книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

b)

Чему равно отношение PQ к Р Ю

PQ

к РТ ?

c)

Изменяется ли отношение PQ к

Р Т

при переходе от одной единицы

длины к другой?

в)

Допустим,

что

мы

в

состоянии установить одну универсальную еди­

ницу для измерения длин. Какие

преимущества это бы нам дало? Какие

недостатки

это бы

имело?

5.

В

каждом

из

следующих

равенств

вставьте

в

пропуски

соответствующие

числа:

a)

6 дюймов =

...ф ута

=

... ярда;

*

B )

...

дюймов

= 7

1

футов =

-2

... ярдов;

c)

... дюймов

=

... футов =

ярда.

6.

В

каждом

из следующих

равенств

вставьте

в

пропуски

соответствующие

числа:

a)

2м — ...

см =

...

мм;

B )

... м — 50

см —

... мм;

c)

... м —

... см = 1

мм.

7.

А,

В

и С — три точки

на

прямой, расположенные, как показано на ри­

сунке.

Чему равно

АС, если

A

B

С

а)

AB — 6

см и

ВС =

12 см;

в) A B — 6 м и В С = 12 м;

с)

A B — 6

км и

В С — 12

км?

8.

А,

В

и С — три точки

на

прямой, расположенные в том же порядке, что

и в задаче 7. Чему равно АС,

если

a)

A B — 6 м

и

ВС — 12

см;

b)

A B — 6 см

и ВС — 12

м;

c)

A B = 6

км

и

В С =

12

см?

чается одно

и то же

число, хотя единицы измерения разные, а в задаче 8

все ответы

различны?

С точки

зрения

логики любая единица длины не менее при­

зоваться

именно этой

единицей. (Если хотите, можете считать, что

выбрана

та единица,

которая вам больше

всего

нравится. Если,

например, вам нравятся сантиметры, или

метры,

или километры,

то вы

можете думать, что именно этими

единицами мы и поль­

зуемся.

Все последующие теоремы остаются верными при л ю б о м

выборе

единицы длины.)

каждой

паре точек Р и

Итак,

раз мы уже выбрали единицу,

Далее

мы будем допускать и возможность того, что P — Q, т. е.

что Р и

Q— одна и та же точка. В этом

случае мы

полагаем

PQ — 0.

Заметим еще, что расстояние между

точками определено

просто

для

пары точек и не з а в и с и т

от

порядка,

в котором

указываются

эти точки; таким образом, всегда PQ = QP.

В некоторых из задач, предлагаемых

ниже, встречаются раз­

личные

единицы длины, например сантиметры, дециметры, метры

и т. д.

Как

мы уже говорили, все наши теоремы справедливы для

мы пользуемся о д н о й

единицей для измерения

в с е х

расстояний.

Иными

словами,

единицу длины можно выбрать любую, но уже

затем

твердо ее

придерживаться;

менять

единицу в середине до­

казательства

нельзя.

Задачи к § 4 (часть 2)

1.

Аллен,

Брюс и

Чарлз

измерили

в

сантиметрах расстояние

между двумя

точками

Р и Q, отмеченными на доске. Аллен сказал, что PQ =

27,

Брюс —

что

PQ = 27,5,

а

Чарлз — что

PQ — 26,75.

Сколько

из

этих

мальчиков

могли

быть

правы?

Почему?

Обязательно

ли хотя

бы один

из

них был

прав?

Подумайте.

2.

Если

расстояние

PQ

равно

54

см,

то

чему

оно

равно

в

дециметрах?

в метрах?

3.

Если

расстояние

R S

равно

15

дм,

то

чему

оно

равно

в

сантиметрах?

4.

в метрах?

Эдвард

и Фрэнк

подсчитали расстояние между одними и теми же точ­

ками

А,

В

и С.

Эдвард сказал:

«Aß =

1,

а

В С =

2 у » ,

Фрэнк сказал:

«A ß =

12,

а ВС =

30».

Если

оба мальчика были правы, то объясните, как

они

могли

для

одних

и тех

же

расстояний

получить разные

числа? Сог-

'

ласуется

ли это

с

аксиомой

расстояния?

5.

Если

расстояние

R S

равно

х

дм,

то

чему

равно

R S

в

сантиметрах?

в метрах?

6 * . Расстояние

A ß ,

измеренное в

сантиметрах,

на

15

больше,

чем

5-кратное

то же самое расстояние, измеренное в дециметрах.

Чему равно

расстояние

AB

в

дециметрах?

7 * . Периметр

треугольника,

измеренный

в

сантиметрах,

на

20 больше,

чем

6-кратный периметр того

же треугольника,

измеренный в дециметрах. Чему

равен этот периметр в сантиметрах?

8+. Если

сторона

квадрата

равна

4

дм,

то

его

периметр

равен

16

дм,

а площадь— 16 кв.

дм. Так

как

1 6 = 1 6 ,

то

утверждение «Площадь квадрата

равна

его

периметру» для

нашего

квадрата верно.

a) Будет

ли это

утверждение

верно

для

нашего

квадрата,

если

его

стороны

измерять

в сантиметрах?

B ) Найдите

два

других

квадрата, для

которых

это

утверждение верно.

c) Что общего имеют три квадрата, для

которых верно указанное утвержде­

ние?

9+. Если

основание

прямоугольника

равно

6

дм, а

боковая

сторона — 4

дм,

вания и удвоенной боковой

стороны»

для

нашего

прямоугольника

верно.

a)

Будет

ли

это утверждение верно, если основание

и

высоту

прямоуголь­

ника измерять в

сантиметрах? в метрах?

B )

Зависит ли справедливость этого утверждения от

специального

подбора

чисел? от выбора единицы длины?

10+ . Если радиус круга

равен

2 м,

то

длина

окружности

(C — 2nR)

равна

4л

м, а площадь

круга (Л =

л г2) равна 4л кв. м. Тогда утверждение «площадь

круга равна длине окружности» для нашего

круга верно.

a)

Будет

ли

это

утверждение верно

для

нашего

круга,

если

его

радиус

измерять

в

дециметрах?

B )

Найдите

два других круга, для которых

это

утверждение

верно.

c)

Зависит

ли справедливость этого утверждения от специального

подбора

чисел? от выбора

единицы

длины?

11+ . Из задач 8, 9 и 10 можно увидеть,

что некоторые геометрические утвержде­

ния верны только для определенных чисел, причем здесь не имеет

значения

то,

как

выбрана

единица длины. Другие

утверждения

верны

независимо

ни от выбора чисел, ни от выбора единиц.

Проверьте,

что каждое из следующих утверждений

верно. Затем

укажите,

останется ли каждое из них верным, если измерять

длины

в других

едини­

цах. Какие

утверждения останутся верными только в том случае,

если

при

любой единице длины не менять фигурирующие в

задаче

числа?

a)

Периметр

прямоугольника

с основанием

3 дм

и боковой

стороной

4

дм

равен 14

дм.

B )

Периметр квадрата

со стороной

2 дм в

два раза

больше

его

площади.

c)

Периметр треугольника,

каждая сторона которого равна 12 см,

равен 36 см.

e)

Треугольник со сторонами 9 см, 12 см и 15 см является прямоугольным.

f)

Площадь круга с радиусом 4 дм в два раза больше длины его окружности.

—

1

1

-/3

I

I

1—I—

I

,71

і

*-

И------

Н--------

-и

- з

- 2

-1

0

1

2

3

к

—

- / 3

1

1

!

/?

1

■" - »■

1— I--------------

1----------

- 2

-1

0

7

2

или помельче:

- /3

/2

я

» -

-----------------------Г— I (— Н— I-------

Н — М — I— — н і--------------------------------

-Ч - 3 -2 -1

0 1

2 3 4

Р

Q - I

R

?

5

------------------

------ 1-----

1— - н------

1-----

+—

1-----------------

- 3 - 2 - 1

0

1

2

1

На

последнем рисунке

можно

найти

расстояния Q/? = l,

QS = 2,

QT = 3. Отсюда

с помощью

вычитания находим

RS = 2— 1 =

1,

RT — 3 — 1 —2,

масштабной линейки, называется с и с т е м о й

к о о р д и н а т (на

прямой). Число,

соответствующее

данной

точке, называется

к о о р д и н а т о й

этой точки.

1

Р

Q

R

S

Т

►

---------------

1-----

(——)-----

1-------

1-----

1----------------

- 3

-

2 - 1

0

1 2

3

Р

-г

*+■

Q

4-

X -1

0

1

У

Задачи к

§ 5

1.

На

этом

рисунке

на прямой

установлена

система координат с 0 в точке А

и

с

1

в

точке

С.

Некоторые нецелочисленные координаты, чтобы их было

легче

рассмотреть,

выписаны

ниже целочисленных. Определите следующие

расстояния:

а)

АС;

Ь)

AD;

C)

E l ;

d)

PR;

е)

R I ;

0

AN;

g)

BH;

h)

Q M ;

і)

A F;

І)

D J ;

k)

ND;

1)

P F .

R

Q P

N

МА В CD

£ F Q Н 1 J

I

I

'

I

I '

I

M

' 1 1

1

-Н ------і- '

1 '

'I-

- 5

- 4

и

- 3

- 2 -~1

0

1

2

3

А

5

6

- Г з

1

1

Г2

Т,

|

/37

*

3

‘ I

7

2.

Упростите:

а)

I 6 — 2

I;

b)

I 2 — 6 |;

с)

I 5 — 0 [;

d)

10 — 5 I;

e)

i 0 — (— 5 )!

f)

I 4 — (— 4)|;

g)

1*1;

h)

I * — 0 I;

0 i*—(—*)I;

і)

1*1 — 1—*

а)

0 и

8;

Ь) 8

и

0;

с)

0 и

— 8;

d) - 5

и — 7;

е ) - | и

f) ^ 2

и

g)

/ З

и — ]/^ 5 ;

h) X

и

у;

і)

2а

и — а;

j) 0

и

X.

5. Допустим, что при измерении расстояния PQ

вы

собираетесь

совместить

нуль вашей линейки с точкой Р и

прочитать положительное

число при

точке

Q.

Как

вы

сумеете определить

расстояние

PQ, если вы нечаянно

наложили

свою

линеику так,

что точке

Р

соответствует

1

а

точке

Q а)

соответствует

некоторое

положительное

число; Ь) соответствует не­

которое

отрицательное число S .

6.

Шкалы

А

и В

на этом

рисунке отвечают одной

и той же единице длины,

.

но

независимо от этого

точкам

прямой

ставят

в

соответствие

разные

числа.

a)

Какие

координаты имеют точки R,

Р

и Q на

шкале А?

B ) Покажите, как найти расстояние

RQ,

пользуясь

шкалой

В;

пользуясь

шкалой А.

c) Чему

равно расстояние PQ на шкале

Л? на шкале В ?

Шкала А - 4

- 2

R

Р

Q

-----------------

1— I— I— I— I— I— I------------------------

і-----------------------

h

Ш к а л а В 0 1 2 3 Р 5 6

х

и

7.

Рассмотрим

некоторую

систему координат на прямой. Допустим, что к коор­

динате

каждой

точки

прибавлено

число

3 и

данной точке

поставлена

в

соответствие

полученная сумма.

a)

Каким

будет

новое

число,

соответствующее

точке Р ,

если

ранее она

имела координату

5? Каким будет новое число для

точки Q,

ранее

имевшей координату — 2?

B ) Какими

будут

новые числа

для

двух

точек

прямой,

если

ранее эти

точки имели координаты а и 6?

c)

Каждой

ли

точке

прямой

будет

соответствовать новое

число? Каждое

ли число будет при этом соответствовать какой-либо точке прямой?

d)

Покажите,

что формула

I (Новое число для

некоторой

точки) — (Новое

число для

другой точки) |

определяет расстояние между этими двумя точками.

e)

Удовлетворяет

ли

новое соответствие между точками и числами

каж ­

дому из трех условий аксиомы масштабной линейки? Можно ли каждое

новое число называть координатой соответствующей точки? Почему?

8.

Шкалы

А

и

В

на

этом рисунке

имеют одну и ту же единицу,

но точкам

прямой ставят

в

соответствие разные

числа.

К

'

М

N

Ш капа А

3

2

1

0 ~1

„

ц

—-------------- 1----1-----1-- 1----н н ------ 1----------------------- 1---------------------------------- 1» -

Ш ка п а В - 2 - 1

0 1 - 2 3

a)

Какую

координату

имеет точка К на шкале А?

B ) -Какие координаты

имеют точки М и N на шкале S ?

c)

Какую

координату

имеет точка

М

на шкале В, если х =

— 6?

d)

Чему равно у, если точка

N

на шкале В имеет координату

9

?

e)

Чему

равно

расстояние К M l

расстояние

M N ?

10. Города Актон, Барнхэм и Сентервилл, находящиеся

в

одном

из

округов

США, «коллинеарны» (т. е. принадлежат

одной прямой),

хотя

и не обяза­

тельно

расположены

в том

порядке, в каком они перечислены в этой

задаче. Расстояние от Актона до Барнхэма равно

12 км\ расстояние от

Барнхэма до Сентервилла равно 21 км.

a)

Можно ли

сказать,

какой

город находится между двумя другими? Какой

город не находится между двумя другими?

B )

Сделайте эскиз и с его

помощью определите расстояние от Актона до

Сентервилла. Существует ли здесь только одна возможность или больше?

c)

Если

вам

дополнительно

стало

известно,

что

расстояние

от

Актона

до

Сентервилла

равно

9

км,

то

какой

город находится между двумя

другими?

d)

Если

расстояние

между

Актоном и Барнхэмом равно k километрам,

между

Актоном

и

Сентервиллом — т

километрам,

между Барнхэмом и

Сентервиллом

k + m

километрам,

то

какой город находится между двумя

другими?

11 . £ ,

Н

и

К — три

точки на

прямой. £

и

Я

отстоят

друг

от друга

на 3 см,

а

Н

и

К — на

5

см.

Сколькими

способами

можно расположить

эти три

точки? Поясните ваш вывод эскизом.

12. На

одной

и той

же

прямой

заданы три системы координат. Три фиксиро

ванные точки

А,

В

и С этой

прямой

имеют следующие

координаты:

В

системе

I точка

А

имеет

координату — 6,

а точка

В

координату

— 2;

В

систему

11

точки

А

и С

имеют соответственно координаты — 4 и — 3;

В

системе

I I J

точки С я В имеют соответственно координаты 7 и 4.

a) К акая

точка

лежит между двумя другими?

B )

Подсчитайте

АВ - \- АС- \ -ВС .

прямой «бесконечную линейку» (числовую шкалу).

Очевидно,

это можно сделать многими различными способами.

Например,

часть», шкалы направить

в любую сторону от точки Р:

1

1

1

4

р

Ч

1

1

1

►

-------------

1-----

-4 - 3 - 2 - 1 0

1

2

3 4

Р

-« ------------

1----------

1-------

1--------

1------------

1--------

1----------

1--------

1--------

1-------------

» -

4 3

2

1

О - 1 —2 —3 — 4

Таким образом, если Q—любая

другая

точка

этой

прямой,

то линейку

можно приложить

так,

что координата

точки

Q будет

положительной:

Р

О

-« -------------

1----------

1-------

1-------

1------------

1-------

1— I— н----------------

1------------

►

-4 - 3 - 2 - 1

0

1

2 x 3

4

—

Q

1

Р

1

1

1

1

►

Н— — I— НН------

1----------

4 3 x 2

1

0 - 1 - 2 - 3 -4

4

С

-я ..............

о----------------------------------- 1

■ ■О

——

С

В

А

образом, если мы

знаем, что В лежит между А

и С, то мы можем утверждать,

что имеют место

и 1° и 2°, а если мы знаем,

что имеют место 1° и 2°, то мы

является совершенно

специфическим,

потому что оно отличается от употреб­

ления этого слова как

в обычной речи, так и в аксиомах и в теоремах. Только

в определениях слово

«если» означает

«равносильно».

2.

А,

В

и

С — точки

некоторой

прямой. АС — В С = 5, координата

точки С

равна

8 /

а координата

точки

А

больше,

чем

координата точки

В.

Чему

равны координаты точек А и S ?

3.

Л,

В

и С — три точки

некоторой

прямой. АС =

В С = \ 0 , координата

точки

С

равна

8, а координата точки А

больше,

чем

координата точки

В.

Чему

равны

координаты

точек А и Ö?

4.

М ,

N и Р — три

точки

некоторой прямой. M N — 7,

N P = 9, М Р — 2, а коор­

дината

точки М

равна

3.

Чему равны координаты точек N и Р, если

a) координата

точки

Мменьше,

чем

координата

точки .N\

b) координата

точки

Мбольше,

чем

координата

точки

/V?

5.

П усть

R,

S и Г — три

точки некоторой прямой. Какое

соотношение

между

R S ,

S T

и R T

должно выполняться, если R лежит между S

и Т?

6.

Р ,

Q

и

R — три

точки

некоторой прямой.

Какая из этих

точек

лежит

между

двумя

другими,

если P Q — 12, P R = 7 и QR = 5? Накакойаксиоме

или

на

каком определении базируется ваш ответ?

7.

G,

Н

и

К — три

точки

некоторой

прямой.

Координаты G и Н

соответ­

ственно

равны

4

и

— 3.

Какую

координату

имеет точка К ,

если

Н

лежит

между

G и К

и G K — 13?

8 * . А,

Е

и К — три

точки

некоторой прямой. Координаты

точек

А и

К

равны

К 2

и

— К 18.

Какую

координату

имеет точка

Е,

если

АЕ — Е Ю

9 * . А,

В

и

С — три

точки

некоторой

прямой

соответственно с

координатами

а, Ь и с.

Какая

из этих точек лежит

между двумя другими, если |а— с| +

10+. Является

ли следующее предложение

определением

понятия

«между»

для точек

прямой:

F, G и Н — различные

точки

одной

и той же

прямой и

FG-\-GH — F H , если точка

G лежит

между F и FT? Чем

эта формулировка

отличается

от той, которая была дана

в тексте?

11+. Пусть

А, В

и С — три

точки на

окружности. Мож­

но ли сказать, что каждая из этих точек лежит меж­

ду двумя

другими?

Подумайте.

1°. Пусть А,

В

и С—точки некоторой прямой с координатами

X, у

и г:

А

в

С

-------1--------------- h

г

X

у

тогда

если

x < . y < z , то

точка В

лежит между точками

А и

С.

В

и С—три различные точки одной прямой, то

2°. Если

А,

ровно одна из них лежит между двумя другими:

A

B

С

В

А

С

А

С

'

В

Фактически

оба

эти утверждения можно доказать, опираясь

на аксиому

масштабной линейки. Если же отказаться от их дока­

зательства,

то эти

предложения

придется

считать аксиомами.