книги из ГПНТБ / Мазин П.Н. Основы ядерной электроники учеб. пособие

Существует и второе представление производящей функции вероятности в виде ряда

G M = р(0) + &(р({) + &*р(2) + "' +&мр(Ю,

где р(Н) - закон распределения случайной величины

N 5

N- случайная величина (например, число рас­ падов).

При таком представлении П§В и при определенных услови­ ях можно получить закон распределения и числовые харак­ теристики случайной величины N .

Продифференцируем почленно ПФВ по параметру & :

G'M jtf=pH) + p (S )+ - + Np(N)=^Hp(t/hM[N\■

N

Очевидно, что для дифференцирования необходимо существо­ вание производных.

80

Таким образом можно получить все моменты закона распределения. Если же имеется выражение для ПФВ не в виде ряда, то, беря производные от ПФВ по параметру if и приравнивая его к нулю, можно получить закон распре­ деления данной случайной величины. Покажем это на при­ мере биномиального закона.

Ранее мы рассматривали поведение одного радиоактив­ ного ядра в интервале Т и определили характеристи­ ческую функцию случайной величины, связанной с события­ ми распада или отсутствия распада ядра. Найдем теперь ПФВ для этого же случая

со вторым свойством характеристической функции (легко убедиться, что приведенные выше свойства действительны для всех производящих функций), очевидно, определится как произведение ПФВ слагаемых:

б

81

(#i

Пусть параметр О- = 0. Тогда

%м\+.о~ н,ра-?> *''>

g ',% ) и - *„(*„-<)■■■

82

Итак, нами получено биномиальное распределение по производящей функции вероятности. Таким образом, можно в общем виде записать, что

Однако не только биномиальное распределение можно полу­ чить таким образом, но и другие законы. Поэтому справед­ ливее написать

f(*> ■

Рассмотрим несколько примеров.

Пример I . Найти производящую функцию вероятности

,7i\N

-N

Р Ш - -7П е

N! ^

Нетрудно, дифференцируя полученное выражение и при­ равнивая производную к нулю, снова прийти к пуассоновско­ му закону.

Пример 2. Используя полученную производящую функцию

83

вероятности, найти математическое ожидание случайной величины N > распределенной по закону Пуассона.

Р е ш е н и е :

G(v) = е * '™ ■ O'M = N е " (*Ч)',

что и требовалось определить.

§ 3. Применение формулы полной вероятности

При рассмотрении таких задач ядерной электроники, как определение числовых характеристик случайной вели­ чины X , связанной с осуществлением других событий, появляется необходимость применения условной вероятно­

84

Р(В) - Ц р (н к)Р (в !нк).

к={

Определяй связь между производящими функциями слу­ чайной величины, связанной с событием В , и безус­ ловной вероятностью события В

Предварительно сделаем переход от вероятностей к плотностям вероятности, для чего запишем:

Р( В1Нк) = !(Х\инУх = 2 Р (Х1нн)^(х ~х^ Ых•

N=i '

Вероятности записаны как для дискретного, так и для не­ прерывного случая. 3 качестве производящей функции возь­ мем характеристическую функцию

Осуществляя подстановку плотности вероятности величины X под знак интеграла, получим

О

е М = I е ^ х \Р (Н м)Р(х 1нм)Ых =

85

Итак, получены выражения, дающие связь между услов­ ной и безусловной характеристическими функциями. Считая, что вероятности появления гипотез заданы или могут быть определены тем или иным способом, мы свели задачу к оп­ ределению условной характеристической функции. Примени­ тельно к большому числу задач вероятности появления ги­ потез Р(Н#) представляют собой закон распределения числа событий (например, распадов радиоактивных ядер в источнике, имеющем /10 ядер). Следовательно, услов­ ная характеристическая функция будет зависеть от числа появившихся распадов. А так как число появившихся рас­ падов N есть сумма случайных величин, описывающих поведение отдельных ядер, то оно представляет собой ре­ зультат сложения N0 случайных величин. Следователь­ но, мы можем условную характеристическую функцию случай­ ной величины X представить как произведение условных

е (* /н 11) - г 1 е (° /П - [ 8 (» 1 { )] * ° .

N H--i

Таким образом, произошло дальнейшее упрощение задачи: она свелась к определению условной характеристической

86

где х н представляет случайную величину, связанную с

поглощается в объеме детектора полностью). Взаимодейст­ вие ядерной частицы с веществом происходит по закону Пуассона. Величина общего заряда зависит, очевидно, от суммы составляющих общее число Л/ событий вылета ядерной частицы. Взаимодействие одной ядерной частицы со средой примем независимым от взаимодействия других. Это справедливо при достаточно большом объеме детекто­ ра, высокой плотности вещества, его наполняющего, и ма­ лом числе ядерных частиц. Найти закон распределения,ко­ торому подчиняется общее число пар ионов, созданных за

пад некоторого числа ядер, а под условной вероятностью - вероятность появления определенного числа пар ионов при распаде некоторого числа ядер. Примем пуассоновский за­ кон распределения числа пар ионов к , созданных од­ ной ядерной частицей. Этой случайной величине к в соответствии с вышеприведенным аппаратом отвечает услов-

87

нал характеристическая функция

Безусловная характеристическая функция, описываю­ щая общее число пар ионов, будет определяться по общей формуле

Напомним, что

По определенной характеристической функции, исполь­ зуя обратное преобразование Фурье, найдем

88

Однако «окно и не делать перехода к производящим функциям, а применить только формулу полно* вероятности. Рассмотрим пример, иллюстрирующий использование формулы полной вероятности в ядерной электронике.

ных частиц. Условная вероятность регистрации ядерной частицы при условии попадания ее в рабочий объем детек­

бочий объем детектора N ядерннх частиц. По условию вероятность гипотезы определяется пуассоновским зако­ ном. Пусть событие В означает, что из К зареги­ стрировано детектором. Так как события регистрации час­ тиц независимы друг от друга, то можно применить для условной вероятности биномиальное распределение

89