Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

26.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 6217 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Конкурсная задача

a) Можете ли вы вывести					из	ранее доказан				С
ных теорем,			что	если	А С =		М Р ,	ВС
g^ N P и медиана				ÄD ^		медиане		MQ, то
Д	А В С 9 ^	Д	M N P ? Если			да,	то сделайте
это. Если		нет, то		объясните почему.					А	В
B ) Можете ли вы вывести					из	ранее доказан			А	В
B ) Можете ли вы вывести					из	ранее доказан
ных теорем,			что	если	АС СР^М Р,			А В - ~		Р
9 ^ M N и медиана ÄD 9 ^ медиане								MQ, то		Р
9 ^ M N и медиана ÄD 9 ^ медиане								MQ, то
Д	А В С =	д Л Ш Р ? Если				да,	то сделайте
это.
									м	N
Дополнительные задачи
1. Д а н о . DC — В С и D K — B K						(см. рисунок).
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . AD — AB .

2.Даны два конгруэнтных треугольника. Докажите, что медиана, делящая пополам любую сторону одного треугольника, конгруэнтна медиане, деля щей пополам соответствующую сторону другого треугольника.3

3. Докажите, что если на	этом рисунке MQ =
= PQ = P R = NR , то Д	M N P — равнобедрен
ный треугольник.

163

4.	X	и Q — такие точки Д			R S T ,	что	S — X — T и S X — S R , соответственно
	R — Q — Т		и луч SQ	делит	пополам		/. R S T . Проведем отрезок QX. Какой
	угол конгруэнтен L R? Докажите, что они							конгруэнтны.
5.	На	этом	рисунке	X W — ZY,		А Х — B Y		и
	A Z — B W .		Какой	угол конгруэнтен			Z. А?
	Докажите		их конгруэнтность.

6. Дан рисунок внизу слева,	где отрезки QS и R T делят друг друга пополам
в точке Р . Докажите, что	А Р — В Р .

7. Докажите, что если на правом рисунке A B — АС, AD = A E и Z x ^

то AG — A H .

8. Докажите, что каждая биссектриса равностороннего треугольника одно

временно является и его медианой.
9. а) На	этом		рисунке	AD = BC ,		A B = DC,	а
отрезок		M N	делит	отрезок	А С пополам		в
точке	К .	Будет ли и А С делить				пополам от
резок	АШ ? Докажите, что				ваш	ответ пра
вилен.

					А	N В
Ь) Должны ли все точки изображенной на					рисунке фигуры	быть компла
	нарны?
10. а)	На этом	рисунке N R — M L и M R — NL .			ц	М
	Докажите,	что	Z. M N K ^	A N M L .	Г
Ь)	Должны	ли	отрезки К М	и NL Пересе-	\
	каться?				’
						L
1 1 . Д а н о . Рисунок,			где А В = А С и/1 R C B —
	Z ТВС .
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . R C = B T .

164

12. Докажите, что если два треугольника конгруэнтны, то биссектриса одного треугольника, проведенная из любого его угла, конгруэнтна проведенной из соответствующего угла биссектрисе другого треугольника.

13*. Точки А, Р и С на этом рисунке		лежат в	R
плоскости Е, а точки R и	S — по	противо
положные стороны от Е. Докажите,		что если
ÄP L R S ^ R P ^ S P и RC =	SC, то
a) CP 1 RS-,
b) L A C R — L ЛСД.

1 4 * .Дано, что	А — С — В и	CD J_ AB. Точка Р лежит внутри L ACD, а точка
Q— внутри	L BCD, причем		L PCА ^				Z QCB. Докажите, что если CD J_ PQ,
то PC = QC.
15*. Пусть отрезки АР и ВС			делят		друг		друга пополам в точке		N, а отрезки
АС и BQ делят друг друга				пополам			в точке	К ■ Покажите,	что QC = PC.
16*. Дан произвольный /\ А В С .				Пусть		D — такая		точка, что D и С лежат по
противоположные стороны			от AB		и	Д Л Д О — равносторонний треугольник,
а Е — такая	точка, что £	и Л		лежат по противоположные стороны от ВС и
д ВСЕ — равносторонний		треугольник. Докажите, что AE — CD.
17*. Дан □ ABCD (см. рисунок), причем							AB =	А	О
= DC и AD — ВС. Докажите,				что АС и BD
делят друг	друга пополам.
								ѳ
18*. Точки G и В на этом		рисунке			делят отре				R
зок MR на три конгруэнтные				части,		а точки

G и Р тбчно таким же образом делят отрезок
АС. Покажите, что если		AG — BG, тоД R —
S Ë Z С.

19+. Запишите аккуратное определение того, что означают слова: «Точки С и D

делят отрезок AB на три конгруэнтные части».

2 0 * +. Докажите, что если прямая X Y перпендикулярна каждому из трех раз

личных лучей ХА, Х В и АС и если Х А = Х В = ХС, то A Y — B Y — CY.

165

2 1 * . Д а н о. Д K V L — равнобедренный	треугольник,	м
у которого KV = L V и луч М Р	содержит ме
диану Ѵ Р.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . S T =	R T .

2 2 *+ . а) П усть A B и CD делят

друг

друга пополам

точке К . Докажите,

что

A C =

и AD = BC.

Пусть

теперь

отрезок E F

также делится

точкой

пополам. Сумеете ли

вы найти шесть пар конгруэнтных отрезков, ни один из которых не

содержит точку К?

К ак

изменится ваше заключение (см. задачу Ь),

если

отрезок È F не при

надлежит

плоскости,

содержащей

отрезки A B

и CD?

Попытайтесь мыс

ленно представить себе получающуюся фигуру, или набросать картинку,

или сделать модель.

23+. Дан Z

В А С , где

А В =

АС . Тогда

лежит на A B , а точка Т — на АС, при

чем так,

что R C =

T B . Можете ли

вы, основываясь

на этой информации, до

казать,

что

A R = A T ?

Если

да,

то

сделайте это. Если нет, то объясните

почему.

2 4*+ . Пусть

Д Р Л В

и F sQ A B лежат

различных

плоскостях, но имеют общую сторону

A B .

До

кажите,

что

если

л Р А В ^ А Q AВ

и X — лю

бая

точка

отрезка Â B ,

то L

XPQ =

Z. XQP.


2 5 *+ . Доведите до	конца евклидово				доказательство		А
теоремы, утверждающей, что углы					при основании
равнобедренного		треугольника конгруэнтны.
Д а н о . L В А С ,		где А В =	АС.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . / A C B CZL Z A B C .
( У к а з а н и е .	Возьмите		такие		точки Е	и F ,
что А — В — Е	и	A — C — F,		кроме того,		АЕ =
— AF. Проведите		отрезки	BF	и С Е . )

Вопросы и задачи для повторения

1. Укажите, верно или ошибочно каждое из следующих утверждений:

а) Если	при	соответствии А ВС	KLM имеем АС ^ К М , AB Д+ KL и
L Л =	L	К і то это соответствие	является конгруэнтностью.

166

B ) Если AC = BD, то непременно или А = В и C = D, или = D и В — С.

c)Если три угла одного треугольника конгруэнтны трем углам другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны.

d)	Если	в	Д D E F	выполняются			равенства m L D = m Z . E — m / . F , то он
	является равносторонним.
e) Медиана треугольника делит пополам угол треугольника.
О	Если	Д	X Y Z SË Д ВАС, то			L	X ^ L	А.
g)	Если	L	А = : L С	в	Д АВС,	то А В =		АС.
h)	Если	/ \ X Y Z ^		Д	2 Х У , то	Д	X Y Z — равносторонний треугольник.

i) Два треугольника конгруэнтны, если две стороны и угол одного тре угольника конгруэнтны двум сторонам и углу другого.

j) Не существует Д АВС, у которого L А = L В.

2.Определите «конгруэнтные отрезки».

3.Определите «биссектрису угла».

4.Определите «биссектрису треугольника».

5.Докончите предложение. Если биссектриса треугольника является и медиа

ной, то треугольник явл я ется ....

6.Докончите предложение. Четырехугольник, имеющий четыре прямых угла, назы вается....

7. Докончите предложение.	В Д PRQ z Q заключен между ...	и . . . .	а между
L Р и Z R заключена	сторона.. . .

8. Каждый из треугольников АВС и PQR имеет по две стороны длины 7 и по углу, мера которого равна 40. Конгруэнтны ли эти треугольники? Почему это так (или не так)?

9. Докажите, что если на этом рисунке

AB = АС я луч A R делит пополам Z.BAC, то

a) R B = RC;

b) Л уч AR содержит биссектрису L BRC .


10. Доказать:	если		Д А В С — равносторонний
RÉ Д С A B ^		Д АСВ.1
11. Запишите	предположение и заключение
для теоремы, содержание которой пере
дают пометки		на	этом рисунке.

треугольник, то Д АВ С ^

D G

167

12.Запишите теорему, подсказываемую рисунком слева.

13. На плоской фигуре, изображенной справа, А С — В С и A R = B K - Перечис лите все заключения, которые отсюда следуют. (Вы должны уметь доказать каждое из них.)

14*. Биссектриса			Z Q при		основании			равнобедрен
ного Д P Q R пересекает противоположную сто
рону в		точке S, Т — точка основания							PQ, для
которой		S T =	P T ,	а луч		S V	делит		пополам
L	P S T . Докажите, что				с	T S V ~		L RQS.
									Р V Т
15*. Точки		А, В, С и D на			этом		рисунке		не лежат
в	одной	плоскости		и	A B — AC — AD = B C =
=	BD = CD.		Точки	Q	и	R соответственно яв

ляются серединами отрезков АС и AD, а Р —

произвольная точка отрезка AB . Докажите, что д PQR — равнобедренный треугольник.

16*+. Пусть / — общее			ребро двух полуплоскостей H t и Я 2; далее, Л								и В — две
точки прямой /,			а	М		и	Я — точки	полуплоскостей	Я г	и Я 2	такие, что
L М А В —		Z Я Л Я		и Л/И =			Л Я .
a) Докажите, что			Д	M R B — равнобедренный треугольник.
B )	Должен	ли отрезок			M R пересекать			прямую /?
c)	Требует	ли ответ			на	а), чтобы полуплоскости Н г			и	Н г были компла
	нарны?

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

§1. КАК СТРОИТСЯ ДЕДУКТИВНАЯ СИСТЕМА

Вгл. 1 мы пытались в общих чертах объяснить, как должен строиться курс геометрии. Приобретенный вами за это время опыт ставит вас в намного более выгодное положение, позволя ющее лучше понять эти объяснения.

Идея множества, методы алгебры и процесс логического рас


суждения—вот орудия,			к о т о р ы м и	мы строили. Сама			геомет
рия—это то,		что мы строили. Мы начали с точки, прямой					и пло
скости как		с неопределяемых понятий			и пока воспользовались
семнадцатью		аксиомами.	Иногда новые		понятия	определялись
со ссылкой	на аксиомы.		(Например,	расстояние		PQ было опре
делено как	положительное число, фигурирующее в аксиоме рас

стояния.) В других случаях определения базировались т о л ь к о на неопределяемых терминах. (Например, точки некоторого мно жества коллинеарны, если все они принадлежат одной прямой.) Но каждый раз мы вводили наши определения с помощью лишь

терминов, которые так	или	иначе	были	уже	известны	ранее.
К настоящему моменту	мы	нагромоздили		определения		одно на
другое так плотно, что список			их оказался		очень длинным.

И фактически растянутость этого списка является одной из главных причин, заставлявших нас с самого начала заботиться, чтобы не произошло путаницы и все было в порядке.

Точно так же все относящиеся к геометрии утверждения, которые мы делаем, в конечном счете основаны на аксиомах. Иногда мы выводили теоремы непосредственно из аксиом, а ино гда наши доказательства опирались на теоремы, которые уже были доказаны. Но в каждом случае цепь рассуждений могла быть прослежена до аксиом.

Было бы неплохо, если бы вы, учитывая все это, перечитали вторую половину гл. 1. Теперь она покажется вам намного бо лее ясной, чем в первый раз. Гораздо легче оглянуться назад и понять, чего вы уже успели достичь, чем понимать объяснение того, что вы только собираетесь делать.

§2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОТ ПРОТИВНОГО

Вгл. 1 мы отметили, что лучший способ научиться логиче ским рассуждениям—провести некоторые из них. Вообще говоря, это правильно. Но существует один тип доказательств, который требует особого обсуждения. Для теоремы 3.1 мы предложили так называемое доказательство от противного. Вот эта теорема и ее доказательство:

Теорема 3.1

Если две различные прямые пересекаются, то их пересечение содержит одну и только одну точку.

171

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если бы две различные прямые				пересе
кались	в двух различных точках Р и Q, то существовали			бы две
прямые,	содержащие	Р и Q.	Аксиома прямой говорит нам, что
это никогда не может		иметь	места.

Возможно, вы уже встречались с такого рода рассуждениями.

Вы	уже можете	знать	доказательство	иррациональности числа
У 2,	а это—доказательство от противного 1(. Во всяком случае,
вы	должны были	много	раз слышать	такого рода рассуждения

в обычных разговорах. Оба следующих замечания служат примерами доказательств от противного.

П р и м е р	1
«Дождь	сейчас не идет.
Если бы дождь шел, то люди, приходящие с улицы, были бы
мокры; но на самом деле это не так».
П р и м е р	2

«Футбольного матча сегодня не будет.

Если бы сегодня предстоял матч, то стадион к этому времени был бы уже полон народа, но, кроме нас с тобой, здесь никого нет».

В каждом из этих случаев говорящий хочет показать, что


некоторое утверждение	верно. Свое доказательство			он начинает
с допущения, что это утверждение неверно. Затем				он замечает,
что допущение приводит к заключению,			противоречащему како
му-то известному факту. В		первом случае	говорящий		начинает с
допущения, что дождь	идет;	оно ведет к	заключению,		что »люди,

входящие в дом, должны быть мокрыми, а это противоречит тому известному говорящему факту, что эти люди — сухие. Аналогично, во втором случае говорящий начинает с допущения, что футболь


ный матч должен сегодня			состояться; это допущение приводит его
к противоречию с тем фактом, что на стадионе						присутствуют всего
лишь два человека.		теоремы 3.1		мы начинаем с допущения, что
В доказательстве
какие-либо две различные			прямые пересекаются в двух различных
!) Авторы имеют в виду		следующее общераспространенное					рассуждение: если
бы число У~2	равнялось	несократимой		дроби	— ] то	мы	имели бы — ■ =	2,
т. е. т 2= 2я2,	откуда следует,		что т — четно,		а значит,	и — нечетно; но тогда т 2
делится на 4,	а 2л2 только на		2, а значит, равенство У 2 ==				невозможно.	В

противоположность этому евклидовское доказательство иррациональности У 2, основанное на анализе процесса измерения диагонали квадрата со стороной 1, являлось «прямым» доказательством. — Прим . ред.

172

точках. Оно противоречит аксиоме прямой. Следовательно, допу щение было ошибочным, а это значит, что теорема верна.

Очень часто наши доказательства от противного в геометрии будут столь же короткими и простыми, как это. Они будут всего лишь сводиться к каким-нибудь соображениям, основанным на здравом смысле. Но такие соображения, основанные' на здравом смысле, составляют часть азбуки математических рассуждений, и без них было бы трудно обойтись.

Задачи к § 2

1. Для того чтобы проиллюстрировать процесс логического рассуждения, при мите каждое из следующих предположений, а затем логически закончите каж дое заключение.

a) П р е д п о л о ж е н и е .		Все мальчики любят играть в футбол. Моему
брату четырнадцать лет.
З а к л ю ч е н и е .	Мой	брат ...
B ) П р е д п о л о ж е н и е .		Только	небрежные люди делают ошибки. Я ни
когда не бываю	небрежен.
З а к л ю ч е н и е .	Я ...
c) П р е д п о л о ж е н и е .		Джек	всегда смеется, после того как сострит.
Джек только что сострил.

За к л ю ч е н и е . Джек ...

d)П р е д п о л о ж е н и е . В любом равнобедренном треугольнике углы при

основании конгруэнтны. В Д Л В С выполняется равенство АС = ВС.

З а к л ю ч е н и е . ...

2.Какие из следующих высказываний служат примерами рассуждения от противного?

a)Температура воздуха на улице должна быть ниже 0° С. Если бы она не была ниже 0° С, то окна не замерзли бы. Но они замерзли. Следова

тельно, температура воздуха ниже 0° С.

B ) Пора	обедать. Если	бы было еще рано обедать, то я не был бы голоден.
Но я	очень голоден.	Следовательно, пора обедать.

c) Концерт должен был уже окончиться. Много людей покидают концерт ный зал лишь после окончания концерта. Но я вижу, что сейчас из зала выходит много людей. Следовательно, концерт окончился.

3.Сейчас больше четырех часов дня. Если бы это было не так, то я слышал бы шум работающих строителей. Я же никакого шума не слышу. В этом при мере доказательства от противного выделите:

a) утверждение, которое требуется доказать; B ) сделанное допущение;

c)заключение, вытекающее из этого допущения;

d)известный факт, противоречащий с).

4.Миссис Адамс купила набор кухонной посуды, разрекламированной как изделия из нержавеющей стали. После того как она им пользовалась не сколько недель, она обнаружила, что некоторые кастрюли начали ржаветь. Тогда она решила, что этот набор был не из нержавеющей стали, и вернула

его, чтобы получить деньги обратно. Проделайте то же, что и в задаче 3.

5. Докажите, что биссектриса угла разностороннего треугольника не может быть перпендикулярна противоположной стороне.

6.Докажите, что никакие два угла разностороннего треугольника не кон груэнтны.

173

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 6217 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ