книги из ГПНТБ / Мазин П.Н. Основы ядерной электроники учеб. пособие
.pdf~ ^1^3 "’ ^N-Sl^Nq-I^N* ^i^N0-M^H-N*r"^H•
причем_событие А должно произойти N раз, а со бытие A N0 ~N раз в каждой комбинации. Число комби наций такого рода равно
N1
(No -N)lH0[
Вероятность такой комбинации по теореме об умножении
для независимых случайных величин равна |
|
. |
||
Так как комбинации между собой несовместны, |
то по тео |
|||
реме сложения событий вероятность распада |
fi |
ядер |
||
из /\/ |
на отрезке |
времени наблюдения т |
равна |
|
|
N ! |
Яв > |
|
|
|
(Ч - NY.N, |
' р 9 |
|
|
Мы юлучили выражение для биномиального закона, выве денное ранее.
Часто результаты опыта описываются не одной случай ной величиной, а несколькими, образующими систему СВ. Обычно система случайных величин обозначается ( X , У , W ) . Действительно, если рассматривать не только про цесс распада N0 радиоактивных ядер, но и процесс ре гистрации ЯИ детектором, то нетрудно заметить, что им пульс, созданный ядерной частицей на выходе детектора, обладает случайным максимальным значением (амплитудой) и имеет случайный момент возникновения. Первая случай ная величина определяется процессом взаимодействия ядерной частицы с веществом рабочего объема детектора, а момент появления ядерной частицы зависит от внутрен-
70
них свойств ядра. Можно рассмотреть и такую систему: импульс ионизации, созданный ядерной частицей в вещест ве. В данном случае число пар ионов в импульсе будет зависеть от случайного значения энергии ядерной части цы и случайного значения числа пар ионов, созданных ядерной частицей с единичной энергией.
Свойства системы определяются свойствами отдельных величин, ее составляющих, и взаимными связями между ни ми. Для наглядности определения системы часто использу ют геометрическую интерпретацию (рис. 2 .1). Значение
Рис. 2.2
случайных величий откладывается на осях, а пересечение их значений на плоскости представляет собой случайную точку 1 . Функция распределения системы (X » У ) представляет собой вероятность совместного выполнения неравенств X < # и
F ( x ,p = Р (Х |
|
У |
|
Вероятность попадания |
случайной точки в область Jd |
||
(рис. 2.2), т.е. событие |
(X |
» У |
) с й » можно най |
ти через плотность распределения |
системы |
||
|
|
|
■я |
d &F(x,y) f ( * , p -дхд^
Тогда справедливо равенство
Р ( ( Х , У ) С Я -)^ J f ( x , y ) d x c i y
т
Функция распределения системы, в свою очередь, опреде лится как двойной интеграл вида
Законы распределения случайных величин, входящих в си стему, определятся следующим образом:
Ъ(х) = Р(х,е°) |
F£(y) ~ Р (°°> р ; |
f ( x )= F p x ) = ^ f ( x , I f )o /tf i
— <90
со
1 i t y - Ft t y = J f (x>pd x ‘
—0*3
Взаимное влияние в системе СВ оценивается с помощью условных законов распределения.
Условным законом случайной величины X > входящей
72
в систему (X » У ), называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина У приняла определенное значение у . Обозначается ус ловный закон так:
/(* /? )■
Закон распределения системы, выраженный через условный закон, имеет вид
и
откуда условные законы можно определить как
й f ( * w -
fi(x )
Если зависимости между отдельными случайными вели чинами нет, то и законы распределения независимы. Тогда
А /Iх ) - h ( у ) |
f и( x / р ) = /(уо с ), |
Для случая системы независимых СВ справедливо необходи мое и достаточное условие независимости
= f i W & f y ) -
Аналогично случайным величинам системы случайных величин также имеют числовые характеристики для упрощен ного их описания. Выражения для начальных и центральных моментов систем случайных величин имеют вид:
73
|
mk ,s' |
' |
|
1 |
i |
|
A 5 * 2 |
> |
|
i |
J |
где |
p*. - р а - * £ , у = # ) . |
Если мы рассматриваем систему зависимых случайных вели чин, то степень этой связи определяется корреляционным моментом центрированных случайных величин
К - М[Х. У]~М{( Х- тх ),(У-Шу)] ■
Если величины X и У независимы, то корреляционный момент равен нулю. Если случайные величины равны, т.е. X = У , то корреляционный момент переходит во второй центральный момент. Чем больше связь между величинами X и У , тем больше корреляционный момент.
§ 2. Метод производящих функций
Часто лри проведении выкладок удобно использовать интегральные преобразования Фурье и Лапласа. Получаю щиеся при этом функции носят название производящих. В зависимости от типа преобразования различают:
-характеристические функции ( ХФ ) ;
-производящие функции вероятностей (ПФВ)$
-производящие функции моментов (ПФМ).
Наиболее распространена характеристическая функция,
74
полученная в результате применения преобразования Фурье для плотности вероятности СВ:
0 (») |
= |
М[е**х ] |
|
|
|
или |
|
*0 |
|
|
» |
6 ( 0 ) |
|
|
|
||
- |
Z |
; |
(SW |
, |
|
|
|
i- -i |
|
|
-оо |
где z? - параметр преобразования. Для системы случай ных величин характеристическая функция имеет
вид
к
9(Ъ,*я, —,# к) - М [ e x p (j^ & kXk)\ =
k=i
Тк
- J \ J e * |
p Q2 *к\ ) И хг ха*->хк)Ых~'0,хк- |
— ОО |
k*i |
Зная характеристическую функцию, можно найти плотность вероятности, применив обратное преобразование Фурье:
|
во |
f(* ) = |
e ' ^ x 6(v-)dd. |
- во
>
В ряде случаев легче определить характеристическую функ цию СВ, а затем использовать вышеприведенное выражение для наховденмя плотности вероятности.
Напомним основные свойства характеристической функ ции, которые будут необходимы в дальнейшем:
I . Если случайные величины связаны мевду собой ли нейной зависимостью, т.е. У - аХ , где а = const ,
75
е м . М[е*м ] - M[ef‘ *]- м[е>!‘ "а \°
¥
2. Характеристическая функция суммы независимых СВ равна произведению характеристических сумм слагаемых. Действительно,
в м - м [et™]-- М [et№?х*] - М [ Л е ^ ] - П Iff [ e ^ J \-f]$M
f |
|
к |
к l |
) * х |
где |
нами принято |
|
|
|
|
У - 2кХ |
■ |
|
|
|
Для решения задач ядерной электроники второе свой |
|||
ство |
характеристической функции очень удобно, |
так как |
позволяет вместо сложения случайных величин и определе ния закона распределения суммы СВ путем композиции рас пределения определить предварительно характеристичес кие функции слагаемых, а затем их произведение, после чего используется обратное преобразование Фурье. Ха рактеристическая функция, кроме того, позволяет опреде лять начальные моменты СВ по формуле
Рассмотрим в качестве примера несколько задач с ис пользованием характеристической функции.
Пример I . Найти характеристическую функцию закона распределения, который описывает поведение радиоактивно го ядра на отрезке времени 0 -г Т и вид которого изо бражен в таблице:
76
i |
I |
2 |
XL |
о |
I |
Pi |
|
P |
Р е ш е н и е : |
|
|
Q(v) = ^ e^ XtPi ~ е^&°у+е ^ р1 ^y+ pet1*.
i =i
Пример 2, Найти математическое ожидание по харак теристической функции для предыдущего примера.
Р е ш е н и е :
d6(&)
» I е м | „
d&
/_ dG(o-)
2)тх
<? d v i>=o i
Пример 3. Определить характеристическую функцию в(&) для биномиального распределения.
Р е ш е н и е :
1^0 t~i
- d |
о |
I (е>*рГа-?)'• " - |
|
, . |
Пример 4. Определить характеристическую функцию $(&) для закона Пуассона.
77
Р е ш е н и е :
|
|
|
т * |
|
от |
|
6(t>) = |
2 |
|
г=<? V |
|||
|
V r< |
|
||||
|
i-Q |
|
|
|||
_ |
|
_iV |
в |
t/exp(j&)_ |
|
N(е**-{) |
■“ б |
|
—б |
|
|||
Пример 3. |
Определить характеристическую функцию |
|||||
6(&) случайной величины, |
распределенной по нормаль |
|||||
ному закону с параметрами |
а |
и <& . |
||||
Р е ш е н и е : |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Гх-о)г |
|
|
|
|
|
е |
г*‘ с/х г |
делаем подстановку |
|
|
|
|||
х - а |
|
|
|
> |
||
■г |
<ь |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й1#* ° i** |
||
В(т>)~ |
|
|
|
|
|
Ыг г |
|
|
|
|
т |
/>уйг* |
интеграл, полученный после подстановки, табличный и равен | (2St' , что в результате приводит к выражению
в М = е*jOV- г
78
Для центрированной величины при а - О и <& = / фор мула упрощается:
G(t>) = е 2 .
Кроме характеристической функции, как мы говорили выше, различают так называемые производящие функции мо ментов, которые, в сущности, являются преобразованием Лапласа и обозначаются как
<
2 . е Pi '
i=o
В операционном исчислении имеем
о©
X = ^ e ~pxf(x)dx ,
о
т.е. разница заключается в отсутствии знака. Однако в обоих случаях требование существования интеграла яв ляется необходимым условием.
Кроме того, есть производящие функции моментов цен тральных (ПФМИ), определяемые выражением
псрмц = М[ efx' n*w ] •
Для определения законов распределения случайных ве личин часто применяется и производящая функция вероят ности
79