежат по одну сто |
||
|
рону от Н К |
и если точки М и ... лежат по одну сторону о т __ |
|||
Задачи 16— 25 относятся к |
следующему рисунку. |
(На этом рисунке точки, |
|||
которые кажутся коллинеарными, и на самом деле коллинеарны.) |
|||||
16. |
Сколько на этом рисунке треугольников? |
|
|||
17. |
Верно ли, |
что от Z B F C — rn Z BED? |
|
||
18. |
Верно ли, |
что |
/_ B F C — L BFD ? |
|
|
19. |
Верно ли, |
что |
/. FDB |
L ËDC? |
|
20. Назовите угол, пополнительный к L ABF.
21. от L A G B -{-от L BGF = ...
22.от L GEC+ от L D F E —...
23.Назовите пару вертикальных углов.
24.Если L GBF дополнителен /. FB E, то отрезки GB и BE должны быть ....
25.Сколько углов имеется на этом рисунке?
26.Мера некоторого угла в пять раз больше меры его дополнения. Найдите меру каждого из этих углов.
27.Мера пополнения некоторого угла в пять раз больше меры дополнения этого угла. Найдите меру этого угла.
28.Всегда ли сумма мер двух углов равна мере некоторого третьего угла? Объясните.
29.На рисунке луч GÄ противоположен лучу GE и GB J_ GC.
Дополните доказательство того, что L AGB дополните лен L EGC.
Ш