Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

26.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 6215 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

утверждения, которое собираются доказать. Такие рассуждения на зывают «порочным кругом»; в качестве логических доказательств они ничего не стоят.

Особенно плохой вид порочного круга — использование той тео ремы, которую мы пытаемся доказать, в качестве аргумента для обоснования одного из шагов «доказательства».

Задачи к § 4 (часть 2)

1. Каждый из рисунков внизу размечен так, что он точно указывает предпо ложение и заключение. Напишите, что дано и что требуется доказать для каждого из этих рисунков.

в)

2. Сделайте то же, что в задаче I, исходя из следующих рисунков.

3. Перепишите задачу и дополните доказательство.

Дан	рисунок, где А С = В С ,	DC= EC, О— середина отрезка DC, Н —сере
дина	отрезка Е С и £. А С Е	ES L BCD. Докажитег что AG — BH.

143

Д о к а з а т е л ь с т в о

У тверж дения

Аргументы

1.А С = В С .

2.DC — Е С .

Точка G— середина DC.

Точка ... — ...

3.DG=GC — ^ DC.

4.£ Я = Я С = у £ С .

б.6С = ЯС.

6. т	А А С Е = т A BCD.
7. т	A ACG+m A GCH=
— т A BCH + tn A GCH.
8. т	A GCH= т A GCH.
9. т	A ACG— m А В С Н .

10.Д AGC ss Д В Н С .

11.AG=BH.

...

Определение середины.

• 4.

Шаги 2, 3 и 4 и подстановка.

Условие	и определение конгруэнтных
углов.	сложения	углов и ... в
Аксиома
шаг 6.
Правило вычитания		равенств.

Шаги 1, 5, 9 и ... аксиома.

...

Докажите,

что если на этом рисунке AE =

В С ,

AD = BD и DE —DC, то

A E ^

A C.

Докажите,

что если

на

том

же

рисунке

AE — В С ,

AD — BD и

L EAD ^

А CBD,

то

BDE s

ADC.

Можете ли

вы доказать, что если на том же рисунке

А Е

= В С ,

AD — BD

и А Е Sz А

С , то £D = CD?

Если да, то сделайте это. Если нет, то объяс

ните почему.

7*. Можете ли вы доказать,

что если на том же рисунке А

Е ^

А С , ED — CD

и А BDE ^

А ADC, то

А Е — В С ?

Если

да, то сделайте это. Если нет, то

объясните почему.

Д а н о. Рисунок, где AB 1

М К .

точка

яв

ляется серединой отрезка 1ИД.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . / х ^

/ у.

Дано, что

луч_А£ делит отрезок

В К.

пополам в точке R

и что А В — А К -

Докажите,

что AE X BR.

144

11.	Дано, что отрезки PQ и R S пересекаются в точке Т, причем Р — T — Q и
	R — T — S, кроме того, R T = QT, PR ± lR S и SQ J,~PQ.
	Докажите, что L P s= L S.
12.	Докажите,	что если на этом рисунке P S ~ Q S ,	S
	Р V = Qy и	Z X Ä* £ у, то SV' i . PQ .

13. Докажите, что если на этом рисунке АВ = СВ,

L M A E ^ L N C D и AE = CD, то /\ А В Е ^ SË Д CBD.

14. Можете ли вы доказать, что если на том же

рисунке	L ЕВА ^ /. DBC и Z. Е s L D, то
Д	S Д СД£>? Объясните.

15*. Можете ли вы показать, что если на том же рисунке А В = С В , m L МАЕ =

— пг L NCD	и m L ABD = m Z С BE, то BE — BD? Если ваш ответ утвер
дителен, то приведите доказательство.
16. На рисунке	внизу слева дано, что А,	В, С и D — некомпланарные точки,
причем точки	В, С и D лежат в плоскости Е . Покажите, что если AB ± В С ,
AB ± BD и	BC = BD, то AC = AD.
	А	В

17*. Покажите	что если на рисунке справа L АВР д * L СВР, BP ± АР и
BP J. С Р , то	АВ = СВ.

145

§ 5. БИССЕКТРИСЫ УГЛОВ

Пометки на рисунке указывают, что луч AD делит /_ ВАС пополам.

Луч AD на следующем рисунке не делит /_ ВАС пополам, потому что он «направлен в противоположную сторону».

Таким образом, мы подошли к следующему определению:

Определение

Если точка D лежит внутри /_ ВАС и /_ B A D ^ /_ DAC, то

луч ÄD	д е л и т /_ ВАС	п о п о л а м ; в этом случае луч AD назы
вается	б и с с е к т р и с о й	/ _ ВАС.

Теорема 5.2

Каждый угол имеет биссектрису и притом ровно одну.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	1°. Выберем на рисунке внизу	слева
точки В и С на сторонах	А так, чтобы было AB — АС.	Пусть

D —середина отрезка ВС. Тогда соответствие ADB *-* ADC явля ется ССС-соответствием и по ССС-аксиоме Д ADB ^ Д ADC. Сле довательно, /, B A D = Z.CAD, так как это — соответствующие углы. Поэтому Z. А имеет биссектрису.

146

2°. Допустим, что луч AD делит /.В А С пополам, как пока зано на рисунке справа. Пусть r = m/_ DAC. Тогда г —т / DAB, так как эти углы конгруэнтны. По аксиоме 13

г + г = т /	ВАС.
Таким образом,
г = ~ т /	ВАС.

Но мы также знаем, что точка D лежит по ту же сторону

от АС, что и В. (Почему?) По аксиоме построения углов сущест вует только один луч, который «лежит по нужную сторону от АС» и «образует угол нужной величины (угол с нужной мерой)».

Задачи к § 5

1.	Верны	или ошибочны следующие	утверждения		(объясните	ваши ответы):
	a) биссектриса угла лежит целиком внутри			этого	угла;
	B ) биссектриса угла образует со		сторонами	этого угла два		острых угла?
2.	Дано,	что А Р — биссектриса Z. В А	С и АС —

=AB.

Докажите, что Р С = ВР .

3. Точки А и В лежат по противоположные сто роны от прямой C Y и С — X — Y. Докажите,

что если L A X Y ^ L B X Y , то ХС делит Z. А Х Р пополам.45

4.	Даны	два смежных угла. Докажите, что их биссектрисы перпендикулярны.
5.	Д а н о .	Прямые Л D, B E и CF	пересекаются
	в точке К и К С делит пополам		L D K B .
	Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . K F		делит попо
	лам L	А К Е .

147

6 * . Прямые M N и PQ пересекаются							в точке О, причем M — 0 — N и P — 0 — Q.
Точки S и Т лежат					внутри /. QON так, что				2 TOQ ~	L TON и	/. SOQ
~ / . S O N *			Л уч	OR	является биссектрисой				L РОМ .	Докажите,	что точки
R, S	и Т		колли не^рны
7. Плоскости			Е и F	на	этом	рисунке пересе
каются		по	прямой A B . Прямая				Р К	ле
жит	в	плоскости F			и пересекает		прямую
A B	в	точке D.		Кроме		того, Р А = Р В ,
L Р А В =			L Р В А ,		и точка D		является
серединой			отрезка		А В.	Докажите,		что
Р К — биссектриса L					А Р В.


8 * . Точки Р,	В,		D	и С	на	этом	рисунке
принадлежат		плоскости			Е,	а	точка А
этой плоскости			не принадлежит.				Д А ВС
и Д Р В С		являются			равнобедренными:
А В = А С и Р В = РС. Докажите,							что если
ÄD — биссектриса				Z В А С ,		то P D — бис
сектриса	/. В PC.

§ 6. РАВНОБЕДРЕННЫЕ И РАВНОСТОРОННИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

В конце § 1 мы упоминали случай сопоставления вершин Д АВС вершинам того же треугольника, возникающий, когда по крайней мере две стороны этого треугольника имеют одну и ту же длину. Именно с этим случаем мы сталкиваемся в нашей первой теореме о конгруэнтности.

Теорема 5.3 (теорема о равнобедренном треугольнике)
Если две		стороны треугольника конгру	А
энтны, то	и	углы, противоположные этим
сторонам,	конгруэнтны.

148

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Дан Д АВС. Если A B Q Z AC,

то Z, ß = L С.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим соответствие

АВС++АСВ

между Д Л 0 С и им самим. Мы видим, что при этом соответствии

AB *■* АС

~АС*г* ÄB

L A ^ L A

Так как это СУС-соответствие, то из СУС-аксиомы следует, что

ДАВС ^ Д АСВ,

т.е. что соответствие АВС ** АСВ является конгруэнтностью. По определению конгруэнтности все пары соответствующих элементов

конгруэнтных треугольников конгруэнтны. Следовательно, Z. Д = Д С, потому что эти углы —соответствующие.

Покажем теперь, как только что приведенное доказательство выглядит в форме записи в два столбца. (Мы пользуемся той же формулировкой теоремы и тем же рисунком, что и выше.)

До к а з а т е л ь с т в о

Утверждения

1.	Ä B ^ Ä C , Ä C Q ^ Ä B .
2.	д	Л ^	д	А.
3.	Д	А В С ^		i s АСВ .
4.	L	В ^	L	С.

Определения

Аргументы

Дано.

Тождественная конгруэнтность. Шаги 1 и 2; СУС .

Определение конгруэнтности между тре угольниками.

Треугольник с двумя конгруэнтными сторонами называется р а в н о б е д р е н н ы м . Третья сторона треугольника называется его о с н о в а н и е м . Два угла, между которыми заключено основание,

называются у г л а м и	п р и о с н о в а н и и , угол, противолежащий
основанию,— у г л о м	п р и в е р ш и н е .

В этих терминах теорему 5.3 можно сформулировать так:

Углы при основании равнобедренного треугольника конгруэнтны.

Определения

Треугольник, все три стороны которого конгруэнтны, называется р а в н о с т о р о н н и м .

149

Треугольник, никакие	две стороны которого не конгруэнтны,
называется р а з н о с т о р о н н и м .
Треугольник, все три	угла которого конгруэнтны, называет
ся р а в н о у г о л ь н ы м .

Пользуясь терминами равносторонний, равноугольный, сфор мулируем теорему, вытекающую из теоремы 5.3. Мы назовем ее следствием 5.3.1. (Следствием называется теорема, которая легко вытекает из какой-либо другой теоремы.)

Следствие 5.3.1
Каждый равносторонний	треугольник		А
является также и равноугольным.		Дан
Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а .		Дан
А АВС. Если ВС = АС = AB,	то	Д Л —
= д # = д с.

Для доказательства нужно дважды применить теорему 5.3. Проведение доказательства во всех деталях предоставляется вам.

Следующая теорема может показаться похожей на теорему 5.3, но в действительности они различны; это становится особенно ясным, если исходить из вторых формулировок теорем 5.3 и 5.4. (Обратите внимание на то, как отличаются пометки на иллю стрирующих эти теоремы рисунках.)

Теорема 5.4
Если два угла треугольника конгруэнт		А
ны, то и стороны, противолежащие этим
углам, конгруэнтны.
Д р у г а я	ф о р м у л и р о в к а . Дан
Д АВС. Если	Д В ^ Д С, то АВ = АС.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как	Д В д ^ Д С , В С ^ С В и Д С ^
^ Д В, то соответствие	АСВ
АВС ^	АСВ

является УСУ-соответствием. Поэтому оно является конгруэнт ностью, и

д АВС Д АСВ.

150

Следовательно, AB = АС, потому что соответствующие стороны конгруэнтных треугольников конгруэнтны.

Следствие 5.4.1	А
Каждый	равноугольный треугольник

является также равносторонним.

Вы сами сумеете дать другую формулировку этой теореме и записать ее доказательство.

Задачи к § 6

1.Выберите, какое из следующих слов правильно заканчивает каждое пред ложение:

Биссектриса угла является

(і)

отрезком; _(іі) лучом;

(ііі)

плоскостью.

B ) Равносторонний треугольник является

(і)

равнобедренным;

(іі)

разносторонним; (ііі)

равноугольным.

Следствие является

(і)

определением;

(іі)

аксиомой;

(ііі) теоремой.

Если

два

угла

треугольника

конгруэнтны,

то

у этого

треугольника

имеются и

две

конгруэнтные

стороны; это мы

можем

утверждать на

основании

(і)

определения;

(іі)

следствия,

(ііі) теоремы.

2. Д

P R S

на этом рисунке

является

равнобедрен

ным,

причем

P R =

P S .

Докажите,

что

=L У-

3. Докажите, что если на этом рисунке Z	L п,
то Д GHK является равнобедренным.

4. Д а н о .	Плоская	фигура	ADBC,	где AD —
— B D и АС — ВС. Т р е б у е т с я д о к а з а т ь .
L CAD	z CBD .
5. Д а н о.	Плоская	фигура	ADBC,	где	АС — ВС
и L C A D ^ A		CBD. Т р е б у е т с я			д о к а
з а т ь .	AD = BD.

НК

151

в . Нужно ли		в задачах 4 и 5		предполагать,	что фигура АD B C — плоская?
	Объясните.
7.	Докажите	следствие 5 .4 .1:
	К а ж д ы й равноугольный треугольник является				т а кж е равносторонним.
8.	Д ан рисунок с		указанными	на нем пометками.		К
	Докажите,	что	Д M N K — равнобедренный тре

угольник.


9.	Д ан Д А ВС ,	для	которого			соответствие		А В С -■ А С В		является	конгру
	энтностью. Отсюда		можно заключить, что				Д	А В С будет (		іразносторонним;)
	( і равнобедренным;і )			( і	равностороннимі і )		.
10.	Д ан Д Л В С ,	для		которого		соответствие		A B C +-+-САВ		является	конгру
	энтностью. Тогда Д			А В С	будет ( і разносторонним;)				(	і равнобедренным;і )

(ііі)равносторонним.

11.Доказать: биссектриса угла, противолежащего основанию равнобедренного треугольника, делит основание пополам и перпендикулярна основанию.

12. На этом рисунке АС — ВС,		А А	А у и	С
А В ^	А X. Докажите, что Д	CD E — равнобед		С
А В ^	А X. Докажите, что Д	CD E — равнобед
ренный	треугольник.

13*. Точки С и D лежат на некоторой плоскости по противоположные стороны

	от прямой	A B,		причем они		расположены так, что			Д А В С	является равно
	сторонним,	а	д	А B D — равноугольным. Докажите,					что L	С с ы z Ь .
14.	Дано, что	на этом^ рисунке				P Q 1	MQ,	P Q ± N Q
	и MQ = NQ.		Докажите,		что Д		M N P — равно
	бедренный	треугольник.
15.	Докажите,		что	если	на	том	же	рисунке
	L P M N £ *	А P N M и			А M P Q z z ANPQ, то

А PMQ = * AP NQ .

152

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 6215 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ