книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

о д н а п р я м а я , с о д е р ж а щ а я обе э т и

т о ч к и .

А

В

Отрезок —это фигура, выглядящая

примерно так:

А

В

А

В

С

Если точка А

лежит

на прямой I между В и С, то два луча

AB и АС «направлены

в

противоположные стороны»:

АС

~\Г

AB

С

's

А

В

Определение

Если точка

А

лежит

между

точками В и С, то лучи AS и

АС называются

противоположными лучами.

Заметим, что

пара

точек Л и В определяет по меньшей мере

шесть геометрических

фигур (и одно число). Вот эти шесть фигур:

Прямая AB:

А

В

1. А,

В

и

С — три

точки

некоторой

прямой,

координаты

которых

соответ­

ственно равны 7, 3

и 12.

Какая из

этих точек лежит между двумя другими?

2. Р , Q и

R

— три

точки

некоторой

прямой,

координаты

которых

соответ­

ственно

равны — 5, — ]Л і

и —

12. Какая

из этих точек

лежит между

двумя

другими?

3. G,

I I

и К — три точки некоторой прямой. Какое из следующих

утверждений

может быть

верным?

a)

Точка

Я

лежит между G и Я ,

иточка Я

лежит

между G и Я .

B )

Точка

Я

лежит

между Я

и G,

иточка Я

лежит

между G и Я .

-

c)

Точка

G

лежит

между

Я

и Я ,

иточка Я

лежит

между G и II.

d)

Точка

Я

лежит

между Я

и G,

иточка G лежит

между Я и Я .

e)

Точка

G лежит между Я

и Я ,

иточка G лежит

между

Я и Я .

5 * . Три

точки

R, S

и Т

некоторой

прямой имеют соответственно координаты а,

b и а-\-Ь,

причем а >

0

и а > Ь .

Какая из этих точек лежит между двумя

другими, если а)

£> > 0;

в) è < 0;

с) 6 = 0?

6. Я ,

Я и К — три

точки,

не принадлежащие одной прямой. Сколько прямых

они

определяют?

Назовите эти прямые.

7. D,

E,

F

и

G — четыре

точки, никакие три

из

которых не лежат на одной

прямой. Сколько прямых они определяют? Назовите эти прямые,

8. Р,

Q

и R — три

точки.

Сколько

отрезков

они

определяют? Назовите эти

отрезки. Сколько

прямых

определяют точки

Р,

Q и R?

9.

а)

Верно

ли,

что

< ->

>•

А В = В А 1? Почему?

B )

Верно

ли,

что А В = ВА? Почему?

10.

c)

Верно

ли,

что

А В = В А ?

Почему?

Верно ли,

что А В = А В ? Почему? Что такое AB?

11.

а)

Перепишите

следующий

абзац,

снабжая,

если

это

нужно,

каждую

пару

букв

подходящим

значком

сверху.

хг

содержит

точки у

и ѵ , но хг

не содержит

ни у ,

ни г.

V принадлежит

xz,

но у

не

принадлежит

xz.

y z + z o = _ y o .

b) Сделайте

эскиз,

показывающий

относительное

расположение

четырех

12.

точек, о которых шла речь в п. а).

Каждая

из

точек R,

S

и

Т лежит между двумя

другими, если

луч R S

противоположен

лучу

RT ?

13.

Найдите

пересечение

лучей

CD и DC; прямой CD

и луча

DC.

14.

Пусть А,

В

и

С — три

точки

некоторой

прямой,

причем АС А- В С — AB .

15.

Найдите

пересечение

лучей

С В

и ЙЛ; лучей

АС

и А В;

лучей

С А

и СВ .

Является ли

следующее определение корректным определением луча AB:

Л уч

A B

есть

множество

всех точек D

прямой A B ,

для

которых

утвержде­

ние: «Л лежит между D и й» не верно?

Из аксиомы прикладывания линейки следует

Теорема

2.1 (теорема о нанесении точки)

Пусть

AB —луч

и х — положительное число. Тогда существует

одна и только одна

точка Р луча AB,

такая,

что АР —х.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу

аксиомы

прикладывания

линей­

ки

мы

можем выбрать

систему

координат

на

прямой

AB

так,

АР = ! х — 0\ — \ х \ —х

(по

определению

абсолютной

величины

при х ; > 0 имеем \х\ = х).

Так

как только одна точка луча ÄB имеет координату х, то толь­

ко одна точка этого

луча находится на

расстоянии

х: от А.

х) Напоминаем,

что

равенство

множеств

(в частности,

точечных мно­

ж еств-геом етрических фигур) было

определено

выше (см. стр. 27).

А

В

С

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Точки Л

и С (концы отрезка) нам из­

вестны,

а ищем мы точку В,

удовлетворяющую двум условиям:

AB + ВС = АС

и

AB = ВС.

Из этих

двух соотношений

следует,

что

Говорят,

что середина

отрезка

д е л и т

этот отрезок

по

пол ам.

Задачи

к § 6

(часть

3-я)

5

T V __________________1

1.

Пусть

S,

Т

и

І^ — различные

точки

луча

S T . Может ли иметь

место

равен­

ство S T =

S V ?

Почему?

2.

Пусть

Р — точка некоторой

прямой

и

« — положительное число. Сколько

точек

этой

прямой удалено

на расстояние п от Р? На какие

определения

или

теоремы опирается

ваш

ответ?

3.

А,

В

и С — три точки

некоторой прямой. Координата точки

А равна 0, а

координата

точки С равна — 6. Какую

координату

имеет середина В отрез­

ка ДС?

резок A B пополам?

5 .

Точка

В,

являющаяся

серединой отрезка А С , имеет координату

5. Какие

координаты имеют точки А и С, если дано, что координата точки А больше

координаты

точки С и что В С = 9?

6. Можете

ли

вы определить, что такое середина прямой?

7.

а) Пусть точка М делит пополам отрезок PQ. Какую координату

имеет М,

если координаты точек

Р и Q соответственно равны 4 и 10?

Если

М — середина

отрезка PQ, то координата точки М равна ... коорди­

нат точек Р и Q?

8*~. Почему

следующее

предложение

нельзя

считать

определением

середины

отрезка:

Точка

В

называется

серединой

отрезка АС, если А В = ВС?

9 f *. а) В

каком

отношении

находятся три

различные точки А, В

и С,

если

A B

В С = АС?

Ь) Пусть

А,

В

и С — три

различные точки. Может ли случиться,

что

будет

выполняться

неравенство A

B

ВС > АС?

Если

нет, то почему? Если да,

то какая связь существует

между точками

А, В

и С?

удобнее пользоваться

дециметрами, нам нужно

будет умножить

все расстояние

на 10.

Иными словами, если (PQ)' (произносится

«PQ штрих» или

«PQ прим») — новое расстояние

между Р и Q, то

-

1 -

- 1-

- - 1

Р

- I 1-

Q

I- - - - -

-

-

- - - 1 - -—1 -I- ■ -

1—-

- 3 - 2 - 1

0 x 1

2

у

3

1

1

1

Р

1 1 р

1---- І-т-Ч----------

- 3 0

- 2 0

- 10

0 X 10

20 у 30

что нам и требовалось. Система

координат на

прямой,

пригодная

для измерения новых расстояний (PQ)', получается, если

мы раз­

делим все старые

координаты на

AB,

т. е.

положим

,

X

,

у

Х =

А В ’

У =

A B ■

Следовательно,

IУ - X

_У

X

\у— х\

PQ

АВ

A B

А В

~ А В ~ (PQY,

что нам и требовалось.

Задачи к

§

7

А

В

С

О

Е

F 12

1.

Если

на

этом рисунке

А В = 3 и

Л 0 =

BC==CD = D E = E F,

то

AF =

15.

Чему

будет

равно

расстояние

(A F )',

если

за

новую

единицу

принято

А В

(т. е,

если

(Д 0 )' =

1)?

2.

Пусть

в

задаче 1

за новую единицу принято

АС

(т. е. (ЛС)' =

1). Чему

тогда

равно

расстояние

(Л £ )'?

расстояние

(AF )’? расстояние (Л £і)'?

а)

Если

А,

В,

С,

D,

Е, F — различные точки некоторой

прямой,

такие,

что

A B — B C = CD = D E — E F,

то

AC — BD = CE=^DF .

b)

Если

А,

В,

С,

D,

Е„ F — различные точки некоторой

прямой,

такие,

что

A B — BC — C D == D E = E F,

то

AF делится

на

5

(т. е. A F ß — целое число).

1

1

3

J

1

1

3

7

?

.9

1

20

Ю

ТО

ч

10

Го

I

ТО

1

I

__ I_____ I_____ I__

I

I

I

1

1

1

4.

Система

координат,

указанная

на

этом

рисунке,

исходит

из расстояния,

измеряемого

в дециметрах. Перерисуйте

этот

чертеж в ваш у тетрадь и снизу

от прямой выпишите числа, указывающие координаты для

расстояний,

из­

меряемых в сантиметрах. Сделайте то же

для

расстояний,

единицей

кото­

рых

служ ат

5 см;

1м.

в

м -

—

N

1АВ

2AB

ЗАВ

UAB

5АВ

6АВ

О

1MN

2MN

3MN

UMN

5.

На

этом

рисунке

на

прямую нанесены

две

шкалы. В

верхней шкале

в

ка­

честве единицы используется длина отрезка

A B ,

а в

нижней — длина

отрезка

M N . Заметим,

что

6 А В = 4 M N .

a)

Чему

равно отношение A B

к M N ?

m

b) Чему

равно

отношение M N

к AB?

c) Скольким AB равно 3 M N ?

d) Скольким

M N

равно

4AB?

e) Заполните

таблицу:

1 А В =

.. . M N

1MN =

. . A B ;

2А В = .. . M N

2 M N = . . A B ;

3А В =

.. . M N

3 M N =

. . AB;

4А В = .. . M N

4 M N — . . A B ;

5 АВ = .. . M N

хМ N = . . A B ;

6А В =

.. . M N

х А В =

.. . M N

6 * . При

раскопках

развалин,

относящихся

к

какой-то

древней цивилизации,

группа археологов нашла куски двух старых линеек, на которых были

нанесены

известные

числовые символы,

но

единицы

измерения на

йтих

ли­

нейках были различны. Одну из этих шкал

археологи

назвали

«шкалой

зет» по той причине, что на

этой

линейке

был вырезан

какой-то

символ,

напоминающий букву г. После нескольких проб они обнаружили, что диа­

гональ квадрата, сторона которого имеет

один зет длины, равна

единице

второй

шкалы.

Поэтому

они

назвали вторую

шкалу «шкалой диаг». С по­

мощью равенства Пифагора для прямоугольного треугольника они выяснили,

что

1

д и а г = ( / 2

зета. Вот

изображение этих двух

шкал.

-J-------- 1-------- 1-------- 1-------- 1

-

5

I_________ I

7

ОЗеты 1

2

3

4

6

- і ---------------- 1-------------- 1---------------- і____

<

I

О Д и а г и 1

2

3

4

5

а)

Чему

равна

длина в

зетах

отрезка,

длина

которого в

диагах

равна

1?

2?

5?

п?

b)

Составьте

таблицу

для

перевода

диагов в

зеты в пределах от 1 до

10

диагов.

c)

Чему

равна

длина

в

диагах отрезка, длина

которого в зетах равна

1?

4? 5?

8? п?

d) Заполните

эту таблицу, переводящую зеты в диаги от 1 до 10 зетов

Число

зетов

Число

диагов

Десятичное приближение

1

0,707

2

Ѵ

'2

1,414

3

4

1. Пусть

Л — множество всех месяцев года, название которых

начинается

с

буквы

И;

В — множество

всех

месяцев года, имеющих ровно 30 дней;

С — множество

всех

месяцев года, название которых начинается с буквы Ф .

a)

Перечислите

все

элементы пересечения А я В.

B )

Перечислите

все

элементы объединения А и В.

c)

Перечислите

все

элементы пересечения В я С.

d)

Является ли С

подмножеством .множества Л? множества

В? множе­

ства

С?

2.

а)

Что

представляет

собой

пересечение

отрезков

F D и

B E на

нашем ри­

сунке?

B )

Что

представляет

собой

пересечение

отрезка

Ä E

и треугольника F G E ?

c)

Что

представляет собой объединение отрезков

ED и DC?

d)

Что

представляет собой объединение

отрезков

BG

я В Ё ?

e)

Что

представляет собой

пересечение

отрезков

A B

иEG?

3.

а)

Сколько

квадратов

имеет данное положительное число?

B )

Чему равен квадрат числа 4?

c)

Сколько существует квадратных корней из

данного

положительного

числа?

4.

d)

Является ли

число

V 4 отрицательным

или положительным?

Выразите

следующие

числа,

не пользуясь

знаком

абсолютной

величины:

а) | - 6 ! і

b) I 5 — 7 і;

с ) | 5 | - | 7 | ;

d)

1— 51 — 7;

е)

!« | ;

f)

|— п ,;

g)

I «

+

( — «)!;

h)

a)

Если

a < b ,

то а — Ь

B )

Если

а =

Ь,

то а — Ь

c)

Если

а >

Ь,

то а — Ь

Р

S

6. а)

Какое

соотношение определяет

взаимное

положение

точек

Р,

М

и

Q

на

этом

рисунке?

Ь)

При каких условиях точка М

являлась бы серединой отрезка R S ?

7.

Четыре

точки

А,

В,

С

и D

принадлежат

некоторой прямой,

порядок

их

расположения

таков,

что

А С > А В и

BD <

ВС. Сделайте чертеж, показав,

как

расположены

эти

четыре точки. Существует ли только один возможный

их

порядок?

Объясните.

8.

G — множество

всех пар целых чисел х

и у,

сумма

которых равна

21;

Н —

множество

всех пар чисел х н у ,

разность которых равна

5.

a)

Принадлежит ли пара 15 и 6 множеству G?

B )

Принадлежит ли пара 9 и 4 множеству Ю

c)

Из каких

пар

состоит

пересечение

множеств

G и Н?

Р

Q

R

S Т

U

V

W

X

Y

Z*•

-U

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

и

5

6

9.

а)

Какую

координату

имеет

изображенная

на

этой

прямой

точка

W ?

точка

S ?

B )

Какая точка имеет координату

0?

— 3? 5?

c)

Чему

равно

R T ; V Z;

T W ;

TQ;

R W ;

PZ;

X S ;

YQ?

10. На некоторой прямой задана система

координат. Точка А имеет коорди­

нату

6,

точка

В — координату

— 2,

точка

С — координату

1,

точка

D —

координату X

и точка

Е — координату

у.

а)

Укажите

для

каждой

из этих

точек,

между

какими двумя

другими

она

лежит.

B )

Чему

равно

A B; ВС;

AD;

СЕ;

B E ;

D E ?

c)

В

каком

порядке

расположены

наши

пять точек на

прямой,

если

х —

• — 6 > 0 и у — (— 2) < 0?

11. На некоторой прямой задана система

координат. Точка

Р

имеет коорди­

нату

7,

а

точка

Q — координату

— 12.

Какую координату

имеет точка

М,

если

M P — MQ?

12.

Укажите,

верно

или ошибочно каждое

из следующих утверждений:

а)

— 5 — целое

число;

b)

4

действительное число;

-j—

с) 0 — рациональное число;

d)

У 8 — рациональное число;

е)

\/Г9 — целое

число;

{)

— ^—

рациональное

число

рациональное число;

h) X — есть

отрицательное

число

для

всех

действительных х;

рациональное число;

j)

\х\— х.