книги из ГПНТБ / Моиз Э.Э. Геометрия

§t. ВВЕДЕНИЕ

Впредыдущей главе мы говорили только о прямых и об из­ мерении расстояний. Фактически мы всегда рассматривали един­ ственную прямую, и поэтому никакие обсуждения отношений между разными прямыми нам не были нужны. Теперь мы при­ ступим к изучению прямых и плоскостей в пространстве. Напом­ ним, что нашими основными неопределяемыми понятиями являются точка, прямая и плоскость, причем прямые и плоскости являются определенными множествами точек.

Определение

Множество всех точек называется п р о с т р а н с т в о м .

В следующем параграфе мы объясним некоторые термины, которыми мы будем пользоваться при изучении прямых и пло­ скостей, и сформулируем некоторые из самых элементарных

доказать, опираясь на аксиомы. Но сейчас их доказательств мы

точками, прямыми и плоскостями в пространстве часто хорошим подспорьем могут оказаться куски картона как заменители плоскости и карандаши как заменители прямых.)

1.Вытяните руку перед собой. Рассмотрите точку А, совпадающую с кончиком вашего указательного пальца, и точку В, совпадающую с правым верхним

передним углом вашей комнаты. Сколько прямых одновременно содержат

4.Пусть какой-нибудь угол вашего письменного стола представляет точку Р , выключатель на стене — точку Q и один из углов комнаты — точку R . Суще­ ствует ли плоскость, содержащая точки Р, Q и R?

5.Какое минимальное число точек необходимо для определения плоскости? Всегда ли три точки полностью определяют некоторую плоскость?

63

6. Какие прямолинейные отрезки на этом рисунке, изображающем маленькую палатку, вам нужно вообразить, чтобы дополнить контуры палатки? Что представляет собой пересечение двух плоскостей, содержащих два ската палатки?

§ 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ; ЧЕРТЕЖИ

Левая фигура на следующем рисунке изображает треуголъ- , ную пирамиду. Отрезки AB, АС, ÄD, ВС, BD и CD называются

ее ребрами. (Заметьте, что ребро BD изображено пунктиром, поскольку, если бы пирамида была сплошным телом, его нельзя было бы видеть. Если ту же фигуру нарисовать, как показано на рисунке, то она выглядела бы похожей на некоторое мно­ жество точек, принадлежащее плоскости чертежа.)

А

В

С

64

Все пять точек А, Е, В, С и F принадлежат одной плоско­ сти, а именно плоскости, содержащей переднюю левую грань пирамиды. Точки, принадлежащие одной плоскости, называются компланарными. Конечно, точки А, В, С и D не компланарны.

Три точки А, В я Е принадлежат одной прямой, а именно

прямой AB. Обладающие этим свойством точки называются коллинеарными. Конечно, точки А, В и С не коллинеарны. Точно так же А, F и С коллинеарны, а точки А, F и G—нет.

Теперь мы определим эти термины более формально.

Определение

Точки, образующие некоторое (точечное) множество, колли­ неарны, если существует прямая, содержащая все эти точки.

Определение

Точки, образующие некоторое (точечное) множество, компла­ нарны, если существует плоскость, содержащая все эти точки.

(Вопрос. Точки Е, F и G на предыдущем рисунке не при­ надлежат ни одной из граней пирамиды. Следует ли из этого, что точки Е, F и G не компланарны?)

Чтобы построить геометрию по схеме, описанной в гл. 1, нам нужны аксиомы, которые передавали бы реальный смысл наших неопределяемых понятий: точки, прямой и плоскости. Для пря­ мых мы такие аксиомы уже ввели. Аксиома линейки хорошо опи­ сывает, как выглядит прямая, когда вы рассматриваете ее изоли­ рованно от всех других точек плоскости или пространства. Мы упоминали также, что любые две точки определяют некоторую прямую (см. аксиому 4 на стр. 49):

Аксиома 4 (аксиома прямой)

Для каждых двух точек существует одна и только одна пря­ мая, содержащая обе точки.

Теперь мы хотим выписать аксиомы, выражающие свойства плоскостей и пространства. Первой будет аксиома, утверждающая, что фигуры того типа, которые мы рисовали в начале этого параг­ рафа, в нашей геометрии действительно встречаются.

Аксиома 5

а) Каждая плоскость содержит по крайней мере три неколлинеарные точки.

в) Пространство содержит по крайней мере четыре некомпла­ нарные точки.

Это только другой способ выражения того факта, что плоско­ сти являются «широкими» (а не «узенькими»), или «одномерными» как прямая, а пространство не является «плоским».

Наконец, заметим, что в аксиоме прямой содержится некото­ рая информация о том, как пересекают друг друга различные прямые.

Теорема 3.1

Если две (различные) прямые пересекаются, то их пересечение

говорить о двух точках, или о двух прямых, или о двух плоскостях, мы будем подразумевать, что эти точки, прямые или плоскости различны . Иными сло­ вами, говоря о двух объектах, мы всегда будем подразумевать, что имеются именно два отдельных объекта, а не один объект; в соответствии с этим в фор­ мулировке аксиом 1 и 4 мы далее будем опускать прилагательное «различные». (Но если мы просто говорим, что Р и Q — точки, то мы не исключаем и ту воз­ можность, что P = Q . )

Задачи к § 2

1, Выясните, посмотрев на этот рисунок, изображающий некоторую простран­ ственную фигуру, являются ли точки следующих множеств 1°. коллинеарными; 2°. не коллинеарными, но компланарными;

Р3°. не компланарными:

66

§ 3. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ; ЧЕРТЕЖИ (ОКОНЧАНИЕ)

Следующая аксиома выражает тот факт, что плоскости не иск­ ривляются.

Аксиома 6

Если две точки какой-либо прямой принадлежат некоторой плоскости, то и вся эта прямая принадлежит той же плоскости.

Следующая теорема описывает, каким образом прямые и плос­ кости пересекаются друг с другом.

Теорема 3.2

Если какая-либо прямая пересекает не содержащую ее плос­ кость, то их пересечение содержит только одну точку.

(Позднее мы увидим, что теорема 3.2 не доставляет нам новой информации; она следует из аксиомы 6 точно так же, как теорема

рисовываем стрелки, указывающие, что прямая на этом не конча­

дит как параллелограмм. Подобным же образом окружность, рас­ сматриваемая в перспективе, выглядит как эллипс, изображенный на нижнем рисунке слева. Если бы наши глаза находились в плос­

Аксиома 4 утверждала, что прямую определяют две ее точки. Для определения плоскости требуются три неколлинеарные точки;

Аксиома 7 (аксиома плоскости)

Любые три точки принадлежат по крайней мере одной плос­ кости; любые три неколлинеарные точки принадлежат только одной плоскости.

Другими словами: любые три точки компланарны, и если они при этом неколлинеарны, то эти точки о д н о з н а ч н о определяют проходящую через них плоскость.

Теорема 3.3

Если даны прямая и не при­ надлежащая ей точка, то сущест­ вует одна и только одна плоско­ сть, содержащая эту прямую и эту точку.

и только одна плоскость, содер­ жащая обе эти прямые.

В заключение сформулируем следующую аксиому

Аксиома 8 (аксиома пересечения плоскостей)

Если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть пря­ мая.

Может показаться, что мы собираемся продолжать и дальше выписывать бесконечную серию аксиом, выражающих наши осно­ ванные на здравом смысле представления о пространстве. Однако оказывается, что в этом нет необходимости. В этой книге мы будем изучать геометрию пространства на базе всего лишь двад­

68

цати четырех основных утверждений. Все остальные можно из них вывести, если знать, как это делать. Вы будете здесь этому учиться.

Двадцать четыре не следует считать «большим» числом. В дей­ ствительности оно столь мало, что делает геометрию совершенно не похожей на такие науки, как, например, биология. Всю био­ логию или даже любую содержательную ее часть невозможно бази­ ровать на двадцати четырех фактах, обнаруженных с помощью наблюдений. Чтобы получить тысячи других фактов, которые нам необходимо знать, нам пришлось бы продолжать экспериментиро­ вать, исследуя в лаборатории те или иные растения или живот­ ные. Лаборатория же геометра —это его голова, в которой выс­ траиваются логические цепи, исходным пунктом для которых слу­ жит очень небольшое число основных фактов.

Задачи к § 3

1. Сколько плоскостей могут содержать одну данную точку? две данные точки?

три данные точки?

2. Стол с четырьмя ножками, стоящий на ровном полу, иногда качается,

а стол с тремя ножками всегда стоит устойчиво. Объясните причину этого.

3.Какую аксиому иллюстрирует этот ри­ сунок?

4. Дополните следующее утверждение:

две различные прямые могут пересе­

каться лишь в . . . . а две различные

плоскости могут пересекаться лишь

по . . . .

5. Плоскость Е содержит точки R и Т.

Что можно сказать о прямой R T ? К а­

кие аксиомы или теоремы подкрепляют ваш ответ? Сделайте рисунок, ил­ люстрирующий эту задачу.

6. Нарисуйте плоскость Е , изобразив для этого некоторый параллелограмм. Нарисуйте прямолинейный отрезок, лежащий в плоскости Е . Нарисуйте прямолинейный отрезок, пересекающий плоскость Е в единственной точке, и не пересекающийся с первым отрезком.

8.Прямую можно обозначить, указав какие-либо две ее точки. Сколько точек нужно назвать, чтобы получить обозначение плоскости?

69

И . Внимательно изучите этот рисунок, изобра­ жающий некоторое прямоугольное тело, до тех пор, пока не поймете, каким образом он выполнен так, что кажется похожим на про­ странственную фигуру. Затем закройте книгу и сделайте по памяти рисунок, похожий.ша этот. Попрактикуйтесь до тех пор, пока не будете довольны своими результатами.

13+. Ф игура, являющаяся объединением всех отрезков, имеющих своими концами четыре данные не компланарные точки, называется

треугольной пирамидой, или т ет р а э д р о м ѵ .

Рассматриваемые четыре точки называются вершинами тетраэдра.

a) Дайте определения ребра тетраэдра.

B ) Сколько ребер имеет тетраэдр? Перечислите их.

c)Существуют ли у тетраэдра пары непересекающихся ребер?

d)Грань тетраэдра есть треугольная область, определяемая любыми тремя вершинами. Перечислите четыре грани тетраэдра. Существуют ли у него пары непересекающихся граней?

14+, Эта фигура есть четырехугольная пирами­ да с квадратным основанием. (Подразуме­ вается, что ее (квадратное) основание распо­ ложено ближе всего к вам,) Перечислите все плоскости, определяемые вершинами пирами­ ды. (Всего имеется семь таких плоскостей.)

70