книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

нечто, если бы это случилось, то нам далее нечего было бы доказывать, потому что мы уже имели бы искомый перпендику­

ляр, а именно, прямую PQ.

Таким образом, перпендикуляр к прямой, проходящий через данную точку, не принадлежащую этой прямой, существует. Те­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Как и большинство доказательств единст­ венности, это доказательство является доказательством от против­ ного. Допустим, что Іх и /2—две различные прямые, проходящие через Р и перпендикулярные I. Пусть А и В —точки, в которых прямые Іх и /2 пересекают I, а Q—точка луча, противоположного

& P A B C^ & Q A B .

(Наш рисунок создает впечатление, что это не так, но вспомните, что рисунок изображает н е в о з м о ж н у ю ситуацию; ведь наша задача как раз и состоит в доказательстве невозможности этой ситуации.)

Следовательно, /_ РВА ^ /_ QBA, так как это соответствую­

щие углы. Поэтому BQ±_l в точке В. Таким образом, сущест- <■^

вуют две прямые, U и BQ, перпендикулярные прямой / в точке В. Но это противоречит теореме 6.1, утверждающей, что в данной плоскости существует только одна прямая, перпендикулярная данной прямой в данной ее точке. Итак, наше допущение о том, что существуют два перпендикуляра к /, проходящие через точку В, было ошибочно.

184

К

6. Прямая / является медиатрисой отрезка QT. Точка Р лежит по ту же сто­

Ь) Если Z С — прямой угол в Д АВС, то гипо­ тенузой является сторона . . . , а катетами — стороны ... и ... .

11. Докажите, что если медиана, делящая пополам гипотенузу прямоугольного треугольника, перпендикулярна гипотенузе, то этот прямоугольный треуголь­ ник — равнобедренный.

12*. Дан А А ВС , у которого АС = ВС. Биссектрисы углов при основании (Z Л <г—^

и Z ß ) пересекаются в точке F. Докажите, что прямая CF перпендикулярна

основанию AB. (В доказательстве нужно рассмотреть некоторые конгруэнт­ ные треугольники.)

186

§ 5. ВВЕДЕНИЕ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ТОЧЕК И ПРЯМЫХ.

УПОТРЕБЛЕНИЕ СЛОВА «ПУСТЬ»

Вероятно, вы уже заметили, что в некоторых наших доказа­ тельствах мы вводили в рассмотрение точки и прямые, в форму­ лировке теоремы не фигурирующие. Вспомним, например, то место в § 4, где мы хотели доказать, что всегда существует перпенди­ куляр к данной прямой, проходящей через данную точку, не при­ надлежащую этой прямой.

иQS и точку Т.

Вкаждом шаге записи доказательства этой теоремы (теоремы

3.6) в два столбца в левом столбце утверждается, что действительно существуют точки и лучи, обладающие нужными свойствами. И если вы заполнили правый столбец правильно, то в каждом шаге вы сделали ссылку на аксиомы (или, быть может, на теоремы), оправды­ вающие соответствующее утверждение.

Однако по большей части аргументы в таких случаях очень просты. И, записывая пункты доказательства, часто мы пользуемся

187

неформальным языком. Вот один пример, встретившийся нам в об­ суждении, предшествовавшем теореме 6.3. Мы сказали:

«Пусть Q и R —любые две точки прямой /. Чтобы построить

перпендикуляр, мы сначала проведем луч QP ... »

Математики часто так говорят, и нет причин, по которым этого не стоило бы делать. Но если вы внимательно не следите за тем, что происходит, то использование выражений такого рода легко может привести, к недоразумениям. Иногда может показаться, что математики просто говорят «пусть» всякий раз, когда им хочется, чтобы что-то выполнялось. Но, конечно же, они делают совсем не то. Когда мы говорим: «Пусть Q и R —любые две точки прямой /», мы утверждаем, что прямая I содержит две точки и что мы знаем, почему это так. Поскольку мы уже доказали теоремы 6.3 и 6.4, мы знаем, что перпендикуляр, о котором в них говорится, суще­ ствует и единствен. Поэтому мы имеем право сказать: «Пусть /' — перпендикуляр к прямой /, проходящий через точку Р». Это со­ кращенный способ, позволяющий сослаться на обе эти теоремы сразу. ( Вопрос . Если бы мы знали только теорему 6.3, но не теорему 6.4, то сокращенное утверждение какого вида мы имели право сделать?)

Когда мы вводим вспомогательные точки и прямые в записы­ ваемых в два столбца доказательствах, нам нужно как на аргу­ менты ссылаться на какие-то аксиомы или теоремы. Вот перечень аксиом и теорем, на которые мы будем для этой цели ссылаться. Это утверждения, говорящие нам, что некоторая точка, прямая или плоскость существует, или единственна, или то и другое вместе.

Аксиома 4 (аксиома прямой)

Для каждых двух точек существует одна и только одна прямая, содержащая обе эти точки.

Аксиома 5

a) Каждая плоскость содержит по крайней мере три неколлинеарные точки.

B) Пространство содержит по крайней мере четыре некомпла­ нарные точки.

Теорема 2.1 (теорема о нанесении точки)

Пусть A B —луч и х—положительное число. Тогда существует одна и только одна точка Р луча AB, для которой АР —х.

Теорема 2.2

Каждый отрезок имеет середину и притом только одну.

18а

Теорема 3.1

Если две прямые пересекаются, то их пересечение содержит только одну точку.

Теорема 3.2

Если какая-либо прямая пересекает не содержащую ее плос­ кость, то их пересечение содержит только одну точку.

Аксиома 7 (аксиома плоскости)

Любые три точки принадлежат по крайней мере одной плос­ кости, и любые три неколлинеарные точки принадлежат только одной плоскости.

Теорема 3.3

Если даны прямая и не принадлежащая ей точка, то сущест­ вует одна и только одна плоскость, содержащая эту прямую и эту точку.

Теорема 3.4

Если даны две пересекающиеся прямые, то существует одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Аксиома 12 (аксиома построения углов)

вует ровно один такой луч АР, что точка Р лежит в полуплос­ кости Н и т £. РАВ — г.

Теорема 5.2

Каждый угол имеет биссектрису и притом только одну.

Теорема 6.1

В данной плоскости существует одна и только одна прямая, перпендикулярная данной прямой в данной ее точке.

Теорема 6.3

Существует по крайней мере одна прямая, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку, не принадле­ жащую этой прямой.

189

Теорема 6.4

Существует не более одной прямой, перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку, не принадлежащую этой прямой.

Среди всех до сих пор рассмотренных теорем и аксиом только что перечисленные — это те, которыми мы будем пользоваться при введении вспомогательных точек и прямых. Но, конечно, от этих теорем нам не будет никакого толка, если, проводя доказатель­ ство, мы не сумеем сообразить, какие точки и прямые п о л е з н о ввести в рассмотрение. В действительности, придумывание полезных точек и прямых, т. е. таких, которые стоит ввести, составляет одновременно и трудную и наиболее интересную часть нашей работы; ссылки на теоремы — это только способ, позволяющий гарантировать, что мы поступаем правильно.

Для изобретения доказательств нет жестких правил; можно

Дано . Плоская фигура (см. рисунок), где AD = AE и CD = СЕ.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . Д Я ^ Д £•

Так как все наши аксиомы и теоремы, относящиеся к конгру­ энтности, имеют дело с треугольниками, кажется разумным изоб­ разить на нашем рисунке какие-либо треугольники. Мы можем

осуществить это очень легко, проведя отрезок АС или отрезок DE. Допустим, что мы проведем (т. е. введем

в наше доказательство) отрезок DE так, что наша фигура будет выглядеть как на следую­ щем рисунке. Это позволит нам довести до­

190

манно приставляя какие-то слова одно к другому. Рассмотрим, например, следующую «теорему» и ее «доказательство».

Эта «теорема» смехотворна, поэтому ее «доказательство» должно быть неверно. И нетрудно заметить, что ошибочный шаг в дока­ зательстве сделан в самом начале, когда мы слишком беззаботно воспользовались словом «пусть». Если случайно не окажется, что

L В = L С, то середина отрезка ВС и основание перпендикуляра,

проведенного к ВС из точки А, будут двумя различными точками. Таким образом, в большинстве случаев точка D, существование которой мы «допустили», на самом деле не существует.! Заметим, что если бы автор этого неверного доказательства изобразил на своем рисунке разносторонний треугольник, то его ошибка была бы совершенно очевидной. Хорошие рисунки не гарантируют отсутствия ошибок, но все же часто позволяют их избежать.

А

Задачи к § 5

1. Докажите теорему, сформулированную в

примере 1 на стр. 191, проведя отрезок АС.

2. Дан рисунок (обратите внимание на помет­ ки!). Докажите, что L М < ^ L Р .

191

Докажите, что А К — С К .

вание какого-либо объекта, рядом с номером этой аксиомы или теоремы

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . S R — ST. Сохранит ли ваше доказательство силу, если точки Q, R, S и Т не компланарны?

192

8. Д а н о . A B — PQ и B P — AQ.

В

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь .

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . X. Я ^ X D.

10*. Наметьте второе решение задачи 9, проведя вспомогательные отрезки, отличные от тех, которыми вы пользовались раньше.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . X A B D ^

^X ACD.

12*. Плоскости R и Т на этом рисунке пе­ ресекаются по прямой MN. Точка Е ле­ жит в плоскости Т, точка S — в плоско­

§ 6. КАК ОБОЙТИСЬ б е з у с у -а к с и о м ы

Изучение конгруэнтности треугольников в предыдущей главе мы основывали на трех аксиомах: СУС, УСУ и ССС. В действи­ тельности, единственной из них, которую мы в самом деле должны принять за аксиому, является СУС; если мы примем только СУС, то оставшиеся две «аксиомы» можно д о к а з а т ь .