Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

26.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 6210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Отсюда также вытекает:
	т /_ CAD = m / САВ — т /	DAB.
Два	угла называются смежными, если	они выглядят, как
на этом	рисунке:

Точнее: имеем следующее

Определение
Если AB	и AD — противоположные лучи,	а АС — некоторый
другой луч,	то / В А С и /.CAD называются	с м е жн ы м и .

В следующем определении речь идет исключительно о м е р е углов, в нем ничего не говорится о р а с п о л о ж е н и и углов, столь существенном для определения смежных углов.

Определение
Если сумма мер двух углов	равна 180, то эти углы называ
ются п о п о л н и т е л ь н ы м и ,	а каждый из них называется по-
п о л н е н и е м другого.

Углы могут оказаться смежными, и в этом случае они в с е г д а являются пополнительными:

Аксиома 14 (аксиома пополнения)

Если два угла являются смежными, то они пополнительны.

Эти аксиомы можно для краткости обозначить буквами АИУ, АПУ, АСУ и АП, возникающими в результате сокращения названий: аксиома измерения углов, аксиома построения углов, аксиома сложения углов и аксиома пополнения.

Вы помните, что при обсуждении вопроса об измерении рас стояний мы пришли к выводу, что можем выбрать любую еди ницу измерения, какую нам будет угодно избрать. При этом

если мы решим изменить единицу измерения расстояний, то нам нужно будет лишь умножить все расстояния на некоторое число,

и все относящиеся к расстояниям	аксиомы	при этом останутся
в силе. Но для меры углов это	не верно,	потому что аксиома

пополнения определяет единицу измерения углов. При нашем

определении			пополнительных углов аксиома					14 утверждает, что
сумма		мер двух		смежных углов равна			180.		Если	мы удвоим
меру каждого угла					или же разделим меру			каждого		угла на 2,
то эта аксиома перестанет выполняться.
Задачи к § 3
1.	Если	m Z Л =	63	и /п Z ß = 117, то		А А и A B . . .		углы.
2.	Чему	равна	мера	т А MPS, если		на нашем	рисунке		слева т А QPS ==41
	и т А QPM — 37? К акая аксиома					подкрепляет ваше			заклйэчение?
3. Точки Y, Р и W на					рисунке справа коллинеарны			и т А XPY — т А ZPY.
	a) Назовите две пары смежных углов.
	B ) Назовите три			пары пополнительных углов.


4. Дано, что A — K — F и точка			D	не принадлежат прямой AF.
a)	А AKD и А FKD являются . . . .
B )	т А A K D + m А F K D —			.	.	.	.
Какая аксиома		существенна для		вашего ответа?5
5. Прямые йН и		PQ на этом	рисунке		пересекаются, образуя четыре угла.

a)	Чему	равна а, если Ь = 52?
B )	Чему	равны Ь, с и сі,	если а — 110?
6. Исходя		из следующего	рисунка подсчитайте каждую из названных ниже


величин:			Ь) т А E P D ;	с) т. А G РА;
а)	т А А В С ;
d) т		А D P В;	е) т А F P S ;	і) т А А Р В - г - т А В Р Е ;
g ) т		А F P A + m А F P S ;	h)	т А А Р С + т АСРН\
і)	т А F P A — m А D P A i		]) т A F P H — tn A FPG .

7. С помощью транспортира найдите каждую из следующих величин:

а) т L R P S	b) m L V P R ;
с) т Z V PS	d) m L T P R -,
е) т L X P R	f) m L X P Y ;
g) т L W P S	h) m L X P W;
i ) m Z X P S	j ) m L T P R + m Z .SPW .

8. После некоторой тренировки вы будете в состоянии довольно точно оцени вать величину углов и без помощи транспортира. Не пользуясь транспор тиром,. определите, какие из изображенных на этих рисунках углов имеют меру в указанны х границах (подберите для изображенных внизу углов подходящие границы в левом столбце):

a) 8 0 < х < 9 5 ; -

B ) 55 < X < 70;

c) 40 < X < 60;

d) 90 < л: < 105;

e)20 < X < 4 5 ;

f)1 1 0 < * < 125.

9.Пользуясь линейкой без делений и транспортиром, постройте углы, имею

щие градусную меру, равную 30, 60, 15, 90, 100 и 135.


10, Пользуясь	только линейкой без делений,	но не транспортиром,		нарисуйте
углы, мера	которых приблизительно равна 10, 30, 45,60, 90, 120,			135 и 150.
Затем с помощью транспортира проверьте, на сколько вы ошиблись.
11+ . На ребре	некоторой полуплоскости возьмите такие точки М , К			и	А, что
М — А — К- Проведите луч АТ так, чтобы было т /. ТАК. =			35. В той же полу
плоскости	возьмите луч А Ѵ , для которого	т L МАѴ = 8 5 .	Измерьте		L T A V

транспортиром. Находится ли полученное вами число в согласии с числом, вычисленным по правилам?

12.На этом рисунке

a) т Z С А В + т Z D A C = т Z		;
B ) т z	EAD-\-tn Z D A C = m Z	;
c) tn L	EAD-\-tn L Ü A B = m Z	.?. ;
d) m L	EAC — m L Ü A C — m Z	.?. .

13.	Определите меру			пополнения		угла,		если	мера исходного угла равна
	а)	80;	Ь)	48;		с)	144;		d)	25,5;
	е)	я;	f)	я + й;		g)	180 — л;		h)	90 — n.
14.	На этом рисунке
	a)	т L	SPR -\-tn L QPO — m L				.?•	;
	b)	m Z	R S Q -j-m	Z .?. — m	z	R S P ;
	c)	m Z	POQA -m Z PO S =		.?.	;
	d) m z		R S Q ~ m	z SÄO =	m z		.?•	;
	e) m z		ÄOQ = 180 — /и z			;

f)SO-j-OQ — .?. .

15.Чему равна мера каждого из двух пополнительных углов, если эти углы имеют одинаковые меры?

16.Чему равна мера угла, если она в три раза больше меры пополнения этого угла?

17.Мера некоторого угла на 24 больше меры его пополнения. Найдите меры обоих углов.

18*. Удвоенная		мера	некоторого	угла на	30 меньше меры его	пополнения,
умноженной на пять. Чему равна мера этого угла?
19*. Чему	равна	мера т Z С А В ,		если т Z	B A D = 65 и т Z О ЛС =	32 ( z С А В
и Z B A D принадлежат одной				плоскости)?
2 0 .Прямые MN		и PQ на этом рисунке пересекаются в точке А . Какие аксиомы
или определения подкрепляют каждое из следующих утверждений?
a) Z РАМ и		Z фЛЛ4 являются смежными,
B ) Z РАМ и		Z QAM пополнительные,
c) т z P A M + m			Z Q A M = 180,
d ) m Z	QAM + ш		Z Q A M = 180.
21*. Будет	ли	т Z AßC + m Z D B C = m Z M AS+m z MAS,

если

от Z А В С + т L D ß C = 1 8 0 и от Z M A S + m Z AM S = 180?

Почему? Если		мы, кроме того, знаем,		что от L			D B C = m	Z N A S , то какое
можно будет сделать заключение? Почему?
Конкурсная задача
Обоснуйте	следующее утверждение:				Д А В С
Если прямая		I пересекает две стороны			Д А В С		в	Л
точках D и Е (причем эти точки отличны					от А ,	В	и	Л
С), то прямая I не пересекает третьей стороны этого
треугольника.
( У к а з а н и е .	Вспомните		содержание §	4	гл.	3	и
докажите, что точки В и С			лежат по одну		сторону		от
прямой /.)

§ 4. ПРЯМЫЕ УГЛЫ , ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ, КОНГРУЭНТНЫЕ УГЛЫ

Определение

Если два смежных угла имеют одну и ту же меру, то каж

дый	из них называется п р я
мым	у г л о м .

В этом случае в силу аксиомы пополнения г-\ -г— 180. Поэтому с таким же основанием мы можем дать и следующее

Определение

П р я м ы м	у г л о м назы	В
вается угол, мера которого рав		. 9 0 °
на 90.		. 9 0 °
на 90.
		С
		I
		I
		*
Определение
Если лучи AB и АС образуют прямой угол, то они называются
(в з а и м н о )	п е р п е н д и к у л я р н ы м и ,	что записывается так:

Ä B ± A C .

Тем же термином и теми же обозначениями мы пользуемся и

в случае замены лучей прямыми или отрезками. Таким образом, если Д ВАС — прямой угол, то

Ä B ± A C ,

AB _|_ АС,

AB J_ АС

и т. д. для любых комбинаций прямых, лучей и отрезков.

Определения

Если сумма мер двух углов равна 90, то эти углы называются д о п о л н и т е л ь н ы м и , а каждый из них называется д о п о л н е

н и е м	другого. Угол, мера которого меньше 90, называется о с т
рым.	Угол, мера которого больше 90, называется т у п ы м .
	♦

Определение

Два угла, имеющие одну и ту же меру, называются к о н г р у э н т н ы м и .

Таким образом, Д АВС и Д DEF кон груэнтны, если

т/_ АВС —т Д DEF.

Вэтом случае мы пишем

L A B C ^ L DEF. -

Символ = произносится так: «конгруэнтен». Е

Геометрия

Заметим,	что записи т /_ ABC = т Z. DEF (равенство чисел!)
и Z. ABC ^	Z DEF (конгруэнтность углов!) равносильны: они

означают в точности одно и то же. Любую из них мы можем сво бодно заменить другой.

Задачи к § 4 (часть 1)

Прямолинейные отрезки в этой задаче считаются перпендикулярными, если они такими каж утся. Отберите на этом рисунке пары перпендикулярных отрезков. Если вы полагаете, что какая-либо пара отрезков не перпендику лярна, то объясните почему.

Углы на рисунке имеют указанные меры.

a) Назовите пару дополнительных углов.

B) К акая аксиома позволяет утверждать, что

т А D A G = 1 0 5 ? 34

3. На рисунке	точка	М на прямой A B является
вершиной прямого		А SMT, а т А Т М В =	50.
a) Назовите	пару	перпендикулярных	лучей,
если они здесь есть.

B ) Назовите пару дополнительных углов, если они здесь есть.

c)Назовите пару конгруэнтных углов, если они'здесь есть.

d)Назовите пару пополнительных углов, если они здесь есть.

4. Точка А служит общим началом двух перпен

дикулярных лучей АѢ и Â C . Точка D лежит внутри А ВА С, а точка Е —

вне этого угла; при этом Â B ± АЕ.

a)	Назовите пару дополнительных	углов, если	они	здесь есть.
B )	Назовите пару пополнительных	углов, если	они	имеются.
c)	Назовите пару конгруэнтных углов, если они здесь есть.

5. Дополните каждое		предложение так, чтобы оно стало		верным.
a)	Если т Z M P S — 39 и и /		T H N — 39, то L M P S	. .. / THN .
B )	Пополнение острого угла является ... углом.
c) Дополнение острого угла является ... углом.
d)	Если Z A D K ^	L В Е Н ,	то меры этих у г л о в ___

6.Если мера некоторого угла в 2 раза больше меры его дополнения, то чему равны меры каждого из этих углов?

7.	Определите		меру дополнения		угла,	мера которого	равна
	а) 20;	Ь)	68;	с) 46,5;	d) п;	е) 9 0 — п;	f) 4 5 + я .
8.	Чему	равна	мера	некоторого	угла, если известно, что мера его пополнения
	на 39	больше, чем удвоенная			мера его дополнения?

Если вы не забыли, что означают слова, встречающиеся в сле дующих теоремах, то легко сообразите, что эти теоремы верны.

Теорема 4.1

Если два угла дополнительны, то оба они —острые.

Теорема 4 .2

Каждый угол конгруэнтен самому себе.

(Ясно, что всегда т £. А = т Z. Л.)

Теорема 4 ,3

Любые два прямых угла конгруэнтны.

Теорема 4 .4

Если два угла одновременно конгруэнтны	и пополнительны,
то каждый из них является прямым.
( Ук а з а н и е . Поскольку они конгруэнтны,	то имеют одну и ту

же меру г; покажите, что г должно быть равно 90.)

Теорема 4 .5

Пополнения конгруэнтных углов конгруэнтны.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Если

1°. £ A Q É £ B ,

2°. /_ А и /_ С пополнительны, 3°. /_ В и /_ D пополнительны, то 4°. /_ С ^ /_ D.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть г —т / _ А , как указано на ри сунке вверху. Запишем остальную часть доказательства так, чтобы вы могли воспользоваться этой записью как образцом, которым можно руководствоваться при самостоятельном доказательстве теорем:


		Утверждения				Аргументы
1.	r-\-m L С =		180.	/ , А	и	Z. С пополнительны.
2.	г = т / . В.			Z А д ± Z В.
3.	r-\-m Z. D =		180.	L В и Z D пополнительны.
4.	т L С — 180— /-.			Ш аг	1.
5 .	т L	D — 180 — г.		Шаг	3.
6.	т L	С = т L D и Z C ^ Z D.		Шаги	4	и 5.

У такого «двухстолбцового способа» записи доказательств есть свои достоинства. Пользуясь им, легче организовать работу и легче запомнить, что каждый раз, как только в ходе доказа тельства сделано какое-либо утверждение, нужно сразу же ука зать и аргументы, которые его обосновывают.

Заметим также, что прежде чем мы приступили к доказатель ству этой теоремы, мы сформулировали ее по-другому. Этот прием часто будет нам полезен впоследствии. Всякий раз, когда это возможно, мы будем формулировать теоремы чисто словесно, почти не пользуясь математическими обозначениями или даже совсем обходясь без них. Тогда теоремы будет легче прочесть и легче запомнить. Приводя другую формулировку, мы вводим обозначе ния, которые будут использованы в доказательстве.

На рисунке, приведенном в связи с разобранным доказатель ством, изображен лишь один весьма частный случай: два угла могут оказаться пополнительными и не будучи расположенными так, что их пополнительность сразу заметна глазу. Пополнитель ные углы могут выглядеть и так:

100

Обычно	рисунок	только иллюстрирует теорему	или задачу.
Не нужно думать, что рисунки, имеющиеся в этой			книге, в каж
дом случае	являются	единственно верными.

Теорема 4 .6

Дополнения конгруэнтных углов конгруэнтны.

Доказательство очень похоже на доказательство	теоремы 4.5,
и вы должны суметь записать его самостоятельно,	пользуясь пре

дыдущим доказательством как образцом. Вы просто	о б я з а н ы это
сделать. Надеемся, что вам поможет приведенный	выше рисунок.
( У к а з а н и е . Приведите самостоятельно другую	формулировку
теоремы.)

Если две прямые пересекаются, они				образуют четыре угла.
На	нашем рисунке 1_ 1		и /_ 3 называются вертикальными;			2 2 и
/_ 4	также	называются	вертикальными.	Иными	словами,	имеет
место
Определение
Два угла		называются	в е р т и к а л ь н ы м и ,		если их стороны

составляют две пары противоположных лучей.

Рассматривая наш рисунок, можно заметить, что вертикальные углы конгруэнтны. Это и в самом деле всегда так, как показывает следующая

101

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 6210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ