книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

2. Система координат на прямой вводится в гл. 2, и после этого мы свободно пользуемся алгеброй. Расстояния и углы измеряются числами, и при действиях с ними применяются алгебраические методы. Это позволяет легко ввести в гл. 13 (после того, как учащийся познакомится с подобием и теоремой Пифагора) коор­ динаты на плоскости.

3. Теорию измерения площадей обычно проходят в конце курса

не считать требований, которые оно предъявляет к алгебраическим навыкам. (Эти навыки так или иначе нужно развивать.) Во-вторых, оно полезно в остающейся части теории, давая простое дока­ зательство теоремы Пифагора, а также теоремы о пропорциональ­ ных отрезках, на которую опирается теория подобия.

4.Почти в каждом случае, прежде чем формально определить какое-либо понятие, мы объясняем его интуитивно — путем нефор­ мального обсуждения, чаще всего базирующегося на разборе рисун­ ков. (См., например, определение выпуклого множества на стр. 69.)

5.Рисунки в книге используются очень широко; они снабжаются некоторыми пометками, имеющими своей целью увеличение доставляе­ мой рисунками информации. (См. стр. 126—127, где мы объясняем, как пометками обозначать конгруэнтность, а также стр. 141—142, где мы объясняем пользу проставляемых на рисунках восклицатель­

ных знаков: с их помощью мы обозначаем заключения.)

6.Мы постарались придумать названия для возможно большего числа теорем, чтобы облегчить их запоминание и ссылки на них. (См., например, «теорему о шарнире» на стр. 224 и «аксиому масштабной линейки» на стр. 45.)

7.Основная цель этой книги состоит в том, чтобы научить учащегося пользоваться математическим языком —т. е. понимать математическую книгу и самому использовать усвоенные формы записи. Это —не простая задача. Тому, кто учится пользоваться математическим языком, должны быть сообщены термины и обозначения, быстро и точно передающие смысл математического понятия. Не следует думать, что так поступают все. Например, во многих книгах один и тот же символ AB употребляется для обозначения: а) прямой, содержащей точки А и В; Ь) отрезка с концами А и В; с) луча, исходящего из Л и проходящего через

Ю

§ 1. ДВА ТИПА ЗАДАЧ

Рассмотрим следующие задачи.

1. Прямоугольник имеет размеры 6 смх8см. Ограниченная им площадь разбита прямолинейным отрезком на две части. Чему равна площадь одной из этих частей, если площадь другой равна 20 кв. см?

рее всего, вам еще до того, как вы вообще начали изучать алгебру, приходилось решать с помощью арифметики и более трудные за­ дачи. И если бы все алгебраические уравнения были бы такими же ненужными, как только что составленное, то ни один серьез­ ный человек не заинтересовался бы ими.

5 * + 3 */ = ^ ,

так как сумма основания и боковой стороны равна половине пе­ риметра. Кроме того, мы знаем, что

х + у = 14.

Мы пришли к системе двух уравнений с двумя неизвестными. Чтобы ее решить, умножим второе уравнение почленно на 3; мы получим

Зх + Зг/= 42.

Затем почленно вычтем последнее уравнение из первого; это даст

13

или

Следовательно,

У= 14— 1§ = 12|-.

Нетрудно проверить, что наш ответ удовлетворяет условиям задачи. Эти две задачи кажутся схожими, но в одном очень важном отношении они совершенно различны. Первую из них можно было бы назвать «задачей на здравый смысл». Легко догадаться, каким должен быть ответ, и столь же легко проверить, что ответ, к которому приводит естественная догадка, правилен. Угадать же ответ второй задачи почти невозможно. Чтобы ее решить, нужно

кое-что знать о математических методах.

Ситуации такого рода в геометрии не редки. Рассмотрим сле­ дующие утверждения.

1.Если треугольник имеет стороны 3, 4 и 5, то он является прямоугольным, причем прямой угол противолежит наибольшей стороне.

2.Пусть дан треугольник со сторонами а, b и с. Если

аа+ 6 2 = с2,

то треугольник является прямоугольным, причем прямой угол про­ тиволежит наибольшей стороне.

Первый из этих фактов был известен еще древним египтянам. Они проверили его на опыте. Вы можете удостовериться в том, что он верен, как можно точнее начертив треугольник 3 — 4 —5 и измерив транспортиром угол, противолежащий наибольшей сто­ роне. Нужно, конечно, учитывать, что такая проверка является только приближенной. Допустим, например, что этот угол, кото­ рый мы предположили точно равным 90°, в действительности равен

случае вам едва ли удалось бы обнаружить это различие с по­ мощью транспортира, как бы тщательно вы ни точили свой карандаш

14

и вычерчивали треугольник. Тем не менее «египетский метод» с точки зрения здравого смысла является хорошим методом проверки экспериментального факта.

Египтяне были очень искусны в проведении физических изме­ рений. Ребра основания великой пирамиды в Гизе (пирамиды Хеопса) равны приблизительно 230,43 м, причем длины этих четырех ребер отличаются одна от другой не более чем на 2 см. По-видимому, никто сегодня не знает, какими средствами строители добились такой точности (Чем больше вы будете думать над этой задачей, тем более трудной она вам, вероятно, покажется.)

Утверждение 2 египтянам известно не было, оно было открыто греками много позже. Проверить это утверждение экспериментально совершенно невозможно по той простой причине, что пришлось бы рассмотреть бесконечное множество случаев. Можно, например, сделать чертеж и снять показания транспортира для всех сле­ дующих треугольников

и так далее до бесконечности. Таким образом, проверить наше общее утверждение экспериментально (даже приближенно) нет ни­ какой надежды. Поэтому разумный человек не будет убежден, что утверждение 2 во всех случаях верно до тех пор, пока он не обо­ снует его рассуждениями, основанными на правилах логики.

Это и явилось причиной того, почему именно греки, а не егип­ тяне открыли, что наше второе утверждение верно. Египтяне были очень сильны в измерениях, и они сделали несколько чрезвычайно проницательных догадок, которые позднее оказались верными. Но греки открыли новый метод, который оказался гораздо более мощ­ ным,—метод строгого геометрического рассуждения. С помощью этого метода они превратили правдоподобные догадки в прочные знания и установили некоторые настолько поразительные факты, что без доказательства им никто не поверил бы. Тем самым древние греки заложили основания современной математики, а потому и всей современной науки вообще.

15

16

c)Расхождения, являющиеся результатом изменения положения линейки, накапливаются, и сложение этих маленьких ошибок приводит к замет­

8. Важной составной частью изучения математики является овладение умением подмечать детали, наталкивающие на некоторые общие умозаключения.

По ним нетрудно догадаться, что сумма двух нечетных чисел есть число четное. Можете ли вы придумать два нечетных числа, суммой которых явля­ ется нечетное число? Доказывает ли ваш ответ, что такие два нечетных числа не существуют?

9. Рассмотрите соотношения

12= 1, 32 = 9, 52= 25, 72= 49.

11. Рассмотрите следующие фигуры и вывод, на который они наталкивают:

О

Число соединяемых точек: 2

Число образуемых областей: 2

a)Замените вопросительный знак под цифрой 6 числом, которое, по вашему мнению, должно здесь стоять.

B ) Нарисуйте окружность и соедините любые шесть ее точек всевозможными отрезками. Подсчитайте число образованных при этом областей. Согла­ суется ли этот результат с вашим ответом на вопрос а)?

c)Что показывает эта задача: всегда ли верно напрашивающееся обобщение наблюдений или это не так?

12.Следующие рисунки, в которых мы встречаемся с обманами зрения, пока­

17

У

d) Какая из прямых справа от прямоугольника является продолжением прямой слева?

e) Какой из отрезков длиннее, A B или CD?

только на себя и на единицу.) Если подставлять вместо п любые натураль­ ные числа, то всегда ли мы будем получать простые числа?

14*+. а) Покажите, что выражение

га2— п - \-k,

когда k равно 3 или 5, ведет себя так же, как и выражение п2— п + 1 1

(см. задачу 13).

B ) На какое общее утверждение наталкивает а)? Верно оно или нет?

c)Какое наименьшее число, большее чем 11, годится здесь в качестве к?

16+. Проверьте с помощью линейки, что размеры на рисунке указаны верно. Если они правильны, то, вычислив площади частей, на которые разбит пря­ моугольник, покажите, что сумма всех этих площадей больше, чем площадь

два раза больше, чем нужно. Можно получить вполне удовлетворительный ре­ зультат, если немножко порассуждать следующим образом. Длина окружности в л раз больше диаметра, а я приблизительно равно 3. Поэтому диаметр состав­ ляет около одной третьей части длины окружности. Таким образом, если вы знаете, что окружность вашей талии близка, скажем, к 60 см, то петля должна иметь диаметр, приблизительно равный 20 см. Это может показаться неправдо­ подобно малым, но если вы проанализируете задачу математически, то согласи­ тесь, что это строго логичное рассуждение вполне надежно.

18

Это один измногих довольно часто встречающихся случаев, когда много выгоднее использовать математический подход к задаче, пусть даже совсем грубый, чем просто гадать на кофейной гуще.

иметь высоту, большую, чем 90 миллионов километров, т. е. большую, чем по­ ловина расстояния от Земли до Солнца.

Даже если вы решили, что правильным является ответ d), вы скорее всего все же не подозревали, насколько мал этот ответ по сравнению с истинным значением.

§ 2. ЛОГИЧЕСКИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ

Если вы немножко подумаете, то убедитесь, что знаете немало геометрических фактов. Например, вы знаете, как находить пло­ щадь различных простых фигур. Известно вам и равенство Пифа­ гора, связывающее стороны прямоугольных треугольников. Неко­ торые из знакомых вам фактов так очевидны, что вам, пожалуй, никогда не пришло бы в голову формулировать их словами, не говоря уже о том, чтобы задуматься, а почему же они верны. Примером такого рода служит следующее утверждение:

Две прямые не могут пересечься более чем в одной точке.

Но некоторые другие из этих фактов, например равенство Пи-

.фагора, совсем не очевидны. В этой книге мы собираемся изла­ гать геометрические факты таким образом, чтобы из нескольких простых начальных утверждений получать затем более сложные. Мы увидим, что все геометрические факты можно вывести из небольшого числа простых и очевидных утверждений. Это наводит нас на мысль о том, что все эти факты можно расположить в та­ ком порядке, что каждое утверждение в нашем списке можно вывести из предыдущих утверждений путем логического рассуж­ дения.

И действительно, мы собираемся реализовать следующую программу: мы будем определять геометрические понятия с той степенью ясности и полноты, которая покажется нам необхо­ димой, и устанавливать геометрические факты, приводя их ло­

19